古典力学 · 第24回 · 動画3 · インタラクティブ教材

系ごとに一つの拘束条件：斜面の円柱、ヨーヨー、ほどけるドラム

I重要な公式

公式	系	必要なもの
$\Delta X_{cm} = R\,\Delta\theta \;\Rightarrow\; V_{cm} = R\,\omega_{cm} \;\Rightarrow\; A_{cm} = R\,\alpha_{cm}$	斜面をすべらずに転がり落ちる円柱	斜面に接する面の半径 $R$ だけ。 $\beta$ 、 $M$ 、 $I_{cm}$ 、 $h$ は入らない
$b\,\Delta\theta = \Delta l \;\Rightarrow\; b\,\omega_{cm} = V_{cm,y} \;\Rightarrow\; b\,\alpha_{cm} = A_{cm,y}$	落ちるヨーヨー（糸の上端は固定）	糸が離れていく軸の半径 $b$ 。外側の半径 $R$ は関係しない
$\Delta y = R\,\Delta\theta_A + R\,\Delta\theta_B \;\Rightarrow\; a_{A,y} = R\,\alpha_A + R\,\alpha_B$	ドラム $A$ （ドラム $B$ からテープでつり下げたもの）	両方の回転。テープが $A$ からほどけ、 $B$ から下へ送り出され、二つの長さが足し合わされる

ポイント： どの拘束条件も、変位 $=$ 半径 $\times$ 角度という一つの幾何学的な関係を2回微分して得られます。出てくる半径は、物体がそれを支えるものと接する点の縁の半径で、質量も力も慣性モーメントも現れません。力とトルクを考えに入れると、力学の方程式に一つ足りない式を、この拘束条件が補います。

II可視化1 — 斜面を転がり落ちる

円柱が転がって通り過ぎた斜面の長さは、いつも縁が回った弧の長さ $R\,\Delta\theta$ に等しくなります。

時刻 0.60 β 30° R (m) 1.20

💡 表示される速さには、中身のつまった円柱の $A_{cm} = \tfrac{2}{3}g\sin\beta$ を使っています。これは次の章の力学から得られるものです。拘束条件 $A_{cm} = R\,\alpha_{cm}$ は、 $A_{cm}$ の値がいくつでも成り立ちます。

III可視化2 — ヨーヨーの糸はどの半径からほどけるか

糸は軸からはがれていくので、 $\Delta l$ だけ落ちるごとに、ヨーヨーは $\Delta\theta = \Delta l / b$ だけ回ります。 $\Delta l / R$ ではありません。

落下 Δl (cm) 3.0 左の軸 b (cm) 1.2

IV可視化3 — 二つのドラム、二つの寄与

ドラム $A$ は、 $A$ からほどけたテープと、 $B$ から下へ送り出されたテープの分だけ下がります。 $a_{A,y} = R\,\alpha_A + R\,\alpha_B$ です。

時刻 (s) 0.60 α_A (rad/s²) 3.0 α_B (rad/s²) 3.0

V確認クイズ

問1 · 斜面での角加速度

条件： 半径 $R = 0.20\ \text{m}$ の一様な円柱が、 $\beta = 25\degree$ だけ傾いた斜面をすべらずに転がり落ちています。中心は斜面に沿って下向きに $A_{cm} = 3.0\ \text{m/s}^2$ で加速しています。角加速度 $\alpha_{cm}$ の大きさを求めてください。

✅ 正解です！

A_{cm} = R\,\alpha_{cm}

から

\alpha_{cm} = A_{cm}/R = 3.0/0.20 = 15\ \text{rad/s}^2

です。

❌ 割るところをかけています。

R\,A_{cm} = 0.6

の単位は

\text{m}^2/\text{s}^2

です。拘束条件

A_{cm} = R\,\alpha_{cm}

から

\alpha_{cm} = A_{cm}/R

となります。

❌ それは直径で割っています。 縁の点が描く弧は

R\,\Delta\theta

で、半径

R = 0.20\ \text{m}

を使います。

2R

ではありません。

❌ 拘束条件は純粋に幾何学的なものです。

\Delta X_{cm} = R\,\Delta\theta

はどんなに傾いた直線に沿っても成り立つので、

\beta

も

M

も

A_{cm} = R\,\alpha_{cm}

には現れません。それらが必要になるのは

A_{cm}

そのものを求めるときだけで、ここではそれが与えられています。

❌ 惜しい！

A_{cm} = R\,\alpha_{cm}

を、

R = 0.20\ \text{m}

として使いましょう。

解答を見る

すべらずに転がるので、どの時間間隔でも、中心が斜面に沿って進む距離は、縁の点が弧に沿って進む距離に等しくなります。 $\Delta X_{cm} = R\,\Delta\theta$ です。 $\Delta t$ で割って極限をとると $V_{cm} = R\,\omega_{cm}$ となり、もう一回微分すると

A_{cm} = R\,\alpha_{cm} \quad\Rightarrow\quad \alpha_{cm} = \frac{A_{cm}}{R} = \frac{3.0\ \text{m/s}^2}{0.20\ \text{m}} = 15\ \text{rad/s}^2.

傾き $\beta = 25\degree$ は、ここでは惑わせるための情報です。力から $A_{cm}$ を計算するなら必要ですが、拘束条件そのものには角度も質量も入っていません。

問2 · ヨーヨーの回転の速さ

条件： 軸の半径 $b = 0.60\ \text{cm}$ 、外側の半径 $R = 3.0\ \text{cm}$ のヨーヨーが、上端を固定した糸にぶら下がって落ちています。ある瞬間、その中心は $V_{cm,y} = 1.5\ \text{m/s}$ で下へ動いています。角速度 $\omega_{cm}$ を求めてください。

✅ 正解です！ 糸は軸から離れていくので、

b\,\omega_{cm} = V_{cm,y}

となり、

\omega_{cm} = 1.5/0.0060 = 250\ \text{rad/s}

です。

❌ それは外側の半径を使っています。 縁で転がる車輪なら

R

が正しい半径ですが、この糸は軸からほどけます。ほどけた長さに等しい弧は

b\,\Delta\theta

です。

❌ ここで $R - b$ は関係ありません。 ほどけた糸の長さは、中心から距離

b

にある軸の縁の弧に等しいので、

b = 0.0060\ \text{m}

で割ります。

❌ それは軸の直径で割っています。 糸が離れる点は中心から

b

のところにあり、

2b

ではありません。

❌ 惜しい！

b\,\omega_{cm} = V_{cm,y}

を、

b

をメートルに直して使いましょう。

解答を見る

ヨーヨーが $\Delta\theta$ だけ回ると、軸の縁の点は弧 $b\,\Delta\theta$ を描き、これはほどけた糸の長さ $\Delta l$ に等しくなります。糸の上端は固定されているので、中心は同じ $\Delta l$ だけ下がります。 $\Delta t$ で割って極限をとると、

b\,\omega_{cm} = V_{cm,y} \quad\Rightarrow\quad \omega_{cm} = \frac{V_{cm,y}}{b} = \frac{1.5\ \text{m/s}}{0.0060\ \text{m}} = 250\ \text{rad/s}.

外側の半径 $R = 3.0\ \text{cm}$ は慣性モーメントに、したがって力学には入ってきますが、この拘束条件には入りません。

問3 · 静止状態から動き出す二つのドラム

条件： ドラム $B$ は固定された車軸のまわりを回り、ドラム $A$ は、それぞれの縁からほどけるテープでその下にぶら下がっています。どちらも半径は $R = 0.25\ \text{m}$ で、静止状態から一定の角加速度 $\alpha_A = 4.0\ \text{rad/s}^2$ 、 $\alpha_B = 6.0\ \text{rad/s}^2$ で回り始めます。ドラム $A$ の中心の加速度と、 $t = 2.0\ \text{s}$ 後までに下がった距離を求めてください。

$a_{A,y}$ はいくらですか？

$A$ は $t = 2.0\ \text{s}$ までにどれだけ下がりましたか？

✅ 正解です！

a_{A,y} = 0.25(4.0 + 6.0) = 2.5\ \text{m/s}^2

、

\Delta y = \tfrac{1}{2}(2.5)(2.0)^2 = 5.0\ \text{m}

です。これは

2.0\ \text{m}

（

A

からほどけた分）と

3.0\ \text{m}

（

B

から送り出された分）の和です。

❌ 二つの寄与は引き算ではなく足し算です。 どちらの回転も、垂れ下がったテープの部分を長くするので、

a_{A,y} = R\,\alpha_A + R\,\alpha_B

です。

❌ それは一つのドラムの項しか入れていません。

A

は、自分からほどけたテープと、

B

から下へ送り出されたテープの分だけ下がります。それぞれの回転が自分の

R\,\alpha

を受けもちます。

❌ 係数 $\tfrac{1}{2}$ が抜けています。 静止状態から一定の加速度で動くとき、

\Delta y = \tfrac{1}{2}a_{A,y}t^2

で、

a_{A,y}t^2

ではありません。

❌ $a_{A,y}$ を確かめましょう。

\Delta y = R\,\Delta\theta_A + R\,\Delta\theta_B

を2回微分します。

❌ 下がった距離を確かめましょう。

\Delta y = \tfrac{1}{2}a_{A,y}t^2

を使い、

a_{A,y}

には両方のドラムの寄与を入れます。

解答を見る

ステップ1：拘束条件。 $A$ の中心は、両方のドラムからほどけたテープの分だけ下がります。 $\Delta y = R\,\Delta\theta_A + R\,\Delta\theta_B$ を2回微分すると、

a_{A,y} = R\,\alpha_A + R\,\alpha_B = 0.25(4.0) + 0.25(6.0) = 1.0 + 1.5 = 2.5\ \text{m/s}^2.

ステップ2：下がった距離。 静止状態から一定の加速度で動くので、

\Delta y = \tfrac{1}{2}a_{A,y}t^2 = \tfrac{1}{2}(2.5)(2.0)^2 = 5.0\ \text{m}.

部分ごとの検算： $\Delta\theta_A = \tfrac{1}{2}(4.0)(2.0)^2 = 8.0\ \text{rad}$ から $R\,\Delta\theta_A = 2.0\ \text{m}$ 、 $\Delta\theta_B = \tfrac{1}{2}(6.0)(2.0)^2 = 12\ \text{rad}$ から $R\,\Delta\theta_B = 3.0\ \text{m}$ となり、和は $5.0\ \text{m}$ です。

問4 · 動く手に持ったヨーヨー

条件： 軸の半径 $b = 1.0\ \text{cm}$ のヨーヨーが、上端を手で持った糸からぶら下がっています。手は上向きに $2.0\ \text{m/s}^2$ で加速し、ヨーヨーの中心は下向きに $3.0\ \text{m/s}^2$ で加速しています。ヨーヨーの角加速度の大きさを求めてください。

✅ 正解です！ 手と軸の間の糸は

3.0 + 2.0 = 5.0\ \text{m/s}^2

の加速度で伸びていくので、

\alpha_{cm} = 5.0/0.010 = 500\ \text{rad/s}^2

です。テープ自体が動いているドラム

A

と同じです。

❌ それは上端を固定として扱っています。

b\,\alpha_{cm} = A_{cm,y}

は、糸の上端が静止していることを前提にしています。ここでは手も離れていくので、ほどける糸がそのぶん増えます。ドラム

B

がドラム

A

のためにテープを送り出すのと同じです。

❌ 符号を確かめましょう。 下向きを正とすると、手の加速度は

-2.0\ \text{m/s}^2

です。糸の両端は離れていくので、糸の長さは

3.0 - (-2.0) = 5.0\ \text{m/s}^2

の加速度で伸びます。

❌ それは手の項しか入れていません。 中心自身が下がることでも糸はほどけます。両方の離れ方が足し合わされます。

❌ 惜しい！ ほどけた長さは、垂れ下がった糸の長さ

l = y_{cm} - y_{hand}

です。これを2回微分しましょう。

解答を見る

$y$ 軸を下向きにとります。垂れ下がった糸は手から軸までのびているので、その長さは $l = y_{cm} - y_{hand}$ で、 $l$ が伸びた分はすべて軸からほどけた糸です。 $\Delta l = b\,\Delta\theta$ です。2回微分すると、

b\,\alpha_{cm} = \frac{d^2 l}{dt^2} = A_{cm,y} - a_{hand,y} = 3.0 - (-2.0) = 5.0\ \text{m/s}^2.

\alpha_{cm} = \frac{5.0\ \text{m/s}^2}{0.010\ \text{m}} = 500\ \text{rad/s}^2.

手が静止していれば（ $a_{hand,y} = 0$ ）、これは動画の $b\,\alpha_{cm} = A_{cm,y}$ に戻ります。支えが動くと、その分の項が加わります。ドラム $B$ から動いてくるテープが、 $R\,\alpha_B$ という項をドラム $A$ の加速度に加えるのとまったく同じです。

正解数：0 / 4