古典力学 · 第25回 · 動画7 · インタラクティブ教材

どの点のまわりでも回転は同じ：摩擦のない氷の上でパックがスティックに衝突する

I重要な公式

公式	名称	必要なもの
$d_{\text{cm}} = \dfrac{m(l/2)}{m + m} = \dfrac{l}{4}$	衝突後の重心（質量中心）	質量が等しい。スティックの中点から、ぶつけられた端のほうへ測る
$m v_i = (2m)\,v_{\text{cm},f} \;\Rightarrow\; v_{\text{cm},f} = \dfrac{v_i}{2}$	運動量	氷の面内で正味の外力がはたらかない
$\dfrac{l}{4}\,m v_i = \Big(I_{\text{cm}} + \dfrac{ml^2}{8}\Big)\,\omega_{\text{cm},f} \;\Rightarrow\; \omega_{\text{cm},f} = \dfrac{6}{5}\,\dfrac{v_i}{l}$	$S$ のまわりの角運動量	$S$ は系の重心の位置に固定。一様なスティックでは $I_{\text{cm}} = \tfrac{1}{12}ml^2$
$x_{\text{cm}} = 2\pi\,\dfrac{v_{\text{cm},f}}{\omega_{\text{cm},f}} = 2\pi\,\dfrac{I_{\text{cm}} + ml^2/8}{m(l/2)} = \dfrac{5}{6}\pi l$	一回転あたりの距離	周期 $T = 2\pi/\omega_{\text{cm},f}$ 。 $v_i$ によらない

ポイント： 運動量がすべりを、角運動量が回転を決めます。回転はどの固定点のまわりで求めても同じになります。運動エネルギーは保存されません。 $K_f = \tfrac{1}{4}mv_i^2 + \tfrac{3}{20}mv_i^2 = \tfrac{4}{5}K_i$ なので、5分の1はパテに使われます。

II可視化1 — どの点のまわりでも回転は同じ

角運動量は氷の上のどの固定点 $P$ のまわりでも保存され、 $P$ をどう選んでも $\omega_{\text{cm},f} = 6.00\ \text{rad/s}$ が得られます。

💡 効くのは $P$ の高さだけです。どちらの運動量も水平なので、 $P$ を横にずらしてもモーメントアームは変わりません。 $S$ では軌道の項がゼロ、 $C$ では最初の角運動量がゼロになります。

III可視化2 — すべりと回転

衝突後、重心は $v_i/2$ ですべり、二つの物体は $\tfrac{6}{5}v_i/l$ で回転して、一回転ごとに $\tfrac{5}{6}\pi l$ 進みます。

衝突後の回転数 −0.20

IV可視化3 — 一回転あたりの距離

一回転あたりの距離は、スティックの質量の分布によって $I_{\text{cm}}$ を通じて決まり、 $v_i$ にはまったくよりません。

パックの速さ v_i (m/s) 5.0

💡 パックが速いと、二つの物体は同じ割合で速くすべり、速く回転します。ですから $v_i$ は $x_{\text{cm}} = 2\pi v_{\text{cm},f}/\omega_{\text{cm},f}$ の中で約分されます。

V確認クイズ

問1 · 質量が異なる場合

条件： 質量 $M = 0.60\ \text{kg}$ 、長さ $l = 1.20\ \text{m}$ の一様なスティックが、摩擦のない氷の上に静止しています。質量 $m = 0.20\ \text{kg}$ のパックが、スティックに垂直に $v_i = 8.0\ \text{m/s}$ ですべってきて一方の端にぶつかり、くっつきます。衝突後の系の重心の位置と速度を求めてください。

スティックの中点から系の重心までの距離

衝突後の系の重心の速さ

✅ 正解です！ ぶつけられた端のほうへ

d_{\text{cm}} = 0.15\ \text{m}

、そして

v_{\text{cm},f} = 2.0\ \text{m/s}

です。どちらもパックに

m/(M+m) = \tfrac{1}{4}

の重みをつけたものです。

❌ 惜しい！

l/4

が成り立つのは質量が等しいときだけです。パックの距離

l/2

に

m/(M+m)

の重みをつけましょう。

❌ 惜しい！ 距離

l/2

にスティックの質量

M

の重みをつけています。スティック自身の重心は中点（距離

0

）にあり、質量

m

のパックだけが

l/2

の位置にあります。

❌ 惜しい！ 分母を全質量にして、

d_{\text{cm}} = \dfrac{M\cdot 0 + m(l/2)}{M + m}

を使いましょう。

❌ 惜しい！

v_i/2

が成り立つのは質量が等しいときだけです。衝突後の全質量は

M + m = 0.80\ \text{kg}

です。

❌ 惜しい！ 運動量保存を使いましょう。衝突後は二つの物体が一緒に動くので、

m v_i = (M + m)\,v_{\text{cm},f}

です。

解答を見る

スティックの中点から測ります。スティックの質量は $0$ に、パックは $l/2 = 0.60\ \text{m}$ にあります。

d_{\text{cm}} = \frac{M\cdot 0 + m(l/2)}{M + m} = \frac{(0.20)(0.60)}{0.80} = 0.15\ \text{m}

面内には正味の外力がはたらかないので、全運動量は保存されます。

m v_i = (M + m)\,v_{\text{cm},f} \;\Rightarrow\; v_{\text{cm},f} = \frac{(0.20)(8.0)}{0.80} = 2.0\ \text{m/s}

$M$ だけで割ると $2.7\ \text{m/s}$ となり、動く質量からパックが抜け落ちてしまいます。

問2 · スティック自身の中心

条件： 動画の衝突です。質量はどちらも $m$ 、一様なスティックの長さは $l = 1.00\ \text{m}$ 、パックの速さは $v_i = 5.0\ \text{m/s}$ で、 $v_{\text{cm},f} = 2.5\ \text{m/s}$ 、 $\omega_{\text{cm},f} = 6.0\ \text{rad/s}$ です。衝突直後のスティック自身の中点の速さを求めてください。

✅ 正解です！

v_{\text{stick}} = v_i/2 - \omega_{\text{cm},f}(l/4) = 2.5 - 1.5 = 1.0\ \text{m/s} = v_i/5

です。

❌ 惜しい！

2.5\ \text{m/s}

は系の重心の速度です。スティックの中点はそこから

l/4

離れていて、そのまわりに回転もしています。

❌ 向きを確かめましょう。 中点はパックとは反対側にあるので、反時計回りの回転によって後ろ向きに運ばれます。

\omega_{\text{cm},f}(l/4)

を引きましょう。足すとパックの速さになります。

❌ 惜しい！ 中点は前向きの

v_{\text{cm},f}

を共有し、さらに回転によって後ろ向きの

\omega_{\text{cm},f}(l/4)

をもちます。

解答を見る

系の重心はスティックの中点より $l/4$ 下にあるので、中点は重心より $l/4 = 0.25\ \text{m}$ 上、パックと反対側にあります。中点の速度は、重心の速度に、重心のまわりの回転による速度を加えたものです。

v_{\text{stick}} = v_{\text{cm},f} - \omega_{\text{cm},f}\,\frac{l}{4} = 2.5 - (6.0)(0.25) = 1.0\ \text{m/s}

一般に $\omega_{\text{cm},f}\tfrac{l}{4} = \tfrac{6}{5}\cdot\tfrac{1}{4}v_i = \tfrac{3}{10}v_i$ なので、 $v_{\text{stick}} = \tfrac{v_i}{2} - \tfrac{3}{10}v_i = \tfrac{v_i}{5}$ です。重心より下にあるパックの端は $2.5 + 1.5 = 4.0\ \text{m/s}$ で動きます。

問3 · 回転と失われるエネルギー

条件： 一様なスティックとパックの質量はどちらも $m = 0.30\ \text{kg}$ 、スティックの長さは $l = 0.80\ \text{m}$ です。パックはスティックに垂直に $v_i = 6.0\ \text{m/s}$ で一方の端にぶつかり、くっつきます。 $\omega_{\text{cm},f}$ と、パテに使われて失われる運動エネルギーを求めてください。

衝突後の角速度

失われる運動エネルギー

✅ 正解です！

\omega_{\text{cm},f} = \tfrac{6}{5}(6.0/0.80) = 9.0\ \text{rad/s}

で、

K_i = 5.40\ \text{J}

の5分の1、つまり

1.08\ \text{J}

が失われます。

❌ 惜しい！ スティックの軸をずらした

m(l/4)^2

は入れましたが、パック自身の

m(l/4)^2

（

S

のまわり）が抜けています。

I_{\text{cm},f}

には両方が入ります。

❌ 惜しい！

I_{\text{cm}}

はスティックの中点のまわりの値ですが、二つの物体は

S

のまわりに回ります。スティックの分の

m(l/4)^2

（平行軸の定理）と、パックの分の

m(l/4)^2

を加えましょう。

❌ 惜しい！

(l/4)\,m v_i = \big(I_{\text{cm}} + ml^2/8\big)\,\omega_{\text{cm},f}

を、

I_{\text{cm}} = ml^2/12

として解きましょう。

❌ 惜しい！ それは衝突後の並進の

\tfrac{1}{4}mv_i^2

だけを数えています。スピンにも

\tfrac{1}{2}I_{\text{cm},f}\,\omega_{\text{cm},f}^2

が残っています。

❌ 惜しい！ この衝突は完全非弾性衝突なので、エネルギーの一部が失われます。並進とスピンから

K_f

を求め、

K_i

から引きましょう。

解答を見る

回転　 $S$ のまわりでは $I_{\text{cm},f} = \tfrac{ml^2}{12} + \tfrac{ml^2}{8} = \tfrac{5}{24}ml^2$ なので、

\omega_{\text{cm},f} = \frac{m(l/4)\,v_i}{\tfrac{5}{24}ml^2} = \frac{6}{5}\,\frac{v_i}{l} = \frac{6}{5}\cdot\frac{6.0}{0.80} = 9.0\ \text{rad/s}

エネルギー　 $K_i = \tfrac{1}{2}(0.30)(6.0)^2 = 5.40\ \text{J}$ です。衝突後は $v_{\text{cm},f} = 3.0\ \text{m/s}$ 、 $I_{\text{cm},f} = \tfrac{5}{24}(0.30)(0.80)^2 = 0.040\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ です。

K_f = \tfrac{1}{2}(0.60)(3.0)^2 + \tfrac{1}{2}(0.040)(9.0)^2 = 2.70 + 1.62 = 4.32\ \text{J} = \tfrac{4}{5}K_i

パテに使われて失われたのは $5.40 - 4.32 = 1.08\ \text{J} = \tfrac{1}{5}K_i$ です。

問4 · 別のスティック

条件： スティックを、長さ $l$ の軽い棒の両端に小さな質量 $m/2$ を一つずつ付けたものに取りかえます。全質量はやはり $m$ で、 $I_{\text{cm}} = \tfrac{1}{4}ml^2$ です。質量 $m$ のパックが棒に垂直に $v_i$ で一方の端にぶつかり、くっつきます。棒がちょうど一回転するあいだに系の重心が進む距離を求めてください。

✅ Correct!

x_{\text{cm}} = 2\pi\big(\tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8}\big)ml^2/(ml/2) = \tfrac{3}{2}\pi l \approx 4.7\,l

です。質量が中心から遠いほど回転は遅くなるので、二つの物体は一回転あたりにより遠くまですべります。

❌ 惜しい！

\tfrac{5}{6}\pi l

は一様なスティックの

I_{\text{cm}} = ml^2/12

を使った値です。一般の式に

ml^2/4

を入れましょう。

❌ 惜しい！

ml^2/8

の項だけを残しています。棒自身の

I_{\text{cm}} = ml^2/4

も分子に入ります。

❌ 惜しい！

v_{\text{cm},f}

も

\omega_{\text{cm},f}

も

v_i

に比例するので、

v_i

は

x_{\text{cm}} = 2\pi v_{\text{cm},f}/\omega_{\text{cm},f}

の中で約分されます。

解答を見る

棒の重心はやはり中点なので、系の重心もやはりそこから $l/4$ のところにあり、 $v_{\text{cm},f} = v_i/2$ です。 $S$ のまわりでは、

I_{\text{cm},f} = I_{\text{cm}} + \frac{ml^2}{8} = \frac{ml^2}{4} + \frac{ml^2}{8} = \frac{3}{8}ml^2, \qquad \omega_{\text{cm},f} = \frac{m(l/4)\,v_i}{\tfrac{3}{8}ml^2} = \frac{2}{3}\,\frac{v_i}{l}

一回転には $T = 2\pi/\omega_{\text{cm},f}$ かかるので、

x_{\text{cm}} = v_{\text{cm},f}\,T = 2\pi\,\frac{v_i/2}{\tfrac{2}{3}v_i/l} = \frac{3}{2}\pi l \approx 4.71\,l

正解数：0 / 4