古典力学 · 第23回 · 動画6 · インタラクティブ教材

支点のまわりのトルクはゼロ：角運動量保存則と、物体に打たれる棒

I重要な公式

公式	名称	必要なもの
$\vec{\tau}_S^{\,\text{ext}} = \vec{0} \;\Rightarrow\; (\vec{L}_S^{\,\text{sys}})_f = (\vec{L}_S^{\,\text{sys}})_i$	角運動量保存則	外部トルクがすべて0になる点 $S$
$l m_1 v_i = l m_1 \tfrac{v_i}{2} + I_S\omega_a \;\Rightarrow\; \omega_a = \dfrac{3m_1 v_i}{2m_2 l}$	衝突 $i \to a$ （支点のまわり）	端のまわりの棒の慣性モーメント $I_S = \tfrac{1}{3}m_2 l^2$
$\tfrac{1}{2}I_S\omega_a^2 = m_2 g\,\tfrac{l}{2} \;\Rightarrow\; v_i = \dfrac{m_2}{m_1}\sqrt{\dfrac{4gl}{3}}$	天井までの振れ $a \to f$	質量中心（重心）が $l/2$ 上がる。物体の運動エネルギーは打ち消し合う
$\tfrac{1}{2}m_1 v_i^2 = \dfrac{3m_1^2 v_i^2}{8m_2} + \tfrac{1}{8}m_1 v_i^2 \;\Rightarrow\; \dfrac{m_2}{m_1} = 1$	弾性衝突の条件	衝突の前後で $E_i^{mech} = E_a^{mech}$

ポイント： 段階ごとに一定に保たれる量が1つあります。衝突のあいだは支点が運動量を変えますが、支点の力は支点自身のまわりにモーメントアームをもたないので、 $\vec{L}_S$ は一定です。振れのあいだは重力が $\vec{L}_S$ を変えますが、力学的エネルギーは一定です。

II可視化1 — 点 S の選び方

衝突のあいだ、未知の支点の力積がモーメントアームをもたない支点のまわりでは、角運動量は変わりません。

💡 この例では支点の力積が水平になるので、 $S$ と同じ高さの点ならどれでも使えます。しかし、支点の力がわかる前から確実に使えるのは $S$ だけです。

III可視化2 — 衝突の前後で変わらない量

$S$ のまわりの角運動量はどの質量比でも変わりません。運動量はどの質量比でも変わり、運動エネルギーが変わらないのは $m_2 = m_1$ のときだけです。

質量比 m₂/m₁ 2.00

💡 $m_2/m_1 = 1$ より小さいと運動エネルギーが増えなければなりませんが、エネルギーの供給源がなければ、そんな衝突は起こりえません。それほど軽い棒では、物体が $v_i/2$ で離れていくことはできないのです。

IV可視化3 — 衝突、そして振れ

角運動量が $\omega_a$ を決め、次にエネルギーが棒の上がる高さを決めます。天井に届くには $v_i = \tfrac{m_2}{m_1}\sqrt{4gl/3}$ が必要です。

速さ v_i (m/s) 6.00 棒の質量 m₂ 時刻 i

💡 チャレンジ：棒の質量それぞれについて、棒がちょうど天井のところで静止する速さを見つけましょう。 $m_2$ を2倍にすると、その速さも2倍になるはずです。

V確認クイズ

問1 · 棒の角速度

条件： $v_i = 6\ \text{m/s}$ で動く質量 $m_1 = 0.5\ \text{kg}$ の物体が、摩擦のない支点からつり下がった一様な棒（ $m_2 = 1.5\ \text{kg}$ 、 $l = 0.9\ \text{m}$ ）の下端にぶつかり、 $v_i/2$ で離れていきます。衝突直後の棒の角速度 $\omega_a$ を求めてください。

✅ 正解です！物体が

S

のまわりの角運動量の半分を持ち続けるので、残りの半分を棒が受け取ります：

I_S\omega_a = \tfrac{1}{2}l m_1 v_i

。

❌ 惜しい！それは

l m_1 v_i

をすべて棒に与えた場合です。物体は

v_i/2

で離れていくので、

S

のまわりの角運動量のうち

l m_1 v_i/2

を持ち続けます。

❌ 惜しい！それは運動量が保存されるとした結果ですが、支点の力積がそれを崩します。代わりに

S

のまわりの角運動量を保存させましょう。

❌ 惜しい！棒は固定された支点のまわりを回るので、

I_{cm} = \tfrac{1}{12}m_2 l^2

ではなく

I_S = \tfrac{1}{3}m_2 l^2

を使います。

❌ 惜しい！

I_S = \tfrac{1}{3}m_2 l^2

として、

l m_1 v_i = l m_1 v_i/2 + I_S\omega_a

とおきましょう。

解答を見る

衝突のあいだ、支点 $S$ のまわりには外部トルクがはたらかないので、 $\vec{L}_S$ は衝突の直前と直後で同じです。

l m_1 v_i = l m_1\frac{v_i}{2} + I_S\omega_a \quad\Rightarrow\quad \omega_a = \frac{l m_1 v_i}{2I_S} = \frac{3m_1 v_i}{2m_2 l}

\omega_a = \frac{3(0.5)(6)}{2(1.5)(0.9)} = \frac{9}{2.7} \approx 3.33\ \text{rad/s}

問2 · 運動量はどうなったか

条件： 動画の、物体に打たれる棒です。物体は運動量 $m_1 v_i$ でぶつかって $v_i/2$ で離れていき、棒は $\omega_a = \dfrac{3m_1 v_i}{2m_2 l}$ で回り始めます。衝突直後の、物体と棒を合わせた運動量を求めてください。

✅ 正解です！系は

\tfrac{1}{4}m_1 v_i

だけ運動量を得ます。これは、支点が棒の上端に前向きに与える力積です。

❌ それは運動量が保存されると仮定しています。支点は衝撃に逆らって棒の上端をその場に保ち、その力積は衝撃の力積と同じくらいの大きさなので、系の運動量は変わります。

❌ それは物体の分だけです。棒の質量中心も

v_{cm} = \omega_a\,l/2

で動いています。

❌ それは棒の分だけです。物体の

m_1 v_i/2

を足しましょう。

解答を見る

棒の質量中心は支点から $l/2$ 下にあるので、その速さは次のとおりです。

v_{cm} = \omega_a\frac{l}{2} = \frac{3m_1 v_i}{2m_2 l}\cdot\frac{l}{2} = \frac{3m_1 v_i}{4m_2}, \qquad m_2 v_{cm} = \tfrac{3}{4}m_1 v_i

p_a = m_1\frac{v_i}{2} + m_2 v_{cm} = \tfrac{1}{2}m_1 v_i + \tfrac{3}{4}m_1 v_i = \tfrac{5}{4}m_1 v_i

変化 $\tfrac{5}{4}m_1 v_i - m_1 v_i = \tfrac{1}{4}m_1 v_i$ が支点の力積で、前向きです。これがなければ、棒の上端は後ろへはね返ってしまいます。この力積は $S$ にはたらくので、 $S$ のまわりのトルクは0です。だから $\vec{p}$ は変わっても、 $\vec{L}_S$ は変わらないのです。この結果はどの質量比でも成り立ちます。

問3 · ちょうど天井に届く

条件： 問1の棒と物体です。 $m_1 = 0.5\ \text{kg}$ 、 $m_2 = 1.5\ \text{kg}$ 、 $l = 0.9\ \text{m}$ 、 $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ で、物体は $v_i/2$ で離れていきます。棒が最初の振れでちょうど天井にふれる速さ $v_i$ を求めてください。

✅ 正解です！衝突には角運動量、振れにはエネルギーを使います：

v_i = \tfrac{m_2}{m_1}\sqrt{4gl/3} = 3\sqrt{11.76}

。

❌ 惜しい！それは物体の角運動量をすべて棒に与えた場合です。物体は

v_i/2

で離れていくので、棒が受け取るのは半分だけで、

\omega_a = \tfrac{3m_1 v_i}{2m_2 l}

です。

❌ 惜しい！棒が天井に沿って横たわるとき、質量中心が上がった高さは

l

ではなく

l/2

です。

❌ 惜しい！それは

\sqrt{4gl/3}

だけの値です。これに質量比

m_2/m_1 = 3

を掛けます。

解答を見る

衝突（ $i \to a$ ）、 $S$ のまわりの角運動量： $\omega_a = \dfrac{3m_1 v_i}{2m_2 l}$ 。

振れ（ $a \to f$ ）、力学的エネルギー： 物体の運動エネルギーは両辺で同じなので打ち消し合います。棒の回転のエネルギーが、質量中心が $l/2$ 上がる分の位置エネルギーになります。

\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{3}m_2 l^2\right)\left(\frac{3m_1 v_i}{2m_2 l}\right)^2 = \frac{3m_1^2 v_i^2}{8m_2} = m_2 g\frac{l}{2}

v_i = \frac{m_2}{m_1}\sqrt{\frac{4gl}{3}} = \frac{1.5}{0.5}\sqrt{\frac{4(9.8)(0.9)}{3}} = 3\sqrt{11.76} \approx 10.3\ \text{m/s}

問4 · 物体がぴたりと止まる

条件： 同じ支点でつるした棒ですが、今度は物体が $v_i/2$ で離れていくのではなく、衝突で止まります（ $v_a = 0$ ）。この衝突が弾性衝突になる質量比 $m_2/m_1$ を求めてください。

✅ 正解です！棒は3倍重くなければなりません。棒は端のまわりに回るので、打たれる端での等価質量は

I_S/l^2 = \tfrac{1}{3}m_2

だからです。

❌ 惜しい！自由な2つの粒子の正面の弾性衝突なら、質量が等しいときに物体が止まります。しかしこの棒は支点のまわりに回ります。

\vec{L}_S

と運動エネルギーの収支をもう一度立てましょう。

❌ 比の分子と分母を確かめましょう。

\tfrac{1}{2}m_1 v_i^2 = \tfrac{3m_1^2 v_i^2}{2m_2}

を解くと

m_2 = 3m_1

になります。

❌ 惜しい！棒は端のまわりに回るので、慣性モーメントは

\tfrac{1}{12}m_2 l^2

ではなく

I_S = \tfrac{1}{3}m_2 l^2

です。

❌ 惜しい！

v_a = 0

として

\vec{L}_S

から

\omega_a

を求め、衝突前の運動エネルギーを衝突後の棒の運動エネルギーと等しいとおきましょう。

解答を見る

$S$ のまわりの角運動量（今度は物体には少しも残りません）：

l m_1 v_i = I_S\omega_a = \tfrac{1}{3}m_2 l^2\omega_a \quad\Rightarrow\quad \omega_a = \frac{3m_1 v_i}{m_2 l}

弾性衝突： 衝突のあいだに高さが変わるものはないので、衝突前の運動エネルギーは衝突後の棒の運動エネルギーに等しくなります。

\tfrac{1}{2}m_1 v_i^2 = \tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{3}m_2 l^2\right)\frac{9m_1^2 v_i^2}{m_2^2 l^2} = \frac{3m_1^2 v_i^2}{2m_2}

\Rightarrow\quad m_2 = 3m_1, \qquad \frac{m_2}{m_1} = 3

動画と同じく $v_i^2$ が打ち消し合うので、この比は初めの速さによりません。

正解数：0 / 4