古典力学 · 第24回 · 動画2 · インタラクティブ教材

円と直線の合成：転がる車輪のビーズと短縮サイクロイド

I重要な公式

公式	名称	意味
$\theta(t) = \omega_{cm}t = \dfrac{V_{cm}}{R}\,t$	すべらずに転がる条件	てっぺんから時計回りに測ったスポークの角度は、一定の割合で増える
$\vec{r}'_b = b\,\hat{r}, \quad \vec{v}'_b = \dfrac{bV_{cm}}{R}\,\hat{\theta}, \quad \vec{a}'_b = -\dfrac{bV_{cm}^2}{R^2}\,\hat{r}$	重心系	半径 $b$ の等速円運動
$x_b = V_{cm}t + b\sin\theta, \quad y_b = R + b\cos\theta$	地面系での位置	$\vec{r}_b = \vec{R}_{cm} + \vec{r}'_b$ 。 $b \lt R$ なら短縮サイクロイド、 $b = R$ ならサイクロイド
$\vec{v}_b = \vec{V}_{cm} + \vec{v}'_b, \quad \vec{a}_b = \vec{a}'_b$	運動の合成	$\vec{A}_{cm} = \vec{0}$ なので、加速度はどちらの座標系でも同じ

ポイント： 中心から見ると、ビーズは円を回ります。中心そのものは直線上を進みます。位置も速度も足し合わされ、中心は加速しないので、地面系での加速度は円運動の加速度だけです。大きさは $bV_{cm}^2/R^2$ で、向きはいつも車軸の方です。

II一つの運動、二つの座標系

重心系で車軸のまわりを回るビーズは、地面系では道に沿った波を描きます。

座標系時刻 t (s) 0.100

III速度は矢印をつないで足す

地面系でのビーズの速度は、 $\vec{V}_{cm}$ に、中心のまわりの円運動の速度 $\frac{b}{R}V_{cm}\,\hat{\theta}$ を足したものです。

💡 チャレンジ： 地面系での速度がゼロになる車輪上のただ一つの点と、いちばん速く動く点を見つけましょう。

IV短縮サイクロイドからサイクロイドへ

ビーズを縁まで移していくと、最下点での速さはゼロまで下がり、それぞれの谷はとがって尖点になります。

ビーズの距離 b / R 0.50

V確認クイズ

問1 · 中心のまわりの速さ

条件： 半径 $R = 0.30\ \text{m}$ の車輪が、 $V_{cm} = 6\ \text{m/s}$ ですべらずに転がっています。車軸から $b = 0.10\ \text{m}$ のところで、スポークにビーズが固定されています。重心系でのビーズの速さを求めてください。

✅ 正解です！

\omega_{cm} = V_{cm}/R = 20\ \text{rad/s}

で、ビーズは

b\,\omega_{cm} = 2\ \text{m/s}

で円を回ります。中心の速さの

b/R = \tfrac{1}{3}

倍です。

❌ それは縁の点の速さです。

b = R

の点だけが

R\,\omega_{cm} = V_{cm}

で回ります。ビーズは中心から縁までの3分の1のところにあります。

❌ 単位を確かめましょう。

bV_{cm}

の単位は

\text{m}^2/\text{s}

です。速さは

b\,\omega_{cm} = bV_{cm}/R

です。

❌ それは地面系での速さです。

V_{cm} + bV_{cm}/R = 8\ \text{m/s}

は、道から見たときの、円のてっぺんでのビーズの速さです。重心系には

V_{cm}

の項はありません。

❌ 惜しい！ すべらずに転がる条件から

\omega_{cm}

を求め、それに

b

をかけましょう。

解答を見る

すべらずに転がる条件から、

\omega_{cm} = \frac{V_{cm}}{R} = \frac{6\ \text{m/s}}{0.30\ \text{m}} = 20\ \text{rad/s}.

重心系では、ビーズは半径 $b$ の円の上を動くので、

|\vec{v}'_b| = b\,\omega_{cm} = \frac{bV_{cm}}{R} = (0.10\ \text{m})(20\ \text{rad/s}) = 2\ \text{m/s}.

問2 · 最下点での加速度

条件： 問1と同じ車輪です（ $R = 0.30\ \text{m}$ 、 $V_{cm} = 6\ \text{m/s}$ 、 $b = 0.10\ \text{m}$ ）。ビーズが車軸の真下にある瞬間の、地面系でのビーズの加速度を求めてください。

✅ 正解です！

\vec{A}_{cm} = \vec{0}

なので

\vec{a}_b = \vec{a}'_b

です。大きさは

bV_{cm}^2/R^2 = 40\ \text{m/s}^2

で、ビーズから車軸の方を向いています。最下点では真上向きです。

❌ 加速しないのは中心です。

\vec{A}_{cm} = \vec{0}

で消えるのは座標系の項だけです。ビーズには、車軸のまわりの円運動の加速度

\vec{a}'_b

が残っています。

❌ それは $V_{cm}^2/R$ です。 これは縁の点の加速度です。ビーズは半径

b

の円を速さ

bV_{cm}/R

で回るので、加速度は

(bV_{cm}/R)^2/b = bV_{cm}^2/R^2

です。

❌ 向心加速度の式に入れる速さが違います。

v^2/b

に地面系での速さ

V_{cm}(1 - b/R) = 4\ \text{m/s}

を入れると

160\ \text{m/s}^2

になりますが、半径

b

の円は重心系での軌道で、そこでのビーズの速さは

2\ \text{m/s}

です。

❌ 惜しい！ ここでは、地面系での加速度は重心系での加速度に等しくなります。

解答を見る

二つの座標系は $\vec{a}_b = \vec{a}'_b + \vec{A}_{cm}$ で結ばれていて、中心は等速度で動くので $\vec{A}_{cm} = \vec{0}$ です。したがって、

\vec{a}_b = -\frac{bV_{cm}^2}{R^2}\,\hat{r}, \qquad |\vec{a}_b| = \frac{(0.10)(6)^2}{(0.30)^2}\ \text{m/s}^2 = \frac{3.6}{0.09}\ \text{m/s}^2 = 40\ \text{m/s}^2.

最下点では $\theta = \pi$ で $\hat{r}$ は下を向くので、 $-\hat{r}$ は真上を向きます。つまり $\vec{a}_b = 40\ \text{m/s}^2\ \hat{j}$ です。この上向きの加速度が、谷のたびに軌道を上へ折り返させます。

問3 · 1/4 回転したときの動画の車輪

条件： $V_{cm} = 5\ \text{m/s}$ 、 $R = 0.25\ \text{m}$ 、 $b = 0.125\ \text{m}$ です。 $t = 0$ でビーズはてっぺんにあり、地面系の原点は最初の中心の真下にあります。 $t = \pi/40\ \text{s}$ での、地面系でのビーズの位置と速度を求めてください。

位置 $(x_b, y_b)$ は何 m ですか？

速度 $(v_{b,x}, v_{b,y})$ は何 m/s ですか？

✅ 正解です！ 1/4 回転すると、ビーズは車軸と同じ高さで、車軸より前に来ます。中心といっしょに前へ進みながら、円に沿って下へ動いています。

❌ 角度が進んでいます。

(V_{cm}t,\ R + b)

では、ビーズがてっぺんにいたままです。この時刻では

\theta = \pi/2

なので、

\sin\theta = 1

、

\cos\theta = 0

です。

❌ $\theta$ の向きを確かめましょう。

\theta

はてっぺんから時計回りに測り、車輪も時計回りに回るので、

\theta = \pi/2

ではビーズは車軸より前にあります。

x_b = V_{cm}t + b

です。

❌ 位置を確かめましょう。

\theta = (V_{cm}/R)\,t

を求めてから、

x_b = V_{cm}t + b\sin\theta

と

y_b = R + b\cos\theta

を計算します。

❌ それはてっぺんでの速さです。

V_{cm}(1 + b/R)

が成り立つのは

\theta = 0

のときだけです。ここでは

\cos\theta = 0

、

\sin\theta = 1

です。

❌ $v_{b,y}$ の符号を確かめましょう。

\hat{\theta} = \cos\theta\,\hat{i} - \sin\theta\,\hat{j}

で、

\theta = \pi/2

では真下を向きます。時計回りの車輪では、縁の前側は下へ運ばれるのです。

❌ それは重心系での速度です。 地面系では

\vec{V}_{cm} = 5\ \text{m/s}\ \hat{i}

を足します。

❌ 速度を確かめましょう。

\vec{v}_b = \vec{V}_{cm} + \frac{b}{R}V_{cm}(\cos\theta\,\hat{i} - \sin\theta\,\hat{j})

です。

解答を見る

角度： $\omega_{cm} = V_{cm}/R = 20\ \text{rad/s}$ なので、 $\theta = 20 \cdot \pi/40 = \pi/2$ です。

位置：

x_b = V_{cm}t + b\sin\theta = 5 \cdot \frac{\pi}{40} + 0.125 = 0.393 + 0.125 = 0.518\ \text{m}

y_b = R + b\cos\theta = 0.25 + 0 = 0.250\ \text{m}

速度： $\frac{b}{R}V_{cm} = 2.5\ \text{m/s}$ を使うと、

v_{b,x} = V_{cm} + \frac{b}{R}V_{cm}\cos\theta = 5 + 0 = 5\ \text{m/s}

v_{b,y} = -\frac{b}{R}V_{cm}\sin\theta = -2.5\ \text{m/s}

速さは $\sqrt{5^2 + 2.5^2} \approx 5.59\ \text{m/s}$ で、谷での $2.5\ \text{m/s}$ と山での $7.5\ \text{m/s}$ の間にあります。

問4 · トレッドにはさまった小石

条件： 半径 $R = 0.30\ \text{m}$ の車のタイヤが $V_{cm} = 30\ \text{m/s}$ ですべらずに転がっていて、トレッドに小石がはさまっています（ $b = R$ ）。地面系での小石の最大の速さと、小石が路面に触れる瞬間の加速度を求めてください。

地面系での最大の速さは？

路面に触れる瞬間の加速度は？

✅ 正解です！ てっぺんで小石は

2V_{cm} = 60\ \text{m/s}

で動きます。尖点では一瞬止まりますが、加速度は真上向きに

V_{cm}^2/R = 3000\ \text{m/s}^2 \approx 300g

です。

❌ それは車軸のまわりの速さです。 地面系では

V_{cm}

を足します。てっぺんでは二つの速度はどちらも前を向いています。

❌ それは車軸と同じ高さでの速さです。

\theta = \pi/2

では二つの速度は垂直です。同じ向きにそろうのは

\theta = 0

、つまりてっぺんです。

❌ てっぺんでの速さを確かめましょう。

v_{\text{top}} = V_{cm}(1 + b/R)

で

b = R

とします。

❌ 速度がゼロでも、加速度がゼロとは限りません。 小石の加速度はどの瞬間も円運動の加速度

-\frac{bV_{cm}^2}{R^2}\hat{r}

で、静止している瞬間も例外ではありません。

❌ $v^2/R$ に入れる速さが違います。 半径

R

の円は重心系での軌道で、そこでの小石の速さは

V_{cm}

です。地面系でのてっぺんの速さ

2V_{cm}

ではありません。

❌ 向きを確かめましょう。 加速度は小石から車軸の方を向いていて、接触点では車軸は真上にあります。

❌ 加速度を確かめましょう。

b = R

を

|\vec{a}_b| = bV_{cm}^2/R^2

に入れます。

解答を見る

最大の速さ： $v_{b,x} = V_{cm}\big(1 + \frac{b}{R}\cos\theta\big)$ と $v_{b,y} = -\frac{b}{R}V_{cm}\sin\theta$ で $b = R$ とすると、

|\vec{v}_b|^2 = V_{cm}^2\big[(1 + \cos\theta)^2 + \sin^2\theta\big] = 2V_{cm}^2(1 + \cos\theta),

これは $\theta = 0$ で最大になり、 $|\vec{v}_b| = 2V_{cm} = 60\ \text{m/s}$ です。

接触の瞬間の加速度： $\vec{A}_{cm} = \vec{0}$ なので $\vec{a}_b = -\frac{bV_{cm}^2}{R^2}\hat{r}$ です。最下点（ $\theta = \pi$ ）で $b = R$ とすると、

\vec{a}_{\text{contact}} = \frac{V_{cm}^2}{R}\,\hat{j} = \frac{(30)^2}{0.30}\ \text{m/s}^2\ \hat{j} = 3000\ \text{m/s}^2\ \hat{j}.

小石は尖点へ降りてきて一瞬止まり、また真上へ引き上げられます。

正解数：0 / 4