古典力学 · 第25回 · 動画2 · インタラクティブ教材

一押しで並進と回転：剛体の運動方程式・仕事とエネルギー・角力積

I重要な公式

公式	名称	意味
$\vec{F}^{\,\text{ext}} = m\vec{A}_{\text{cm}}$	並進	力が物体のどこにはたらいても、 $\vec{A}_{\text{cm}}$ は同じです
$\tau_{\text{cm},z}^{\,\text{ext}} = I_{\text{cm}}\,\alpha_{\text{cm},z}$	重心のまわりの回転	重心（質量中心）を通る向きの変わらない軸のまわりの回転に使います。重心が加速していても成り立ちます
$W = \Delta K_{\text{trans}} + \Delta K_{\text{rot}}, \quad K = \tfrac{1}{2}mV_{\text{cm}}^2 + \tfrac{1}{2}I_{\text{cm}}\,\omega_{\text{cm}}^2$	仕事とエネルギーの関係	2つの時刻の速さを結びつけます。力の仕事は、作用点の変位で計算します
$F\Delta t = m\,\Delta V_{\text{cm}}, \quad \int \tau_{\text{cm}}\,dt = I_{\text{cm}}\,\Delta\omega$	力積と角力積	短い一押しが重心を動かし、同時に物体を重心のまわりに回します

ポイント： 打撃を受けた棒（A に $2M$ 、B に $M$ 、長さ $D$ 、B に力積 $F\Delta t$ ）では、 $V_{\text{cm}} = \dfrac{F\Delta t}{3M}$ 、 $I_{\text{cm}} = \tfrac{2}{3}MD^2$ 、 $\omega = \dfrac{F\Delta t}{MD}$ で、運動エネルギー $\dfrac{(F\Delta t)^2}{2M}$ の3分の2が回転の分です。

IIどこを押すか

同じ力積なら、いつでも $V_{\text{cm}} = F\Delta t/3M$ です。スピンを決めるのは、重心のまわりのモーメントアーム $h$ だけです。

打撃点（B からの高さ） 0

III仕事は作用点の変位で決まる

押している間に力がする仕事は、 $F$ と B が動く距離の積です。この仕事が、スピンのエネルギーもまかないます。

時刻 t / Δt 0.60

💡 押す時間は短いので、力がはたらいている間、棒はほとんど回りません。力は棒に垂直なままでモーメントアームは $\tfrac{2}{3}D$ のまま、B の速さは $t$ に比例して増えていきます。

IV軌道の部分とスピンの部分の和はゼロ

B の最初の位置 O のまわりでは角運動量はゼロのままなので、軌道の部分とスピンの部分が打ち消し合います。

質量比 m_A / m_B 2

V確認クイズ

問1 · 角を押す

条件： 質量 $3.0\ \text{kg}$ の板が宇宙空間に浮かんでいます。板に垂直な $6.0\ \text{N}$ の力が、板の角の1つを押します。その瞬間の板の重心の加速度を求めてください。

✅ 正解です！

\vec{F}^{\,\text{ext}} = m\vec{A}_{\text{cm}}

は、力がどこにはたらくかによりません。

A_{\text{cm}} = 6.0/3.0 = 2.0\ \text{m/s}^2

です。

❌ 惜しい！ 外力の合力がはたらけば、重心は必ず加速します。作用点が決めるのは、物体が回転もするかどうかだけです。

❌ 惜しい！力が「使われて減る」ことはありません。 並進の運動方程式は、作用点がどこでもそのまま成り立ちます。回転は重心のまわりのトルクから生じ、それは別の式です。

❌ 惜しい！

I_{\text{cm}}

とモーメントアームが入るのは、回転の運動方程式

\tau_{\text{cm},z} = I_{\text{cm}}\alpha_{\text{cm},z}

だけです。重心の加速度に必要なのは、力と質量だけです。

解答を見る

剛体の運動量は $m\vec{V}_{\text{cm}}$ で、 $m$ は一定です。したがって、

\vec{F}^{\,\text{ext}} = m\vec{A}_{\text{cm}} \quad\Rightarrow\quad A_{\text{cm}} = \frac{6.0\ \text{N}}{3.0\ \text{kg}} = 2.0\ \text{m/s}^2.

同じ力で重心を通るように押しても、 $A_{\text{cm}}$ は同じです。角を押すと重心のまわりの角加速度が加わりますが、 $A_{\text{cm}}$ が小さくなるわけではありません。

問2 · 重心から測る

条件： 打撃を受けた棒で、 $M = 0.50\ \text{kg}$ （つまり A は $1.0\ \text{kg}$ 、B は $0.50\ \text{kg}$ ）、 $D = 0.60\ \text{m}$ とし、B に棒と垂直な力積 $F\Delta t = 0.90\ \text{N}\cdot\text{s}$ を加えます。押したあとの角速度の大きさを求めてください。

✅ 正解です！ 角力積

\tfrac{2}{3}D\,F\Delta t = 0.36\ \text{N}\cdot\text{m}\cdot\text{s}

を

I_{\text{cm}} = 0.12\ \text{kg}\cdot\text{m}^2

で割ると、

3.0\ \text{rad/s} = F\Delta t/MD

になります。

❌ 惜しい！棒の中点ではなく、重心を使いましょう。 モーメントアームも慣性モーメントも、重心のまわりでとる必要があります。重心は中点より

D/6

上、重いほうの質量寄りにあります。

❌ モーメントアームを確かめましょう。 B は重心より

\tfrac{2}{3}D = 0.40\ \text{m}

下にあります。

D/2 = 0.30\ \text{m}

ではありません。トルクは重心のまわりでとります。

❌ モーメントアームを確かめましょう。 回転の運動方程式では重心のまわりのトルクを使うので、うでの長さは重心から B までの距離

\tfrac{2}{3}D

です。棒全体の長さ

D

ではありません。

解答を見る

重心の位置：B から $\tfrac{2}{3}D = 0.40\ \text{m}$ 上、A から $\tfrac{1}{3}D = 0.20\ \text{m}$ 下です。

I_{\text{cm}} = (1.0)(0.20)^2 + (0.50)(0.40)^2 = 0.04 + 0.08 = 0.12\ \text{kg}\cdot\text{m}^2 = \tfrac{2}{3}MD^2.

重心のまわりの角力積は、スピン角運動量の変化に等しくなります。

\tfrac{2}{3}D\,F\Delta t = (0.40)(0.90) = 0.36 = I_{\text{cm}}\,\omega \quad\Rightarrow\quad \omega = \frac{0.36}{0.12} = 3.0\ \text{rad/s}.

公式で確かめると、 $\omega = \dfrac{F\Delta t}{MD} = \dfrac{0.90}{(0.50)(0.60)} = 3.0\ \text{rad/s}$ です。

問3 · エネルギーはどこから来るか

条件： 問2と同じ棒と力積です（ $M = 0.50\ \text{kg}$ 、 $D = 0.60\ \text{m}$ 、 $F\Delta t = 0.90\ \text{N}\cdot\text{s}$ 、 $\omega = 3.0\ \text{rad/s}$ ）。押したあとの並進の運動エネルギーと、力がした仕事を求めてください。

並進の運動エネルギーは？

力がした仕事は？

✅ 正解です！

K_{\text{trans}} = 0.27\ \text{J}

、

K_{\text{rot}} = 0.54\ \text{J}

で、作用点で計算した力の仕事

0.81\ \text{J}

が両方をまかないます。

❌ $K_{\text{trans}}$ を確かめましょう。 全質量

3M = 1.5\ \text{kg}

と

V_{\text{cm}} = F\Delta t/3M = 0.60\ \text{m/s}

を使いましょう。

❌ 惜しい！

F\Delta t/M = 1.8\ \text{m/s}

は押したあとの B の速さで、重心の速さではありません。力積が変えるのは、

3M

全体の運動量です。

❌ 仕事を確かめましょう。 仕事とエネルギーの関係から

W = K_{\text{trans}} + K_{\text{rot}}

です（静止から始まるので）。

❌ 惜しい！それは $F$ と重心の変位の積です。 これで得られるのは

K_{\text{trans}}

だけです。力の仕事は、作用点 B の変位で計算します。

❌ 惜しい！ 押している間、B の速さは

0

から

1.8\ \text{m/s}

まで一定の割合で増えるので、進む距離は

\tfrac{1}{2}(1.8)\Delta t

です。

(1.8)\Delta t

ではありません。

解答を見る

並進： $V_{\text{cm}} = \dfrac{F\Delta t}{3M} = \dfrac{0.90}{1.5} = 0.60\ \text{m/s}$ なので、

K_{\text{trans}} = \tfrac{1}{2}(1.5)(0.60)^2 = 0.27\ \text{J} = \frac{(F\Delta t)^2}{6M}.

回転： $K_{\text{rot}} = \tfrac{1}{2}I_{\text{cm}}\,\omega^2 = \tfrac{1}{2}(0.12)(3.0)^2 = 0.54\ \text{J}$ です。

仕事： 押し終わったときの B の速さは $v_B = V_{\text{cm}} + \omega\,\tfrac{2}{3}D = 0.60 + (3.0)(0.40) = 1.8\ \text{m/s}$ で、速さは一定の割合で増えるので、B が進む距離は $\Delta x_B = \tfrac{1}{2}v_B\,\Delta t$ です。

W = F\,\Delta x_B = \tfrac{1}{2}(F\Delta t)\,v_B = \tfrac{1}{2}(0.90)(1.8) = 0.81\ \text{J} = 0.27 + 0.54.

問4 · 一端を打たれた一様な棒

条件： 質量 $1.2\ \text{kg}$ 、長さ $0.80\ \text{m}$ の一様な棒が宇宙空間に浮かんでいます。棒に垂直な短い力積 $J = 0.60\ \text{N}\cdot\text{s}$ が、棒の一端に加わります（ $I_{\text{cm}} = \tfrac{1}{12}mL^2$ ）。押したあとの角速度の大きさと運動エネルギーを求めてください。

角速度の大きさは？

運動エネルギーは？

✅ 正解です！

\omega = 6J/(mL) = 3.75\ \text{rad/s}

で、

K = 0.15 + 0.45 = 0.60\ \text{J}

です。その4分の3が回転の分です。

❌ $\omega$ を確かめましょう。 重心のまわりの角力積

J\cdot\tfrac{L}{2}

が

I_{\text{cm}}\,\omega

に等しくなります。ここで

I_{\text{cm}} = \tfrac{1}{12}mL^2

です。

❌ 惜しい！ 反対側の端を固定しているものはありません。自由な物体は重心のまわりに回るので、

I_{\text{cm}}

とモーメントアーム

L/2

を使います。反対側の端のまわりの

\tfrac{1}{3}mL^2

と

L

ではありません。

❌ モーメントアームを確かめましょう。 端は重心から

L/2 = 0.40\ \text{m}

のところにあります。

L

ではありません。

❌ 惜しい！

F\Delta t/(MD)

は、2つの質量をつないだ棒の結果です。一様な棒では

I_{\text{cm}}

もモーメントアームも違うので、

J\cdot\tfrac{L}{2} = I_{\text{cm}}\,\omega

から計算し直しましょう。

❌ $K$ を確かめましょう。

\tfrac{1}{2}mV_{\text{cm}}^2

と

\tfrac{1}{2}I_{\text{cm}}\,\omega^2

を足しましょう。

❌ 惜しい！それは並進の部分だけです。 スピンがさらに

\tfrac{1}{2}I_{\text{cm}}\,\omega^2 = 0.45\ \text{J}

をもっています。

❌ 惜しい！ 押している間、打たれた端の速さは

0

から

2.0\ \text{m/s}

まで増えるので、仕事は

\tfrac{1}{2}J\,v_{\text{end}}

です。

J\,v_{\text{end}}

ではありません。

解答を見る

並進： $V_{\text{cm}} = J/m = 0.60/1.2 = 0.50\ \text{m/s}$ です。

回転： $I_{\text{cm}} = \tfrac{1}{12}(1.2)(0.80)^2 = 0.064\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ 、モーメントアームは $L/2 = 0.40\ \text{m}$ です。

J\,\tfrac{L}{2} = I_{\text{cm}}\,\omega \quad\Rightarrow\quad \omega = \frac{(0.60)(0.40)}{0.064} = \frac{0.24}{0.064} = 3.75\ \text{rad/s}.

エネルギー：

K = \tfrac{1}{2}(1.2)(0.50)^2 + \tfrac{1}{2}(0.064)(3.75)^2 = 0.15 + 0.45 = 0.60\ \text{J}.

仕事で確かめる： 打たれた端は $v_{\text{end}} = V_{\text{cm}} + \omega\tfrac{L}{2} = 0.50 + 1.50 = 2.0\ \text{m/s}$ で動き出すので、 $W = \tfrac{1}{2}J\,v_{\text{end}} = \tfrac{1}{2}(0.60)(2.0) = 0.60\ \text{J}$ です。

正解数：0 / 4