古典力学 · 第24回 · 動画4 · インタラクティブ教材

軌道とスピン：重心で二つに分かれる角運動量と、地球の公転と自転

I重要な公式

公式	名称	意味
$\vec{\mathbf{L}}_S^{\text{total}} = \vec{\mathbf{L}}_S^{\text{orbital}} + \vec{\mathbf{L}}_{cm}^{\text{spin}}$	軌道とスピンへの分解	どんな質点系でも、どんな点 $S$ についても成り立つ
$\vec{\mathbf{L}}_S^{\text{orbital}} = \vec{\mathbf{r}}_{S,cm}\times\vec{\mathbf{p}}_{\text{sys}}$ , $\ \vec{\mathbf{p}}_{\text{sys}} = m_T\vec{\mathbf{V}}_{cm}$	軌道角運動量	系を、重心（質量中心）にある質量 $m_T$ の一個の粒子とみなしたもの。 $S$ に依存する
$\vec{\mathbf{L}}_{cm}^{\text{spin}} = \sum_i \vec{\mathbf{r}}_{cm,i}\times m_i\vec{\mathbf{v}}_{cm,i} = I_{cm}\,\vec{\boldsymbol{\omega}}_{cm}$	スピン角運動量	重心に対する運動で決まり、 $S$ を含まない（2つ目の形は対称軸のまわりに回る剛体の場合）
$\dfrac{L_S^{\text{orbital}}}{L_{cm}^{\text{spin}}} = \dfrac{5}{2}\,\dfrac{r_{s,e}^2}{R_e^2}\,\dfrac{T_{\text{spin}}}{T_{\text{orbit}}} \approx 3.77\times10^{6}$	地球：軌道とスピンの比	一様な球、円軌道。距離の比の二乗が支配的

ポイント： 2つの交差項が消えるのは、重心から測ると、質量で重みづけした位置の和も速度の和もゼロになるからです。 $\sum_i m_i\vec{\mathbf{r}}_{cm,i} = \vec{\mathbf{0}}$ 、 $\sum_i m_i\vec{\mathbf{v}}_{cm,i} = \vec{\mathbf{0}}$ です。

II可視化1 — 軌道の部分は S に依存し、スピンは依存しない

回転しながら直線上をすべる物体では、粒子ごとの和がいつも軌道とスピンの和に等しくなります。

重心時刻 t 2.0 s

III可視化2 — 軌道の部分が数百万倍も大きい理由

質量が約分されると、比は3つの因子の積になります。対数目盛りでは、それらが足し算になります。

天体

💡 3つの天体はどれも一様な球 $I_{cm} = \tfrac{2}{5}mR^2$ とみなしています。木星は中心に質量が集中している（ $I_{cm} \approx 0.25\,mR^2$ ）ので、実際の比はこれより約 $1.6$ 倍大きくなります。

IV可視化3 — 恒星日と太陽日

地球は軌道上も進むので、再び太陽を向くまでには、恒星に対する一回転より長い時間がかかります。

1年の長さ時刻 0 h

V確認クイズ

問1 · 円板の軌道とスピン

条件： 質量 $2\ \text{kg}$ 、半径 $0.5\ \text{m}$ の一様な円板が、対称軸（中心を通る鉛直な軸）のまわりに $4\ \text{rad/s}$ で回っています。中心は $3\ \text{m/s}$ で水平な直線上を動き、その直線から $2\ \text{m}$ 離れた同じ平面内に点 $S$ があります。上から見ると、自転も、 $S$ のまわりの中心の運動も、どちらも反時計回りです。 $\vec{\mathbf{L}}_S^{\text{total}}$ の大きさを求めてください。

✅ 正解です！ 軌道の

12

とスピンの

1

はどちらも同じ鉛直方向を向いているので、合わせて

13\ \text{kg m}^2/\text{s}

です。

❌ 惜しい！

12

は軌道の部分

d\,m_T V_{cm}

だけです。円板が自分の中心のまわりに回っているので、スピンが加わります。

❌ 慣性モーメントを確かめましょう。 一様な円板の対称軸のまわりの慣性モーメントは、

MR^2

ではなく

I_{cm} = \tfrac{1}{2}MR^2

です。

❌ 向きを確かめましょう。 上から見てどちらの運動も反時計回りなので、2つのベクトルはどちらも上向きで、足し合わされます。

❌ 惜しい！

L^{\text{orbital}} = d\,m_T V_{cm}

と

L^{\text{spin}} = I_{cm}\omega

を別々に計算してから足しましょう。

解答を見る

軌道の部分： 中心は $S$ からの垂直距離 $d = 2\ \text{m}$ の直線上を動くので、

L_S^{\text{orbital}} = d\,m_T V_{cm} = (2)(2)(3) = 12\ \text{kg m}^2/\text{s}.

スピンの部分： 一様な円板の対称軸のまわりでは、

L_{cm}^{\text{spin}} = I_{cm}\,\omega = \tfrac{1}{2}(2)(0.5)^2(4) = 1\ \text{kg m}^2/\text{s}.

上から見てどちらも反時計回りなので、どちらも上向きです。

L_S^{\text{total}} = 12 + 1 = 13\ \text{kg m}^2/\text{s}.

問2 · まっすぐな経路でも軌道角運動量はある

条件： 質量 $3\ \text{kg}$ 、半径 $0.10\ \text{m}$ の一様な円板であるパックが、 $20\ \text{rad/s}$ で反時計回り（ $+z$ から見て）に回りながら、 $\vec{\mathbf{V}}_{cm} = 4\,\hat{\mathbf{i}}\ \text{m/s}$ で $x$ 軸に沿ってすべっています。 $S = (0,\,-1.5\ \text{m})$ のまわりと、経路上にある $S' = (5\ \text{m},\,0)$ のまわりの角運動量を求めてください。

S のまわりの角運動量

S′（経路上）のまわりの角運動量

✅ 正解です！ 軌道の部分

-18\,\hat{\mathbf{k}}

は点によって変わりますが、スピン

+0.3\,\hat{\mathbf{k}}

はどちらの点のまわりでも同じです。

❌ 軌道の部分の向きを確かめましょう。

\vec{\mathbf{r}}_{S,cm}

は上向き（

+\hat{\mathbf{j}}

）、

\vec{\mathbf{p}}_{\text{sys}}

は

+\hat{\mathbf{i}}

向きで、

\hat{\mathbf{j}}\times\hat{\mathbf{i}} = -\hat{\mathbf{k}}

です。

❌ スピンの向きを確かめましょう。

+z

から見て反時計回りなら、スピンは

+\hat{\mathbf{k}}

向きで、ここでは軌道の部分と逆向きです。

❌ まっすぐな経路でも軌道角運動量はあります。 直線上にない点のまわりでは、

\vec{\mathbf{r}}_{S,cm}\times\vec{\mathbf{p}}_{\text{sys}} \neq \vec{\mathbf{0}}

です。

❌ 消えるのは軌道の部分だけです。 経路上では

\vec{\mathbf{r}}_{S',cm}

が

\vec{\mathbf{p}}_{\text{sys}}

と平行になりますが、スピンは

S

を含まないので残ります。

❌ 軌道の部分は点によって変わります。

\vec{\mathbf{L}}

がどの点のまわりでも同じになるのは、全運動量がゼロのときだけです。ここでは

\vec{\mathbf{p}}_{\text{sys}} \neq \vec{\mathbf{0}}

です。

❌ S のまわりの値を確かめましょう。 軌道の部分

\vec{\mathbf{r}}_{S,cm}\times\vec{\mathbf{p}}_{\text{sys}}

とスピン

I_{cm}\omega\,\hat{\mathbf{k}}

を足します。

❌ S′ のまわりの値を確かめましょう。 経路上では、

\vec{\mathbf{r}}_{S',cm}

は

\vec{\mathbf{p}}_{\text{sys}}

と平行です。

解答を見る

スピン（どの点のまわりでも同じ）： $I_{cm} = \tfrac{1}{2}(3)(0.10)^2 = 0.015\ \text{kg m}^2$ なので、

\vec{\mathbf{L}}_{cm}^{\text{spin}} = (0.015)(20)\,\hat{\mathbf{k}} = 0.3\,\hat{\mathbf{k}}\ \text{kg m}^2/\text{s}.

$S$ のまわりの軌道の部分： パックが $(x, 0)$ にあるとき、 $\vec{\mathbf{r}}_{S,cm} = x\,\hat{\mathbf{i}} + 1.5\,\hat{\mathbf{j}}$ 、 $\vec{\mathbf{p}}_{\text{sys}} = 12\,\hat{\mathbf{i}}\ \text{kg m/s}$ なので、

\vec{\mathbf{L}}_S^{\text{orbital}} = (x\,\hat{\mathbf{i}} + 1.5\,\hat{\mathbf{j}})\times 12\,\hat{\mathbf{i}} = 18\,(\hat{\mathbf{j}}\times\hat{\mathbf{i}}) = -18\,\hat{\mathbf{k}}\ \text{kg m}^2/\text{s},

となり、どの $x$ でも同じです。合計は $\vec{\mathbf{L}}_S = -18\,\hat{\mathbf{k}} + 0.3\,\hat{\mathbf{k}} = -17.7\,\hat{\mathbf{k}}\ \text{kg m}^2/\text{s}$ です。

$S'$ のまわり： $\vec{\mathbf{r}}_{S',cm} = (x - 5)\,\hat{\mathbf{i}}$ は $\vec{\mathbf{p}}_{\text{sys}}$ と平行なので、軌道の部分はゼロで、 $\vec{\mathbf{L}}_{S'} = +0.3\,\hat{\mathbf{k}}\ \text{kg m}^2/\text{s}$ です。

問3 · 火星の軌道とスピンの比

条件： 火星は太陽のまわりを、半径 $2.28\times10^{11}\ \text{m}$ の（ほぼ）円い軌道で、周期 $687\ \text{d}$ で回っています。平均半径は $3.39\times10^{6}\ \text{m}$ で、恒星に対して $24\ \text{h}\ 37\ \text{min}$ ごとに1回自転します。火星を一様な球とみなし、 $S$ を太陽にとって $L_S^{\text{orbital}}/L_{cm}^{\text{spin}}$ を求めてください。

✅ 正解です！ 約

17

百万（1700万）です。火星は地球より遠くにあって小さいので、距離の比の二乗がさらに大きくなります。

❌ 因子が1つ抜けています。

I_{cm}

の

\tfrac{2}{5}

は比の分母に入るので、

\tfrac{5}{2}

として効いてきます。

❌ 因子が逆さまです。

\tfrac{2}{5}

は分母にあるスピンの側の因子なので、比には

\tfrac{2}{5}

ではなく

\tfrac{5}{2}

がかかります。

❌ 距離の比を二乗しましょう。 軌道の部分は

m r^2\omega_{\text{orbit}}

、スピンは

\tfrac{2}{5}mR^2\omega_{\text{spin}}

に比例するので、比には

(r/R)^2

が入ります。

❌ 惜しい！

\dfrac{L^{\text{orbital}}}{L^{\text{spin}}} = \dfrac{5}{2}\,\dfrac{r^2}{R^2}\,\dfrac{T_{\text{spin}}}{T_{\text{orbit}}}

を使いましょう。

解答を見る

$L^{\text{orbital}} = m r^2\,\dfrac{2\pi}{T_{\text{orbit}}}$ を $L^{\text{spin}} = \tfrac{2}{5}mR^2\,\dfrac{2\pi}{T_{\text{spin}}}$ で割ると、質量と $2\pi$ が約分されます。

\frac{L_S^{\text{orbital}}}{L_{cm}^{\text{spin}}} = \frac{5}{2}\,\frac{r^2}{R^2}\,\frac{T_{\text{spin}}}{T_{\text{orbit}}}.

距離の因子： $r/R = 2.28\times10^{11}/3.39\times10^{6} = 6.73\times10^{4}$ 、その二乗は $4.52\times10^{9}$ です。

周期の因子： $T_{\text{spin}} = 24\ \text{h}\ 37\ \text{min} = 88{,}620\ \text{s}$ 、 $T_{\text{orbit}} = 687 \times 86{,}400\ \text{s} = 5.94\times10^{7}\ \text{s}$ なので、 $T_{\text{spin}}/T_{\text{orbit}} = 1.49\times10^{-3}$ です。

\frac{L_S^{\text{orbital}}}{L_{cm}^{\text{spin}}} = 2.5 \times 4.52\times10^{9} \times 1.49\times10^{-3} \approx 1.69\times10^{7}.

問4 · 金星の太陽日

条件： 金星は恒星に対して地球の $243.0$ 日ごとに1回自転しますが、その向きは公転の向きと逆です。また、地球の $224.7$ 日ごとに太陽のまわりを1周します。金星の太陽日（太陽が真上に来てから次に真上に来るまで）の長さを求めてください。

✅ 正解です！ 自転が公転と逆向きなので、公転によって太陽のほうが目印を迎えに来る形になり、早く向き合います。そのため太陽日は恒星日より短くなります。

❌ 惜しい！ 太陽日はどちらの周期とも違います。太陽の方向は

2\pi/T_{\text{orbit}}

で回り、惑星は恒星に対して

2\pi/T_{\text{sidereal}}

で回ります。

❌ それは地球の場合の規則です。 角速度を引き算するのは、自転と公転が同じ向きのときです。金星では逆向きなので、角速度は足し算になります。

解答を見る

恒星に対して、惑星は $\omega_{\text{spin}} = 2\pi/T_{\text{sidereal}}$ で回り、惑星から太陽への方向は公転の向きに $\omega_{\text{orbit}} = 2\pi/T_{\text{orbit}}$ で回ります。

地球では2つが同じ向きなので、目印は $\omega_{\text{spin}} - \omega_{\text{orbit}}$ で太陽に追いつきます（これが1日あたり余分の1°です）。金星では逆向きなので、 $\omega_{\text{spin}} + \omega_{\text{orbit}}$ で追いつきます。

\frac{1}{T_{\text{solar}}} = \frac{1}{T_{\text{sidereal}}} + \frac{1}{T_{\text{orbit}}} = \frac{1}{243.0\ \text{d}} + \frac{1}{224.7\ \text{d}}

T_{\text{solar}} = \frac{(243.0)(224.7)}{243.0 + 224.7}\ \text{d} \approx 116.7\ \text{d}.

地球の規則 $1/T_{\text{solar}} = 1/T_{\text{sidereal}} - 1/T_{\text{orbit}}$ を使うと、大きさ $1/2984\ \text{d}^{-1}$ の負の値になってしまい、ここでは誤りです。

正解数：0 / 4