古典力学 · 第25回 · 動画4 · インタラクティブ教材

落ちるヨーヨー：三つの式で張力・加速度・最後の回転を求める

I重要な公式

公式	名称	意味
$mg - T = ma_y$ , $\ bT = I_{\text{cm}}\alpha_z$ , $\ a_y = b\,\alpha_z$	3つの式	$\hat{j}$ 方向（下向き）のニュートンの法則、重心（質量中心）のまわりのトルク、糸がほどける拘束条件。未知数は $T$ 、 $a_y$ 、 $\alpha_z$
$T = \dfrac{mg}{1 + 2b^2/R^2}$	糸の張力	$I_{\text{cm}} = \tfrac{1}{2}mR^2$ のとき。常に重さより小さい
$\alpha_z = \dfrac{2bg}{R^2 + 2b^2}$ , $\ a_y = b\,\alpha_z = \dfrac{g}{1 + R^2/(2b^2)}$	角加速度と加速度	どちらも一定で正。向きは下向きと時計回り（ $\hat{k}$ は紙面の奥向き）。 $a_y < g$
$\omega_f = \sqrt{\dfrac{4gl}{R^2 + 2b^2}}$	最後の回転	長さ $l$ の糸がほどけ切るまでのエネルギー保存。張力は仕事をしない

ポイント： 軸の半径 $b$ は2回登場します。張力のモーメントアームとして、そして拘束条件の中の半径としてです。外側の円板の半径 $R$ は、 $I_{\text{cm}}$ を通してしか現れません。 $R = 3b$ なら $T = \tfrac{9}{11}mg$ 、 $a_y = \tfrac{2}{11}g$ です。

II可視化1 — 3つの式をすべて満たす張力は1つだけ

張力を仮に決めると、ニュートンの法則と「トルク + 拘束条件」がそれぞれ加速度を予言します。2つが一致するのは、ただ1つの $T$ のときだけです。

円板 : 軸仮の T / mg 1.00

III可視化2 — 細い軸：落下は遅く、最後の回転は速く

同じ円板のまま軸の半径 $b$ を小さくすると、落下には時間がかかるようになりますが、 $\omega_f = \sqrt{4gl/(R^2 + 2b^2)}$ は大きくなります。

ヨーヨーBの軸時刻 t 0.000 s

💡 $b \to 0$ とすると、落下時間は限りなく長くなりますが、 $\omega_f$ はこの円板では $\sqrt{4gl}/R \approx 162\ \text{rad/s}$ に近づきます。

IV可視化3 — 落ちていく間のエネルギーの収支

$U = -mgy$ 、 $E_i = 0$ とすると、失われた位置エネルギーは、並進と回転に $2b^2 : R^2$ の比で分かれます。

軸深さ y 0.30 m

V確認クイズ

問1 · 太い軸のときの張力

条件： 質量 $m$ のヨーヨーの軸の半径は $b$ 、外側の円板の半径は $R = 2b$ で、 $I_{\text{cm}} = \tfrac{1}{2}mR^2$ です。鉛直な糸の上端を固定したまま、ヨーヨーを静かに放します。張力 $T$ を求めてください。

✅ 正解です！

2b^2/R^2 = 2b^2/(4b^2) = \tfrac{1}{2}

なので、

T = mg/(1 + \tfrac{1}{2}) = \tfrac{2}{3}mg

です。

❌ 惜しい！

\tfrac{1}{3}

はこのヨーヨーの

a_y/g

で、

T/mg

ではありません。ニュートンの法則から

T = mg - ma_y = mg - \tfrac{1}{3}mg

となります。

❌ 惜しい！ それは拘束条件を

a_y = R\alpha_z

と書いたときの値です。糸は軸からほどけるので、拘束条件の半径は

b

で、

a_y = b\,\alpha_z

となります。

❌ 惜しい！

T = mg

では合力が0なので

a_y = 0

です。しかしトルク

bT

によって

\alpha_z > 0

となるので、拘束条件

a_y = b\,\alpha_z

が成り立ちません。

❌ 惜しい！

mg - T = ma_y

、

bT = I_{\text{cm}}\alpha_z

、

a_y = b\,\alpha_z

を組み合わせましょう。

解答を見る

拘束条件をニュートンの法則に代入し、さらに $\alpha_z = bT/I_{\text{cm}}$ を代入します。

mg - T = mb\,\alpha_z = \frac{mb^2\,T}{I_{\text{cm}}} \quad\Rightarrow\quad T = \frac{mg}{1 + mb^2/I_{\text{cm}}} = \frac{mg}{1 + 2b^2/R^2}

$R = 2b$ では $2b^2/R^2 = 2b^2/(4b^2) = \tfrac{1}{2}$ なので、

T = \frac{mg}{1 + \tfrac{1}{2}} = \tfrac{2}{3}mg

確認： $a_y = g - T/m = \tfrac{1}{3}g$ 、そして $b\,\alpha_z = b^2T/I_{\text{cm}} = \tfrac{2b^2}{R^2}\cdot\tfrac{2}{3}g = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{3}g = \tfrac{1}{3}g$ ✓

問2 · どちらの半径でほどけるか

条件： 動画のヨーヨーです。軸の半径 $b = 1.0\ \text{cm}$ 、外側の円板の半径 $R = 3.0\ \text{cm}$ 、 $I_{\text{cm}} = \tfrac{1}{2}mR^2$ 、 $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ とします。重心の加速度の大きさを求めてください。

✅ 正解です！

R = 3b

から

a_y = g/(1 + 9/2) = \tfrac{2}{11}g \approx 1.78\ \text{m/s}^2

です。

❌ 惜しい！

3.92 = \tfrac{2}{5}g

は、拘束条件を

a_y = R\,\alpha_z

としたときの値です。糸は軸から離れるので、1ラジアンあたりにほどける長さは

b

で、

R

ではありません。

❌ 惜しい！

2.18 = 2b^2g/R^2

は、分母の

2b^2

を落としています。正しくは

a_y = \dfrac{2b^2 g}{R^2 + 2b^2}

です。

❌ 惜しい！

6.53 = \tfrac{2}{3}g

は、糸を縁に巻いた場合（

b = R

）の答えです。ここでは軸が細いので、ヨーヨーはずっとゆっくり落ちます。

❌ 惜しい！

a_y = g/\bigl(1 + R^2/(2b^2)\bigr)

を使いましょう。

解答を見る

3つの式から、 $a_y = b\,\alpha_z = \dfrac{2b^2 g}{R^2 + 2b^2} = \dfrac{g}{1 + R^2/(2b^2)}$ です。 $R/b = 3$ とすると、

\frac{R^2}{2b^2} = \frac{9}{2}, \qquad a_y = \frac{g}{1 + \tfrac{9}{2}} = \frac{2}{11}g = \frac{2}{11}(9.8) \approx 1.78\ \text{m/s}^2

効くのは比 $R/b$ だけです。そして拘束条件に入る半径は、糸がヨーヨーを離れる軸の半径 $b$ です。

問3 · エネルギーで求める最後の回転

条件： 同じヨーヨー（ $b = 1.0\ \text{cm}$ 、 $R = 3.0\ \text{cm}$ 、 $I_{\text{cm}} = \tfrac{1}{2}mR^2$ ）が静止状態から動き出し、長さ $l = 0.80\ \text{m}$ の糸をほどき切ります。 $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ とし、空気抵抗は無視します。糸の下端での角速度の大きさ $\omega_f$ を求めてください。

✅ 正解です！

\omega_f = \sqrt{4gl/(R^2 + 2b^2)} = \sqrt{31.36/(1.1\times10^{-3})} \approx 169\ \text{rad/s}

です。

❌ 惜しい！ それは

\tfrac{1}{2}mv_f^2 = mgl

とおいて、回転の運動エネルギーを無視しています。ここでは回転の運動エネルギーが、エネルギーの

\tfrac{9}{11}

を占めます。

❌ 惜しい！ それは

\tfrac{1}{4}mR^2\omega_f^2

だけを残しています。中心も動くので、

\tfrac{1}{2}mb^2\omega_f^2

が加わります。

❌ 惜しい！ それは

v_f = R\,\omega_f

を使っています。静止している点は糸が軸を離れる点なので、

v_f = b\,\omega_f

です。

❌ 惜しい！

\bigl(\tfrac{1}{2}mb^2 + \tfrac{1}{4}mR^2\bigr)\omega_f^2 = mgl

とおきましょう。

解答を見る

張力は瞬間的に静止している点にはたらくので仕事をせず、 $E_f = E_i = 0$ です。 $v_f = b\,\omega_f$ と $I_{\text{cm}} = \tfrac{1}{2}mR^2$ を使うと、

\tfrac{1}{2}mb^2\omega_f^2 + \tfrac{1}{4}mR^2\omega_f^2 - mgl = 0 \quad\Rightarrow\quad \omega_f = \sqrt{\frac{4gl}{R^2 + 2b^2}}

R^2 + 2b^2 = 9.0\times10^{-4} + 2.0\times10^{-4} = 1.1\times10^{-3}\ \text{m}^2, \qquad 4gl = 4(9.8)(0.80) = 31.36\ \text{m}^2/\text{s}^2

\omega_f = \sqrt{\frac{31.36}{1.1\times10^{-3}}} = \sqrt{2.851\times10^{4}} \approx 169\ \text{rad/s}

運動学による確認： $a_y = \tfrac{2}{11}(9.8) \approx 1.782\ \text{m/s}^2$ 、 $\Delta t = \sqrt{2l/a_y} \approx 0.948\ \text{s}$ 、 $\alpha_z = 2bg/(R^2 + 2b^2) \approx 178.2\ \text{rad/s}^2$ で、 $\alpha_z\,\Delta t \approx 169\ \text{rad/s}$ ✓

問4 · 同じ方法で解く、転がる円柱

条件： 一様な中身の詰まった円柱（ $I_{\text{cm}} = \tfrac{1}{2}mR^2$ ）が、静止状態から $\theta = 30\degree$ の斜面をすべらずに転がり落ちます。静止摩擦力 $f$ は、中心から $R$ の距離にある接触点に、斜面に沿って上向きにはたらきます。中心の加速度 $a$ と摩擦力 $f$ を求めてください。

中心の加速度は？

摩擦力は？

✅ 正解です！ 摩擦力が、

b = R

の糸の役割を果たします。

a = \tfrac{2}{3}g\sin 30\degree = \tfrac{1}{3}g

、

f = \tfrac{1}{2}ma = \tfrac{1}{6}mg

です。

❌ 加速度を確かめましょう。

\tfrac{1}{2}g = g\sin 30\degree

は摩擦を無視しています。

\tfrac{2}{3}g

は

\sin 30\degree

が抜けています。

\tfrac{1}{4}g

は薄い輪（

I_{\text{cm}} = mR^2

）の値です。

mg\sin\theta - f = ma

、

fR = I_{\text{cm}}\alpha

、

a = R\alpha

を解きましょう。

❌ 摩擦力を確かめましょう。 トルクの式と拘束条件から

f = I_{\text{cm}}a/R^2 = \tfrac{1}{2}ma

です。中心のまわりのトルクを生むのは摩擦力だけなので、摩擦力は0にはなりません。

解答を見る

斜面に沿って下向きを正にとります。3つの式は、ヨーヨーのときとまったく同じ形です。

mg\sin\theta - f = ma, \qquad fR = \tfrac{1}{2}mR^2\,\alpha, \qquad a = R\,\alpha

2つ目と3つ目の式から $f = \tfrac{1}{2}ma$ です。すると $mg\sin\theta = \tfrac{3}{2}ma$ となるので、

a = \tfrac{2}{3}g\sin\theta = \tfrac{2}{3}g\cdot\tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{3}g \approx 3.27\ \text{m/s}^2, \qquad f = \tfrac{1}{2}ma = \tfrac{1}{6}mg

これは、ヨーヨーの結果で $b = R$ とし、 $mg$ を $mg\sin\theta$ に置き換えたものです。 $f = \dfrac{mg\sin\theta}{1 + 2R^2/R^2} = \tfrac{1}{3}mg\sin\theta$ 。

正解数：0 / 4