古典力学 · 第24回 · 動画5 · インタラクティブ教材

重心を動かし、そのまわりに回す：転がる物体の運動エネルギーとシャールの定理

I重要な公式

公式	名称	必要なもの
$K = \sum_i \tfrac{1}{2} m_i v_{cm,i}^2 + \tfrac{1}{2} m_T V_{cm}^2$	運動エネルギーの分解	どんな質点系でもよい。 $\sum_i m_i \vec{v}_{cm,i} = \vec{0}$ なので交差項が消える
$K_{\text{total}} = \tfrac{1}{2} m_T V_{cm}^2 + \tfrac{1}{2} I_{cm}\,\omega_{cm}^2$	剛体：並進 + 回転	重心（質量中心）を通り、向きの変わらない軸のまわりの回転
$V_{cm} = R\,\omega_{cm},\ \ I_{cm} = \tfrac{1}{2}MR^2 \;\Rightarrow\; K = \tfrac{3}{4}MV_{cm}^2$	転がる一様な円板	すべらずに転がること
$d\vec{r}_{cm,1} = \dfrac{\mu}{m_1}\,d\vec{r}_{1,2},\ \ d\vec{r}_{cm,2} = -\dfrac{\mu}{m_2}\,d\vec{r}_{1,2}$	シャールの定理の中心となるステップ	$\mu = \dfrac{m_1 m_2}{m_1+m_2}$ , $\ d\vec{r}_i = d\vec{R}_{cm} + d\vec{r}_{cm,i}$

ポイント： 運動とエネルギーは同じ線で分かれます。剛体の微小な変位は重心の並進とそのまわりの回転の和で、運動エネルギーは前者の $\tfrac{1}{2}m_T V_{cm}^2$ と後者の $\tfrac{1}{2}I_{cm}\omega_{cm}^2$ の和になり、交差項はありません。エネルギーの分け方だけなら、剛体である必要はありません。

II可視化1 — どんな系でも成り立つ分解

どんな粒子の集まりでも、 $K$ は重心のまわりのエネルギーと $\tfrac{1}{2}m_T V_{cm}^2$ の和で、交差項はありません。

観測者の座標系の速度 u（m/s、x 方向） 0 矢印

💡 ここでは粒子どうしを何も結びつけていません。同じ分け方が、気体にも、ブレイクショットのあとのビリヤードの球にも、爆竹の破片にも当てはまります。そして、慣性系によって変わるのは $\tfrac{1}{2}m_T V_{cm}^2$ の項だけです。

III可視化2 — 転がる円板

すべらずに転がると、どの点も $\vec{V}_{cm}$ と重心のまわりの回転を合わせた運動をするので、円板のエネルギーは 2/3 と 1/3 に分かれます。

矢印物体転がった距離 0.00 m

IV可視化3 — シャールの定理：二つの粒子、一つの角度

二つの粒子の一歩は、重心の一歩 $d\vec{R}_{cm}$ と各粒子の重心のまわりの一歩の和です。距離が一定なら、後者は一つの角度 $d\theta$ の回転になります。

質量

💡 一歩は拡大して描いています。関係式はどれも変位について一次です。定理を完全に示すには、さらに物体のすべての粒子が、共通の一つの角度だけ、物体の重心を通る共通の一本の軸のまわりに回ることが必要です。

V確認クイズ

問1 · 転がる円板の運動エネルギー

条件： 質量 $M = 4\ \text{kg}$ 、半径 $R = 0.3\ \text{m}$ の中身の詰まった一様な円板が、中心の速さ $V_{cm} = 3\ \text{m/s}$ ですべらずに転がっています。全運動エネルギーを求めてください。

✅ 正解です！

K = \tfrac{1}{2}MV_{cm}^2 + \tfrac{1}{4}MV_{cm}^2 = \tfrac{3}{4}(4)(3)^2 = 27\ \text{J}

です。半径はまったく入ってきません。

❌ 並進の部分だけです。

\tfrac{1}{2}MV_{cm}^2 = 18\ \text{J}

は重心の項です。円板は重心のまわりにも回っているので、

\tfrac{1}{2}I_{cm}\omega_{cm}^2

が加わります。

❌ 回転の部分だけです。

\tfrac{1}{2}I_{cm}\omega_{cm}^2 = \tfrac{1}{4}MV_{cm}^2 = 9\ \text{J}

は重心のまわりのエネルギーです。重心の項

\tfrac{1}{2}MV_{cm}^2

を足しましょう。

❌ 慣性モーメントを確かめましょう。

36\ \text{J}

は薄い輪の

I_{cm} = MR^2

を使った値です。一様な円板では

I_{cm} = \tfrac{1}{2}MR^2

です。

解答を見る

すべらずに転がるので $\omega_{cm} = V_{cm}/R = 10\ \text{rad/s}$ 、また $I_{cm} = \tfrac{1}{2}MR^2 = \tfrac{1}{2}(4)(0.3)^2 = 0.18\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ です。

K = \tfrac{1}{2}MV_{cm}^2 + \tfrac{1}{2}I_{cm}\omega_{cm}^2 = \tfrac{1}{2}(4)(3)^2 + \tfrac{1}{2}(0.18)(10)^2 = 18 + 9 = 27\ \text{J}

同じことですが、 $K = \tfrac{3}{4}MV_{cm}^2 = \tfrac{3}{4}(4)(9) = 27\ \text{J}$ で、2/3 が並進、1/3 が回転です。

問2 · 爆竹

条件： $2\ \text{kg}$ の爆竹が摩擦のない床の上を $5\ \text{m/s}$ ですべり、爆発して $1\ \text{kg}$ の2つの破片に分かれます。爆発の直後、どちらの破片ももとの直線に沿って、 $8\ \text{m/s}$ と $2\ \text{m/s}$ で動きます。爆発直後の、重心のまわりの運動の運動エネルギーを求めてください。

✅ 正解です！ 重心系では破片は

\pm 3\ \text{m/s}

で動くので、

\sum_i \tfrac{1}{2}m_i v_{cm,i}^2 = 9\ \text{J}

です。全体は

9 + 25 = 34\ \text{J}

になります。

❌ 運動量とエネルギーは別物です。 重心系での全運動量はゼロで、そのために交差項が消えます。しかし重心系でも破片は動いているので、そこでの運動エネルギーは正です。

❌ それはもう一方の項です。

\tfrac{1}{2}m_T V_{cm}^2 = \tfrac{1}{2}(2)(5)^2 = 25\ \text{J}

は重心の運動のエネルギーで、内部の爆発では変わりません。

❌ それは全体の値です。

\tfrac{1}{2}(1)(8)^2 + \tfrac{1}{2}(1)(2)^2 = 34\ \text{J}

には重心の運動が含まれています。

\tfrac{1}{2}m_T V_{cm}^2

を引きましょう。

解答を見る

爆発は内部の現象なので、重心の速度は変わりません。

V_{cm} = \frac{(1)(8) + (1)(2)}{2} = 5\ \text{m/s}

重心に対して、破片は $v_{cm,1} = 8 - 5 = 3\ \text{m/s}$ と $v_{cm,2} = 2 - 5 = -3\ \text{m/s}$ で動きます。

\sum_i \tfrac{1}{2}m_i v_{cm,i}^2 = \tfrac{1}{2}(1)(3)^2 + \tfrac{1}{2}(1)(3)^2 = 9\ \text{J}

確認： $\tfrac{1}{2}m_T V_{cm}^2 = 25\ \text{J}$ で、 $25 + 9 = 34\ \text{J} = \tfrac{1}{2}(1)(8)^2 + \tfrac{1}{2}(1)(2)^2$ です。爆発の前は $K = 25\ \text{J}$ で、重心のまわりの部分はありませんでした。爆発が加えた $9\ \text{J}$ は、すべて重心のまわりの項に入ります。

問3 · 二つの粒子に共通の角度

条件： 剛体の二つの粒子 $m_1 = 3\ \text{kg}$ と $m_2 = 1\ \text{kg}$ が、 $|\vec{r}_{1,2}| = 0.8\ \text{m}$ 離れています。微小な変位で、粒子1は二つの粒子の重心のまわりに $|d\vec{r}_{cm,1}| = 1.0\ \text{mm}$ 動きます。粒子2の重心からの距離と、重心のまわりの一歩の長さを求めてください。

$|\vec{r}_{cm,2}|$ はいくらですか？

$|d\vec{r}_{cm,2}|$ はいくらですか？

✅ 正解です！ どちらの粒子も、重心のまわりに

d\theta = 1.0\ \text{mm}/0.2\ \text{m} = 3.0\ \text{mm}/0.6\ \text{m} = 0.005\ \text{rad}

だけ回ります。

❌ 距離を確かめましょう。

|\vec{r}_{cm,2}| = \dfrac{\mu}{m_2}|\vec{r}_{1,2}|

を、

\mu = \dfrac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}

として使います。

❌ それは粒子1の距離です。 重い粒子ほど重心の近くにあります。

m_1|\vec{r}_{cm,1}| = m_2|\vec{r}_{cm,2}|

なので、軽い粒子2は3倍遠くにあります。

❌ 一歩を確かめましょう。 どちらの粒子も同じ

d\theta

だけ回るので、重心のまわりの一歩は、その粒子の重心からの距離に比例します。

❌ 一歩が等しいなら並進になってしまいます。 重心のまわりの一歩は

m_1\,d\vec{r}_{cm,1} = -m_2\,d\vec{r}_{cm,2}

を満たすので、質量が違えば等しくなりません。

❌ 比が逆です。 粒子2のほうが重心から遠いので、同じ角度ならより長く動きます。

|d\vec{r}_{cm,2}| = \dfrac{m_1}{m_2}|d\vec{r}_{cm,1}|

です。

解答を見る

換算質量は $\mu = \dfrac{(3)(1)}{3+1} = \tfrac{3}{4}\ \text{kg}$ なので、

|\vec{r}_{cm,1}| = \frac{\mu}{m_1}|\vec{r}_{1,2}| = \frac{1}{4}(0.8) = 0.2\ \text{m}, \qquad |\vec{r}_{cm,2}| = \frac{\mu}{m_2}|\vec{r}_{1,2}| = \frac{3}{4}(0.8) = 0.6\ \text{m}

確認： $m_1|\vec{r}_{cm,1}| = 0.6 = m_2|\vec{r}_{cm,2}|$ です。 $d\vec{r}_{cm,1} = \dfrac{\mu}{m_1}d\vec{r}_{1,2}$ と $d\vec{r}_{cm,2} = -\dfrac{\mu}{m_2}d\vec{r}_{1,2}$ から、

|d\vec{r}_{cm,2}| = \frac{m_1}{m_2}\,|d\vec{r}_{cm,1}| = 3(1.0\ \text{mm}) = 3.0\ \text{mm}

どちらも一つの角度だけ回ります： $d\theta = \dfrac{1.0\ \text{mm}}{200\ \text{mm}} = \dfrac{3.0\ \text{mm}}{600\ \text{mm}} = 0.005\ \text{rad}$ です。

問4 · 斜面を転がり落ちる

条件： 中身の詰まった一様な円板が静止状態から動き出し、斜面をすべらずに転がり落ちて、中心が $h = 0.6\ \text{m}$ 下がります。接触点は瞬間的に静止しているので、そこにはたらく静止摩擦力は仕事をしません。 $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ として、斜面の下での速さ $V_{cm}$ を求めてください。

✅ 正解です！

\tfrac{3}{4}MV_{cm}^2 = Mgh

から

V_{cm} = \sqrt{4gh/3} = 2.80\ \text{m/s}

です。解放されたエネルギーの 1/3 は回転に使われます。

❌ それはすべり落ちるブロックの場合です。

\sqrt{2gh}

は

Mgh

をすべて並進に回した値です。転がる円板は、回転のエネルギー

\tfrac{1}{4}MV_{cm}^2

ももたなければなりません。

❌ それは薄い輪の場合です。

\sqrt{gh}

は

K = MV_{cm}^2

、つまり

I_{cm} = MR^2

から出てきます。円板では

I_{cm} = \tfrac{1}{2}MR^2

です。

❌ それは中身の詰まった球の場合です。

\sqrt{10gh/7}

は

I_{cm} = \tfrac{2}{5}MR^2

から出てきます。円板では

I_{cm} = \tfrac{1}{2}MR^2

です。

解答を見る

仕事をする力は重力だけなので、力学的エネルギーは保存されます。転がりの条件から $\omega_{cm} = V_{cm}/R$ で、斜面の下での円板の運動エネルギーは

K = \tfrac{1}{2}MV_{cm}^2 + \tfrac{1}{2}\big(\tfrac{1}{2}MR^2\big)\Big(\frac{V_{cm}}{R}\Big)^2 = \tfrac{3}{4}MV_{cm}^2

$\tfrac{3}{4}MV_{cm}^2 = Mgh$ とおくと、

V_{cm} = \sqrt{\frac{4gh}{3}} = \sqrt{\frac{4(9.8)(0.6)}{3}} = \sqrt{7.84} = 2.80\ \text{m/s}

質量と半径は約分されるので、一様な円板ならどれも同じ速さで下に着きます。

正解数：0 / 4