古典力学 · 第24回 · 動画1 · インタラクティブ教材

転がる車輪の最下点はなぜ止まっているのか：すべらずに転がる条件

I重要な公式

公式名称意味
v⃗P=v⃗P′+V⃗cm,v⃗P′=R ωcm θ^\vec{v}_P = \vec{v}'_P + \vec{V}_{cm},\qquad \vec{v}'_P = R\,\omega_{cm}\,\hat{\boldsymbol{\theta}}速度の合成則縁の点 PP の地面系での速度 = 重心系での速度（接線方向の速さ R ωcmR\,\omega_{cm} の等速円運動）+ 重心系そのものの速度
v⃗P=(Vcm+R ωcmcos⁡θ) i^−R ωcmsin⁡θ j^\vec{v}_P = (V_{cm} + R\,\omega_{cm}\cos\theta)\,\hat{\mathbf{i}} - R\,\omega_{cm}\sin\theta\,\hat{\mathbf{j}}縁の任意の点（地面系）θ\theta は車輪のてっぺんから時計回りに測る。θ^=cos⁡θ i^−sin⁡θ j^\hat{\boldsymbol{\theta}} = \cos\theta\,\hat{\mathbf{i}} - \sin\theta\,\hat{\mathbf{j}} を使う。並進が寄与するのは i^\hat{\mathbf{i}} 成分だけで、回転は両方の成分に寄与する
ΔXcm=Vcm Δt,Δs=R Δθ=R ωcm Δt\Delta X_{cm} = V_{cm}\,\Delta t,\qquad \Delta s = R\,\Delta\theta = R\,\omega_{cm}\,\Delta tΔt\Delta t の間の変位中心が地面に沿って進む距離と、車輪の最下点を通り過ぎる縁の長さ
Vcm=R ωcmV_{cm} = R\,\omega_{cm}すべらずに転がる条件ΔXcm=Δs\Delta X_{cm} = \Delta s。Vcm>R ωcmV_{cm} > R\,\omega_{cm} はすべり（中心が縁を追い越す）、Vcm<R ωcmV_{cm} < R\,\omega_{cm} は空転（縁が中心を追い越す）

ポイント： θ=π\theta = \pi では、この式は v⃗P=(Vcm−R ωcm) i^\vec{v}_P = (V_{cm} - R\,\omega_{cm})\,\hat{\mathbf{i}} を与えます。前向きの並進と後ろ向きの回転は Vcm=R ωcmV_{cm} = R\,\omega_{cm} のときちょうど打ち消し合うので、接触点は瞬間的に静止し、てっぺんは 2Vcm2V_{cm} で動きます。接触点にはたらく摩擦は、あるとすれば静止摩擦です。

II縁の任意の点での並進と回転

縁のどの点も、同じ前向きの V⃗cm\vec{V}_{cm} をもちます。回転による v⃗P′\vec{v}'_P は、てっぺんではそれに加わり、最下点ではそれを打ち消します。

💡 チャレンジ： R ωcm=4.0 m/sR\,\omega_{cm} = 4.0\ \text{m/s} のとき（Vcm=2.0 m/sV_{cm} = 2.0\ \text{m/s} なので空転です）、速度が真下を向く縁の点を見つけましょう。

III進んだ距離と、通り過ぎた縁の長さ

ΔXcm=Vcm Δt\Delta X_{cm} = V_{cm}\,\Delta t と Δs=R ωcm Δt\Delta s = R\,\omega_{cm}\,\Delta t を比べると、どの車輪の運動も、すべらずに転がる運動・すべり・空転のどれかに分けられます。

IV確認クイズ

問1 · 転がるタイヤの角速度

条件： 半径 R=0.30 mR = 0.30\ \text{m} の車のタイヤが、すべらずに転がっています。車の速さは Vcm=12 m/sV_{cm} = 12\ \text{m/s} です。角速度 ωcm\omega_{cm} を求めてください。

✅ 正解です！ ωcm=Vcm/R=12/0.30=40 rad/s\omega_{cm} = V_{cm}/R = 12/0.30 = 40\ \text{rad/s} です。
❌ 惜しい！ VcmRV_{cm}R の単位は m2/s\text{m}^2/\text{s} で、rad/s\text{rad/s} ではありません。条件は Vcm=R ωcmV_{cm} = R\,\omega_{cm} なので、割り算をします。
❌ 惜しい！ それは直径 0.60 m0.60\ \text{m} を使っています。縁の接線方向の速さは、半径を使った R ωcmR\,\omega_{cm} です。
❌ 惜しい！ R/VcmR/V_{cm} は逆さまで、単位が秒になってしまいます。Vcm=R ωcmV_{cm} = R\,\omega_{cm} を ωcm\omega_{cm} について解きましょう。
❌ 惜しい！ すべらずに転がるということは、Vcm=R ωcmV_{cm} = R\,\omega_{cm} ということです。
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すべらずに転がるということは ΔXcm=Δs\Delta X_{cm} = \Delta s、つまり Vcm Δt=R ωcm ΔtV_{cm}\,\Delta t = R\,\omega_{cm}\,\Delta t ということなので、

ωcm=VcmR=12 m/s0.30 m=40 rad/s.\omega_{cm} = \frac{V_{cm}}{R} = \frac{12\ \text{m/s}}{0.30\ \text{m}} = 40\ \text{rad/s}.

重心系では、縁は R ωcm=12 m/sR\,\omega_{cm} = 12\ \text{m/s} で動きます。これは車と同じ速さで、だからこそ接触点が静止していられるのです。

問2 · すべりか、空転か

条件： 半径 R=0.40 mR = 0.40\ \text{m} の車輪が、Vcm=6.0 m/sV_{cm} = 6.0\ \text{m/s} で右向き（+i^+\hat{\mathbf{i}}）に進みながら、ωcm=10 rad/s\omega_{cm} = 10\ \text{rad/s} で時計回りに回っています。接触点の地面系での速度と、この運動の名前を求めてください。

接触点（θ=π\theta = \pi）の速度は？

車輪はどんな運動をしていますか？

✅ 正解です！ R ωcm=4.0 m/s<VcmR\,\omega_{cm} = 4.0\ \text{m/s} < V_{cm} なので、接触点は 2.0 m/s2.0\ \text{m/s} で前へすべります。中心が縁を追い越しているので、すべりです。
❌ 惜しい！ 接触点が静止するのは Vcm=R ωcmV_{cm} = R\,\omega_{cm} のときだけです。ここでは R ωcm=0.40×10=4.0 m/s≠6.0 m/sR\,\omega_{cm} = 0.40 \times 10 = 4.0\ \text{m/s} \neq 6.0\ \text{m/s} です。
❌ 符号を確かめましょう。 最下点では、回転の寄与は −R ωcm i^=−4.0 i^-R\,\omega_{cm}\,\hat{\mathbf{i}} = -4.0\,\hat{\mathbf{i}}、並進の寄与は +6.0 i^+6.0\,\hat{\mathbf{i}} で、和は正です。
❌ 惜しい！ Vcm+R ωcmV_{cm} + R\,\omega_{cm} はてっぺんの速度です（cos⁡0=1\cos 0 = 1）。最下点では cos⁡π=−1\cos\pi = -1 なので、二つの速さは引き算になります。
❌ 惜しい！名前が入れ替わっています。 空転は、縁が中心を追い越す場合です（Vcm<R ωcmV_{cm} < R\,\omega_{cm}）。ここでは中心が縁を追い越しています。
❌ 惜しい！ v⃗P(θ=π)=(Vcm−R ωcm) i^\vec{v}_P(\theta = \pi) = (V_{cm} - R\,\omega_{cm})\,\hat{\mathbf{i}} を使いましょう。
❌ 惜しい！ Vcm=6.0 m/sV_{cm} = 6.0\ \text{m/s} と R ωcm=4.0 m/sR\,\omega_{cm} = 4.0\ \text{m/s} を比べましょう。
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重心系での縁の接線方向の速さは R ωcm=(0.40 m)(10 rad/s)=4.0 m/sR\,\omega_{cm} = (0.40\ \text{m})(10\ \text{rad/s}) = 4.0\ \text{m/s} です。

最下点では θ=π\theta = \pi で、cos⁡π=−1\cos\pi = -1、sin⁡π=0\sin\pi = 0 なので、

v⃗P(θ=π)=(Vcm−R ωcm) i^=(6.0−4.0) i^=2.0 i^ m/s.\vec{v}_P(\theta = \pi) = (V_{cm} - R\,\omega_{cm})\,\hat{\mathbf{i}} = (6.0 - 4.0)\,\hat{\mathbf{i}} = 2.0\,\hat{\mathbf{i}}\ \text{m/s}.

接触点は地面の上を前へすべります。Vcm>R ωcmV_{cm} > R\,\omega_{cm} なので、どの時間間隔でも ΔXcm>Δs\Delta X_{cm} > \Delta s となります。中心が縁の回る分よりも遠くまで進んでいるので、これはすべりです。

問3 · 途中まで回った縁の点

条件： 車輪が Vcm=4.0 m/sV_{cm} = 4.0\ \text{m/s} で右へすべらずに転がっています。縁の上の点 PP は、てっぺんから時計回りに測って θ=60°\theta = 60\degree の位置にあります。この点の地面系での速度と速さを求めてください。

速度 v⃗P\vec{v}_P は？

速さ ∣v⃗P∣|\vec{v}_P| は？

✅ 正解です！ v⃗P=(6.0 i^−3.46 j^) m/s\vec{v}_P = (6.0\,\hat{\mathbf{i}} - 3.46\,\hat{\mathbf{j}})\ \text{m/s}、速さは 48≈6.93 m/s\sqrt{48} \approx 6.93\ \text{m/s} です。最下点の 00 と、てっぺんの 2Vcm=8.0 m/s2V_{cm} = 8.0\ \text{m/s} の間の値です。
❌ 正弦と余弦を確かめましょう。 θ\theta は鉛直方向から測っているので、θ^=cos⁡θ i^−sin⁡θ j^\hat{\boldsymbol{\theta}} = \cos\theta\,\hat{\mathbf{i}} - \sin\theta\,\hat{\mathbf{j}} です。回転の i^\hat{\mathbf{i}} 成分には cos⁡θ\cos\theta がつきます。
❌ j^\hat{\mathbf{j}} 成分の符号を確かめましょう。 時計回りに回る車輪の前側では、縁は下向きに動きます。つまり −R ωcmsin⁡θ j^-R\,\omega_{cm}\sin\theta\,\hat{\mathbf{j}} です。
❌ i^\hat{\mathbf{i}} 成分を確かめましょう。 これは Vcm+R ωcmcos⁡θ=4.0+4.0cos⁡60°=6.0V_{cm} + R\,\omega_{cm}\cos\theta = 4.0 + 4.0\cos 60\degree = 6.0 です。マイナス符号がつくのは j^\hat{\mathbf{j}} の項だけです。
❌ 惜しい！ Vcm+R ωcm=8.0V_{cm} + R\,\omega_{cm} = 8.0 は、二つのベクトルが平行であるかのように速さを足しています。それが正しいのはてっぺんだけです。ベクトルを足してから大きさをとりましょう。
❌ 惜しい！ v⃗P=(Vcm+R ωcmcos⁡θ) i^−R ωcmsin⁡θ j^\vec{v}_P = (V_{cm} + R\,\omega_{cm}\cos\theta)\,\hat{\mathbf{i}} - R\,\omega_{cm}\sin\theta\,\hat{\mathbf{j}} を、R ωcm=VcmR\,\omega_{cm} = V_{cm} として使いましょう。
❌ 惜しい！ 求めた成分を使って ∣v⃗P∣=vx2+vy2|\vec{v}_P| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} を計算しましょう。
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すべらずに転がるので、R ωcm=Vcm=4.0 m/sR\,\omega_{cm} = V_{cm} = 4.0\ \text{m/s} です。cos⁡60°=12\cos 60\degree = \tfrac{1}{2}、sin⁡60°=32\sin 60\degree = \tfrac{\sqrt{3}}{2} を使うと、

v⃗P=(4.0+4.0⋅12)i^−4.0⋅32 j^=(6.0 i^−23 j^) m/s≈(6.0 i^−3.46 j^) m/s.\vec{v}_P = \left(4.0 + 4.0 \cdot \tfrac{1}{2}\right)\hat{\mathbf{i}} - 4.0 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}\,\hat{\mathbf{j}} = (6.0\,\hat{\mathbf{i}} - 2\sqrt{3}\,\hat{\mathbf{j}})\ \text{m/s} \approx (6.0\,\hat{\mathbf{i}} - 3.46\,\hat{\mathbf{j}})\ \text{m/s}. ∣v⃗P∣=6.02+(23)2=36+12=48≈6.93 m/s.|\vec{v}_P| = \sqrt{6.0^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 + 12} = \sqrt{48} \approx 6.93\ \text{m/s}.

検算：同じ式で、速さは 00（θ=π\theta = \pi）から 2Vcm=8.0 m/s2V_{cm} = 8.0\ \text{m/s}（θ=0\theta = 0）まで変わります。6.93 m/s6.93\ \text{m/s} はその間にあり、縁の前側の上半分にある点として妥当です。

問4 · 氷の上の駆動輪

条件： 半径 R=0.35 mR = 0.35\ \text{m} の車の駆動輪が、氷の上で ωcm=30 rad/s\omega_{cm} = 30\ \text{rad/s} で時計回りに回り、車は Vcm=2.5 m/sV_{cm} = 2.5\ \text{m/s} でゆっくり前へ進んでいます。Δt=0.20 s\Delta t = 0.20\ \text{s} の間に最下点を通り過ぎる縁の長さが、車輪の進む距離よりどれだけ長いかと、接触点の速度を求めてください。

Δs−ΔXcm\Delta s - \Delta X_{cm} は？

接触点の速度は？

✅ 正解です！ 最下点を通り過ぎた縁の長さは、進んだ距離より 1.6 m1.6\ \text{m} 長く、トレッドは氷の上を 8.0 m/s8.0\ \text{m/s} で後ろ向きにこすっています。空転です。
❌ 惜しい！ 2.1 m2.1\ \text{m} は Δs\Delta s だけの値です。車輪が実際に進んだ ΔXcm=Vcm Δt\Delta X_{cm} = V_{cm}\,\Delta t を引きましょう。
❌ 惜しい！ 0.50 m0.50\ \text{m} は ΔXcm\Delta X_{cm}、つまり進んだ距離だけの値です。必要なのは差 Δs−ΔXcm\Delta s - \Delta X_{cm} です。
❌ 惜しい！ それは二つの変位を足しています。問われているのは二つの比較なので、引き算をします。
❌ 符号を確かめましょう。 Vcm−R ωcm=2.5−10.5V_{cm} - R\,\omega_{cm} = 2.5 - 10.5 は負です。縁が中心を追い越しているので、トレッドの最下部は後ろへ動きます。
❌ 惜しい！ Vcm+R ωcm=13 m/sV_{cm} + R\,\omega_{cm} = 13\ \text{m/s} は車輪のてっぺんの速度です。最下点では、回転の項に cos⁡π=−1\cos\pi = -1 がかかります。
❌ 惜しい！ 接触点が静止するのは Vcm=R ωcmV_{cm} = R\,\omega_{cm} のときだけです。ここでは R ωcm=10.5 m/sR\,\omega_{cm} = 10.5\ \text{m/s} が VcmV_{cm} をはるかに上回っています。
❌ 惜しい！ Δs=R ωcm Δt\Delta s = R\,\omega_{cm}\,\Delta t と ΔXcm=Vcm Δt\Delta X_{cm} = V_{cm}\,\Delta t を別々に計算してから、引き算をしましょう。
❌ 惜しい！ v⃗P(θ=π)=(Vcm−R ωcm) i^\vec{v}_P(\theta = \pi) = (V_{cm} - R\,\omega_{cm})\,\hat{\mathbf{i}} を使いましょう。
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縁の接線方向の速さは R ωcm=(0.35 m)(30 rad/s)=10.5 m/sR\,\omega_{cm} = (0.35\ \text{m})(30\ \text{rad/s}) = 10.5\ \text{m/s} です。

ΔXcm=Vcm Δt=(2.5)(0.20)=0.50 m,Δs=R ωcm Δt=(10.5)(0.20)=2.1 m\Delta X_{cm} = V_{cm}\,\Delta t = (2.5)(0.20) = 0.50\ \text{m}, \qquad \Delta s = R\,\omega_{cm}\,\Delta t = (10.5)(0.20) = 2.1\ \text{m} Δs−ΔXcm=2.1−0.50=1.6 m.\Delta s - \Delta X_{cm} = 2.1 - 0.50 = 1.6\ \text{m}.

ΔXcm<Δs\Delta X_{cm} < \Delta s（つまり Vcm<R ωcmV_{cm} < R\,\omega_{cm}）なので、縁が中心を追い越しています。車輪は空転しています。接触点の速度は

v⃗P(θ=π)=(Vcm−R ωcm) i^=(2.5−10.5) i^=−8.0 i^ m/s,\vec{v}_P(\theta = \pi) = (V_{cm} - R\,\omega_{cm})\,\hat{\mathbf{i}} = (2.5 - 10.5)\,\hat{\mathbf{i}} = -8.0\,\hat{\mathbf{i}}\ \text{m/s},

で、トレッドは氷の上を後ろ向きにこすります。そこにはたらく摩擦は、静止摩擦ではなく動摩擦です。

正解数：0 / 4