古典力学 · 第25回 · 動画5 · インタラクティブ教材

斜面を転がる円柱を三通りで解く：力とトルク、エネルギー、接触線上の点のまわりのトルク

I重要な公式

公式	名称	何がわかるか
$Mg\sin\beta - f_s = Ma_x,\ \ f_s R = I_{\text{cm}}\alpha_z,\ \ \alpha_z = a_x/R$	方法1：力 + 重心（質量中心）のまわりのトルク	$a_x = \tfrac{2}{3}g\sin\beta$ と、斜面に沿って上向きの $f_s = \tfrac{1}{3}Mg\sin\beta$
$\tfrac{1}{3}Mg\sin\beta \le \mu_s Mg\cos\beta \;\Rightarrow\; \mu_s \ge \tfrac{1}{3}\tan\beta$	転がるための条件	静止摩擦力が出せるのは最大で $\mu_s N$ （ $N = Mg\cos\beta$ ）
$Mgh = \tfrac{1}{2}Mv_{x,f}^{\ 2} + \tfrac{1}{2}I_{\text{cm}}\omega_{z,f}^{\ 2} = \tfrac{3}{4}Mv_{x,f}^{\ 2}$	方法2：エネルギー	$v_{x,f} = \sqrt{\tfrac{4}{3}gh}$ 。 $N$ と $f_s$ は仕事をしない
$RMg\sin\beta = I_{\text{cm}}\alpha_z + RMa_x$	方法3： $\vec{\boldsymbol{\tau}}_P = d\vec{\mathbf{L}}_P/dt$ （接触点が動いていく線の上の固定点 $P$ のまわり）	$a_x = \tfrac{2}{3}g\sin\beta$ 。 $f_s$ も $N$ も使わない

ポイント： 3つの方法はどれも $a_x = \tfrac{2}{3}g\sin\beta$ と $v_{x,f} = \sqrt{\tfrac{4}{3}gh}$ を与えます。方法は、何を問われているかで選びましょう。力なら方法1、速さならエネルギー、未知数をできるだけ少なくして加速度を求めたいなら $P$ のまわりのトルクです。摩擦のないブロックは $\sqrt{2gh}$ に達します。円柱のほうが遅いのは、運動エネルギーの3分の1が回転に回っているからです。

II可視化1 — 転がるにはどれだけの摩擦が必要か

転がるには斜面に沿って上向きに $f_s = \tfrac{1}{3}Mg\sin\beta$ が必要で、静止摩擦力が出せるのは最大で $\mu_s Mg\cos\beta$ です。

斜面の角度 β 30° 静止摩擦係数 μ_s 0.25

III可視化2 — 接触点が動いていく線の上の点のまわりのトルク

接触点が動いていく線の上の固定点 $P$ のまわりでは、摩擦力のトルクはなく、 $d_P$ を含む重力の項と $N$ の項は打ち消し合います。

転がった距離（上端から接触点まで） 1.00 m

IV可視化3 — エネルギーの競走：円柱と摩擦のないブロック

同じ高さ $h$ から放すと、角度によらず、円柱は $\sqrt{\tfrac{4}{3}gh}$ 、摩擦のないブロックは $\sqrt{2gh}$ に達します。

斜面の角度 β 30° 時刻 0.00 s

V確認クイズ

問1 · 斜面を下る加速度

条件： 一様な中身の詰まった円柱（ $I_{\text{cm}} = \tfrac{1}{2}MR^2$ ）が、 $\beta = 30\degree$ の斜面をすべらずに転がり落ちます。 $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ とします。斜面に沿って下向きの重心の加速度 $a_x$ を求めてください。

✅ 正解です！

a_x = \tfrac{2}{3}g\sin\beta = \tfrac{2}{3}(9.8)(0.5) = 3.27\ \text{m/s}^2

で、

M

にも

R

にもよりません。

❌ それは $g\sin\beta$ です。 摩擦のないブロックの加速度です。転がるには斜面に沿って上向きの摩擦力が必要で、それが

\tfrac{1}{3}

倍の

Mg\sin\beta

を差し引きます。

❌ それは $\tfrac{1}{2}g\sin\beta$ です。

I_{\text{cm}} = MR^2

の薄い輪の値です。

I_{\text{cm}} = \tfrac{1}{2}MR^2

なら、摩擦力は

\tfrac{1}{2}Ma_x

で、

Ma_x

ではありません。

❌ 係数が逆さまです。

Mg\sin\beta = \tfrac{3}{2}Ma_x

からは

a_x = \tfrac{2}{3}g\sin\beta

が得られ、

\tfrac{3}{2}g\sin\beta

ではありません。加速度は、摩擦がないときの値

g\sin\beta

を超えられません。

❌ 惜しい！

Mg\sin\beta - f_s = Ma_x

と

f_s = \tfrac{1}{2}Ma_x

を組み合わせましょう。

解答を見る

斜面に沿ったニュートンの第二法則と、重心のまわりのトルクの式です。

Mg\sin\beta - f_s = Ma_x, \qquad f_s R = I_{\text{cm}}\alpha_z = \tfrac{1}{2}MR^2\,\frac{a_x}{R} \;\Rightarrow\; f_s = \tfrac{1}{2}Ma_x

代入すると、

Mg\sin\beta = \tfrac{3}{2}Ma_x \;\Rightarrow\; a_x = \tfrac{2}{3}g\sin\beta = \tfrac{2}{3}(9.8)(0.5) = 3.27\ \text{m/s}^2

問2 · 静止摩擦力の大きさと向き

条件： 質量 $M = 4.0\ \text{kg}$ の一様な中身の詰まった円柱が、 $\sin\beta = 0.6$ 、 $\cos\beta = 0.8$ の斜面をすべらずに転がり落ちます。 $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ とします。円柱にはたらく静止摩擦力を求めてください。

✅ 正解です！

f_s = \tfrac{1}{3}Mg\sin\beta = \tfrac{1}{3}(4.0)(9.8)(0.6) = 7.84\ \text{N}

で、斜面に沿って上向きです。

❌ 大きさは正しいですが、向きが逆です。 中心のまわりにトルクをもつ力は摩擦力だけです。円柱が転がり落ちるにつれて時計回りの回転が速くならなければならないので、摩擦力は斜面に沿って上向きでなければなりません。

❌ それは $Mg\sin\beta$ です。 摩擦力が斜面に沿って下向きの力をすべて打ち消すなら、中心はまったく加速しません。

❌ $a_x = g\sin\beta$ を $f_s = \tfrac{1}{2}Ma_x$ に入れています。 転がるときの加速度は

\tfrac{2}{3}g\sin\beta

なので、

f_s = \tfrac{1}{3}Mg\sin\beta

です。

❌ 惜しい！

f_s = \tfrac{1}{2}Ma_x

と

a_x = \tfrac{2}{3}g\sin\beta

を使いましょう。

解答を見る

中心のまわりのトルクから $f_s R = \tfrac{1}{2}MR^2(a_x/R)$ 、よって $f_s = \tfrac{1}{2}Ma_x$ です。 $a_x = \tfrac{2}{3}g\sin\beta$ を使うと、

f_s = \tfrac{1}{2}M\left(\tfrac{2}{3}g\sin\beta\right) = \tfrac{1}{3}Mg\sin\beta = \tfrac{1}{3}(4.0)(9.8)(0.6) = 7.84\ \text{N}

向き： 中心のまわりでは、重力と垂直抗力はトルクをもちません。時計回りの回転 $\alpha_z$ を増やすのは摩擦力だけなので、摩擦力は斜面に沿って上向きです。

問3 · 下での速さと、必要な摩擦

条件： 一様な中身の詰まった円柱が、 $\beta = 30\degree$ の斜面上で静止状態から動き出し、中心が $h = 2.4\ \text{m}$ 下がるまですべらずに転がります。 $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ とします。下での中心の速さと、円柱が転がり続けるための最小の $\mu_s$ を求めてください。

下での重心の速さは？

静止摩擦係数の最小値は？

✅ 正解です！ エネルギーから

v_{x,f} = \sqrt{\tfrac{4}{3}gh} = 5.60\ \text{m/s}

、方法1から

\mu_s \ge \tfrac{1}{3}\tan 30\degree = 0.192

が得られます。

❌ それは $\sqrt{2gh}$ です。 摩擦のないブロックの速さです。転がる円柱は、運動エネルギーの

\tfrac{1}{3}

を回転にもっています。

❌ それは $\sqrt{gh}$ です。 薄い輪の速さです。中身の詰まった円柱では、回転の項は

\tfrac{1}{4}Mv^2

なので、

K = \tfrac{3}{4}Mv^2

です。

❌ エネルギーの式を確かめましょう。

Mgh = \tfrac{1}{2}Mv^2 + \tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{2}MR^2\right)(v/R)^2 = \tfrac{3}{4}Mv^2

です。

❌ それは $\tan\beta$ です。 ブロックが静止したままでいるための条件です。転がる円柱に必要なのは

f_s = \tfrac{1}{3}Mg\sin\beta

だけです。

❌ $N = Mg$ としています。 斜面上では

N = Mg\cos\beta

なので、条件は

\mu_s \ge \tfrac{1}{3}\tan\beta

となり、

\tfrac{1}{3}\sin\beta

ではありません。

❌ 摩擦の条件を確かめましょう。 転がるには

f_s = \tfrac{1}{3}Mg\sin\beta \le \mu_s Mg\cos\beta

が必要です。

解答を見る

速さ（エネルギー）： $N$ も静止摩擦力も仕事をしないので、

Mgh = \tfrac{1}{2}Mv_{x,f}^{\ 2} + \tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{2}MR^2\right)\left(\frac{v_{x,f}}{R}\right)^2 = \tfrac{3}{4}Mv_{x,f}^{\ 2}

v_{x,f} = \sqrt{\tfrac{4}{3}gh} = \sqrt{\tfrac{4}{3}(9.8)(2.4)} = \sqrt{31.36} = 5.60\ \text{m/s}

摩擦（方法1）： $f_s = \tfrac{1}{3}Mg\sin\beta$ は $\mu_s N = \mu_s Mg\cos\beta$ を超えられないので、

\mu_s \ge \tfrac{1}{3}\tan\beta = \tfrac{1}{3}\tan 30\degree = \tfrac{1}{3}(0.5774) = 0.192

角度は速さには入りませんが、必要な摩擦を決めます。

問4 · 一様な球での P のまわりのトルク

条件： 一様な球（ $I_{\text{cm}} = \tfrac{2}{5}MR^2$ ）が、角 $\beta$ の斜面をすべらずに転がり落ちます。接触点が動いていく線の上の固定点 $P$ のまわりでトルクをとります。中心の加速度 $a_x$ を求めてください。

✅ 正解です！

RMg\sin\beta = \tfrac{2}{5}MRa_x + RMa_x = \tfrac{7}{5}MRa_x

なので、

a_x = \tfrac{5}{7}g\sin\beta

です。

f_s

も

N

も必要ありませんでした。

❌ それは円柱の結果です。 スピンの項

I_{\text{cm}}\alpha_z

は物体によって違います。球では

\tfrac{2}{5}MRa_x

で、

\tfrac{1}{2}MRa_x

ではありません。

❌ 軌道の項が抜けています。

\vec{\mathbf{L}}_P

には

\vec{\mathbf{r}}_{P,\text{cm}} \times M\vec{\mathbf{V}}_{\text{cm}}

も含まれ、その時間変化率は

RMa_x

です。これがないと

a_x

が

g\sin\beta

を超えてしまいますが、それはありえません。

❌ スピンの項が抜けています。

d\vec{\mathbf{L}}_P/dt

には

I_{\text{cm}}\alpha_z

も

RMa_x

も含まれます。

g\sin\beta

に達するのは、摩擦なしにすべる物体だけです。

❌ 惜しい！

RMg\sin\beta = I_{\text{cm}}\alpha_z + RMa_x

と

\alpha_z = a_x/R

を使いましょう。

解答を見る

$P$ のまわりでは、摩擦力のモーメントアームはゼロで、 $d_P$ を含む重力の項と $N$ の項は打ち消し合うので、 $\tau_P = RMg\sin\beta$ です。 $P$ のまわりの角運動量は $L_P = I_{\text{cm}}\omega_z + RMv_x$ なので、

RMg\sin\beta = I_{\text{cm}}\alpha_z + RMa_x = \tfrac{2}{5}MR^2\,\frac{a_x}{R} + RMa_x = \tfrac{7}{5}MRa_x

a_x = \tfrac{5}{7}g\sin\beta

球（ $\tfrac{5}{7} \approx 0.714$ ）のほうが円柱（ $\tfrac{2}{3} \approx 0.667$ ）より速く下ります。 $I_{\text{cm}}/MR^2$ が小さいほど、回転に回るエネルギーが少ないからです。

正解数：0 / 4