古典力学 · 第25回 · 動画6 · インタラクティブ教材

すべるボウリングのボールはなぜ初速の七分の五で転がり出すのか：接触線のまわりで摩擦のトルクは消える

I重要な公式

公式	名称	必要なもの
$\vec{\tau}_S = d\,mg\,\hat{\mathbf{k}} - d\,N\,\hat{\mathbf{k}} + \vec{\mathbf{0}} = \vec{\mathbf{0}}$	接触線上の固定点 $S$ のまわりのトルク	$N = mg$ 。 $\vec{\mathbf{f}}_k$ は $S$ を通る床に沿ってはたらく
$mR\,v_{\text{cm},i} = mR\,v_{\text{cm},f} + I_{\text{cm}}\,\omega_{z,f}$	$L_{S,i} = L_{S,f}$	回転なしで投げ出し、最後は転がる： $v_{\text{cm},f} = R\,\omega_{z,f}$
$R\,f_k = I_{\text{cm}}\,\alpha_z,\ \ a_{\text{cm},x} = -\dfrac{f_k}{m}$	運動方程式	すべっているあいだの、重心（質量中心）のまわりのトルクと $\vec{F}^{\,\text{ext}} = m\vec{\mathbf{a}}_{\text{cm}}$
$v_{\text{cm},f} = \dfrac{v_{\text{cm},i}}{1 + I_{\text{cm}}/mR^2} = \tfrac{5}{7}\,v_{\text{cm},i}$	転がり始めたときの速さ	一様な球、 $I_{\text{cm}} = \tfrac{2}{5}mR^2$ 。このとき $K_f/K_i = \tfrac{5}{7}$

ポイント： 未知の力が消えるように点を選びます。床の上の固定点のまわりでは、摩擦力の作用線がその点を通り、重力と垂直抗力のトルクは打ち消し合います。ですから一つの保存則だけで、 $f_k$ も $t_f$ も知らないまま最後の速さが求まります。

II可視化1 — 点 $S$ のまわりのトルク

固定点 $S$ が床から高さ $h$ のところにあるとき、そのまわりでは、すべっているボールにはたらくトルクの合計は $f_k h$ です。

III可視化2 — すべりから転がりへ

摩擦は中心を減速させ、 $v_{\text{cm}} = R\,\omega_z$ になるまでボールの回転を速めます。そのあいだ $L_S$ は少しも変わりません。

時刻 t (s) 0.00 レーンの動摩擦係数 μ_k 0.20

IV可視化3 — どんな丸い物体でも

回転なしにすべらせて投げ出したとき、物体に残る速さは比 $I_{\text{cm}}/mR^2$ だけで決まります。

物体

💡 チャレンジ： 4つの物体のうち、散逸する運動エネルギーが残る運動エネルギーとちょうど等しくなるのはどれかを予想してから、確かめてみましょう。

V確認クイズ

問1 · 転がり始めたときの速さ

条件： 一様なボウリングのボール（ $I_{\text{cm}} = \tfrac{2}{5}mR^2$ ）を、水平なレーンに $v_{\text{cm},i} = 8.4\ \text{m/s}$ 、回転なしで投げ出します。すべらずに転がり始めたときの速さを求めてください。

✅ 正解です！

mR\,v_{\text{cm},i} = \tfrac{7}{5}mR\,v_{\text{cm},f}

から

v_{\text{cm},f} = \tfrac{5}{7}(8.4) = 6.0\ \text{m/s}

です。

❌ 惜しい！ 速さが半分になるのは

I_{\text{cm}} = mR^2

（輪）の場合です。中身の詰まった球のスピンの部分は

\tfrac{2}{5}mR\,v_{\text{cm},f}

しかありません。

❌ エネルギーは保存されません。

\tfrac{1}{2}mv_{\text{cm},i}^2 = \tfrac{7}{10}mv_{\text{cm},f}^2

とおくと、ボールの最下点がすべるあいだに動摩擦力がする仕事を無視することになります。床の上の点のまわりの角運動量を使いましょう。

❌ それは失われた速さです。

\tfrac{2}{7}(8.4) = 2.4\ \text{m/s}

は速さの減少分で、ボールに残るのは

\tfrac{5}{7}

です。

解答を見る

床の上の固定点 $S$ のまわりではトルクの合計がゼロなので、 $L_{S,i} = L_{S,f}$ です。はじめはスピンがなく軌道の部分だけ、最後は $\omega_{z,f} = v_{\text{cm},f}/R$ として両方の部分があります。

mR\,v_{\text{cm},i} = mR\,v_{\text{cm},f} + \tfrac{2}{5}mR^2\cdot\frac{v_{\text{cm},f}}{R} = \tfrac{7}{5}mR\,v_{\text{cm},f}

v_{\text{cm},f} = \tfrac{5}{7}\,v_{\text{cm},i} = \tfrac{5}{7}(8.4\ \text{m/s}) = 6.0\ \text{m/s}

問2 · 点の選び方

条件： 水平な床の上をすべるボールに、重力 $m\vec{g}$ 、垂直抗力 $\vec{N}$ 、動摩擦力 $\vec{f}_k$ がはたらいています。すべっているあいだずっと角運動量が一定になる点の選び方を求めてください。

✅ 正解です！ 摩擦力は

S

を通る床に沿ってはたらくのでトルクは消え、トルク

d\,mg

と

-d\,N

は

N = mg

なので打ち消し合います。

❌ 惜しい！ 摩擦力は中心から距離

R

下で半径に垂直にはたらくので、

\tau_{\text{cm}} = R\,f_k \neq 0

です。このトルクがボールの回転を速めるのです。

❌ 惜しい！ 摩擦力の作用線は床で、その点から垂直距離

R

だけ下にあるので、その点のまわりのトルクは

f_k R \neq 0

です。

❌ 惜しい！ 鉛直方向の力は打ち消し合いますが、摩擦力はつり合っていません。高さ

h

の固定点のまわりのトルクは

f_k h

で、ゼロになるのは

h = 0

のときだけです。

解答を見る

$S$ を、接触点から水平に距離 $d$ だけ後ろ、床から高さ $h$ の固定点とします。時計回り（ $\hat{\mathbf{k}}$ 、紙面の奥向き）を正にとると、

\tau_{S,mg} = d\,mg,\qquad \tau_{S,N} = -d\,N,\qquad \tau_{S,f_k} = h\,f_k

$N = mg$ なので合計は $\tau_S = f_k h$ です。これがどんな $d$ に対しても消えるのはちょうど $h = 0$ のとき、つまり接触線上の固定点のときです。中心（ $h = R$ ）では $\tau = f_k R$ となり、 $L_{\text{cm}}$ は変化します。

問3 · すべる時間と失われるエネルギー

条件： 質量 $6.0\ \text{kg}$ の一様なボウリングのボール（ $I_{\text{cm}} = \tfrac{2}{5}mR^2$ ）を、 $v_{\text{cm},i} = 7.0\ \text{m/s}$ 、回転なしで $\mu_k = 0.20$ のレーンに投げ出します。 $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ として、転がり始める時刻 $t_f$ と、摩擦によって散逸する運動エネルギーを求めてください。

すべるのは何秒間ですか？

散逸する運動エネルギーはいくらですか？

✅ 正解です！ ボールは

t_f = \dfrac{2v_{\text{cm},i}}{7\mu_k g} = 1.02\ \text{s}

のあいだすべります。失うエネルギーは

\tfrac{2}{7}

で、

K_i = 147\ \text{J}

に対して

42\ \text{J}

です。

❌ それは止まるまでの時間です。

v_{\text{cm},i}/(\mu_k g) = 3.57\ \text{s}

は、回転が速まらなかった場合に中心が止まる時刻です。すべりはそれよりずっと早く、

v_{\text{cm},x} = R\,\omega_z

になったときに終わります。

❌ 回転が速まる割合を確かめましょう。

R\,\omega_z

が増える割合は

R^2 f_k/I_{\text{cm}} = \tfrac{5}{2}\mu_k g

で、

\tfrac{2}{5}\mu_k g

ではありません。

I_{\text{cm}}/mR^2

は掛けるのではなく、割るのです。

❌ 惜しい！

v_{\text{cm},i} - \mu_k g\,t_f = \tfrac{5}{2}\mu_k g\,t_f

とおきましょう。かわりに

I_{\text{cm}} = mR^2

を使うと

1.79\ \text{s}

になってしまいます。

❌ 回転も含めましょう。

147 - 75 = 72\ \text{J}

は

\tfrac{1}{2}mv_{\text{cm},f}^2

だけを数えています。スピンがさらに

\tfrac{1}{5}mv_{\text{cm},f}^2 = 30\ \text{J}

をもっています。

❌ 力学的エネルギーは一定ではありません。 ボールの最下点が床の上をすべるあいだ、動摩擦力はすべるボールに仕事をします。

❌ それは残るエネルギーです。

K_f = 105\ \text{J}

で、散逸するエネルギーは

K_i - K_f

です。

❌ 惜しい！

K_i

と

K_f = \tfrac{7}{10}m v_{\text{cm},f}^2

を計算して、差をとりましょう。

解答を見る

時間　すべっているあいだは $a_{\text{cm},x} = -\mu_k g$ 、 $\alpha_z = R f_k/I_{\text{cm}} = \dfrac{5\mu_k g}{2R}$ なので、

v_{\text{cm},x}(t) = v_{\text{cm},i} - \mu_k g\,t,\qquad R\,\omega_z(t) = \tfrac{5}{2}\mu_k g\,t

二つが等しくなるのは $v_{\text{cm},i} = \tfrac{7}{2}\mu_k g\,t_f$ のときです。

t_f = \frac{2v_{\text{cm},i}}{7\mu_k g} = \frac{2(7.0)}{7(0.20)(9.8)} = \frac{14}{13.72} \approx 1.02\ \text{s}

エネルギー　 $K_i = \tfrac{1}{2}(6.0)(7.0)^2 = 147\ \text{J}$ 、 $v_{\text{cm},f} = \tfrac{5}{7}(7.0) = 5.0\ \text{m/s}$ なので、

K_f = \tfrac{7}{10}m\,v_{\text{cm},f}^2 = \tfrac{7}{10}(6.0)(5.0)^2 = 105\ \text{J},\qquad K_i - K_f = 42\ \text{J} = \tfrac{2}{7}K_i

問4 · バックスピンをかけて投げ出す

条件： 一様なボール（ $I_{\text{cm}} = \tfrac{2}{5}mR^2$ ）を水平な床の上に、前向きに $v_{\text{cm},i} = 7.0\ \text{m/s}$ で、 $R\,|\omega_{z,i}| = 1.4\ \text{m/s}$ のバックスピン（ボールが右へ動くときの反時計回りの回転）をかけて投げ出します。すべらずに転がり始めたときの速さを求めてください。

✅ 正解です！ 同じ点

S

のまわりには、やはりトルクがはたらきません。はじめのスピンの部分

I_{\text{cm}}\omega_{z,i}

は負で、

7.0 - 0.56 = 1.4\,v_{\text{cm},f}

です。

❌ はじめのスピンも数えます。

\tfrac{5}{7}v_{\text{cm},i}

は

\omega_{z,i} = 0

を仮定しています。ここでは

L_{S,i}

にもスピンの部分があります。

❌ 符号を確かめましょう。

\hat{\mathbf{k}}

を紙面の奥向きにとると時計回りが正なので、バックスピンでは

I_{\text{cm}}\omega_{z,i}

が負になり、

L_{S,i}

は小さくなります。

❌ スピンには $I_{\text{cm}}$ の重みをつけましょう。 スピンの部分は

\tfrac{2}{5}mR\,(R\omega_{z,i})

で、

mR\,(R\omega_{z,i})

ではありません。引くのは

0.56\ \text{m/s}

で、

1.4\ \text{m/s}

ではありません。

解答を見る

床の上の固定点 $S$ のまわりのトルクは、スピンがどうであってもやはりゼロです（摩擦力は床に沿ってはたらき、 $N = mg$ ）。時計回りが正なので $R\,\omega_{z,i} = -1.4\ \text{m/s}$ です。

L_{S,i} = mR\,v_{\text{cm},i} + \tfrac{2}{5}mR^2\,\omega_{z,i} = mR\big(7.0 + \tfrac{2}{5}(-1.4)\big) = mR\,(6.44\ \text{m/s})

L_{S,f} = \tfrac{7}{5}mR\,v_{\text{cm},f} \;\Rightarrow\; v_{\text{cm},f} = \frac{6.44}{1.4} = 4.6\ \text{m/s}

運動方程式でも確かめましょう。最下点は $7.0 + 1.4 = 8.4\ \text{m/s}$ で前へすべるので、摩擦力は後ろ向きです。 $v_{\text{cm},x} - R\omega_z$ は $\tfrac{7}{2}\mu_k g$ の割合で減るので $t_f = \dfrac{8.4}{3.5\,\mu_k g}$ となり、 $v_{\text{cm},f} = 7.0 - \dfrac{8.4}{3.5} = 4.6\ \text{m/s}$ です。これはどんな $\mu_k$ でも同じです。

正解数：0 / 4

すべるボウリングのボールはなぜ初速の七分の五で転がり出すのか：接触線のまわりで摩擦のトルクは消える

I重要な公式

II可視化1 — 点 SSS のまわりのトルク

III可視化2 — すべりから転がりへ

IV可視化3 — どんな丸い物体でも

V確認クイズ

II可視化1 — 点 $S$ のまわりのトルク