古典力学 · 第3回 · 動画1 · インタラクティブ教材

どこに、いつ、どれだけ：位置・時間間隔・変位

I重要な公式

公式	名称	説明
$\vec{r}(t) = x(t)\,\hat{i}$	位置ベクトル	選んだ原点に対する物体の場所を表します
$x_0 \equiv x(t = 0)$	初期位置	時刻 $t = 0$ での位置座標
$\Delta t = t_2 - t_1$	時間間隔	2つの時刻の間に経過した時間（スカラー、単位は秒）
$\Delta \vec{r} = \vec{r}(t_2) - \vec{r}(t_1) = \Delta x\,\hat{i}$	変位	位置ベクトルの変化（ベクトルで、負にもなりえます）

II可視化1 — 位置ベクトル

$x(t)$ の符号が矢印の向きを、その大きさが矢印の長さを決めます。

位置 x(t) [m] 3

💡 原点そのものには物理的な意味はありません。私たちが選んだ基準点にすぎないのです。原点をずらしても、実際の運動は何も変わらず、すべての $x(t)$ の値が付け直されるだけです。

III可視化2 — 変位

変位は終わりの位置から初めの位置を引いたものです。そのため、物体が出発点より左で止まれば、その時点で負になります。

初め x(t₁) [m] 2 終わり x(t₂) [m] -3

💡 変位は始点と終点だけで決まり、その間の経路にはよりません。これに対して移動距離は通った道のりの合計で、決して負になりません。

IV可視化3 — 時間間隔

経過した時間はスカラーです。時間の長さという大きさはありますが、空間的な向きはありません。

1つ目の時刻 t₁ [s] 2 2つ目の時刻 t₂ [s] 7

💡 大きさはあっても空間的な向きを持たないので、 $\Delta t$ はスカラーです。上で見たベクトル量 $\vec{r}$ と $\Delta\vec{r}$ の中で、これだけが仲間はずれです。SI 単位は秒（s）です。

V確認クイズ

問1

物体が軸上の位置 $x(t) = -2$ m にあります。位置ベクトルは $\vec{r}(t) = x(t)\,\hat{i}$ です。

位置ベクトル $\vec{r}(t)$ を最もよく表しているのはどれですか。

✅ 正解です！長さは大きさ（2 m）で、マイナスの符号が向きを左に反転させます。

❌ 惜しい！矢印の長さは大きさなので、決して負になりません。x(t) のマイナスの符号が変えるのは向きであって、長さではありません。

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解答：

位置ベクトルは $\vec{r}(t) = x(t)\,\hat{i} = (-2)\,\hat{i}$ です。

大きさは $|x(t)| = 2$ m です。長さが負になることはありません。
$x(t)$ の符号が向きを決めます。 $x(t) = -2 < 0$ なので、矢印は $\hat{i}$ と反対向き、つまり左を指します。

したがって $\vec{r}(t)$ は、長さ 2 m で左（ $\hat{i}$ と反対向き）を指す矢印です。

問2

物体が $x(t_1) = 2$ m から $x(t_2) = -3$ m へ移動します。

変位 $\Delta \vec{r}$ はいくらですか。

✅ 正解です！Δx = x(t₂) − x(t₁) = −3 − 2 = −5 m なので、Δr = −5 î です。

❌ 惜しい！大きさは合っていますが、符号が逆です。終わりから初めを引きます：−3 − 2 = −5。

❌ 惜しい！Δx = x(t₂) − x(t₁) = −3 − 2 を計算します。マイナスの符号の扱いに注意してください。

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解答：

変位は位置の変化で、終わりの位置から初めの位置を引いたものです： $\Delta x = x(t_2) - x(t_1) = (-3) - (2) = -5 \text{ m}$ $\Delta \vec{r} = \Delta x\,\hat{i} = -5\,\hat{i}$

マイナスの符号は、物体が $\hat{i}$ と反対向き（左）に 5 m 動いたことを意味します。よくある間違いは、引き算を逆にしてしまうこと（ $2 - (-3) = +5$ ）です。いつも終わりから初めを引いてください。

問3

正しいか誤りか： $x(t_1) = 2$ m から $x(t_2) = -3$ m への移動では、移動距離も変位の大きさも 5 m なので、移動距離と変位はいつも等しい。

✅ 正解です！ここで一致するのは、運動が向きを変えずにまっすぐ進んでいるからにすぎません。一般には、移動距離 ≥ |変位| です。

❌ 惜しい！この経路では等しくなりますが、一般には成り立ちません。行ったり来たりする運動があれば、移動距離は変位の大きさより大きくなります。

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解答：誤りです。

向きを変えないこの直線の移動では、移動距離（5 m）がたまたま変位の大きさ（5 m）と等しくなります。しかしそれはこの経路での偶然で、一般的な法則ではありません。

変位はベクトルで、位置の正味の変化 $\Delta x\,\hat{i}$ です。始点と終点だけで決まり、負にもなりえます。
移動距離はスカラーで、通った道のりの合計です。いつも $\geq 0$ です。

物体がまず 2 m から 5 m まで進み、それから −3 m まで戻ったとすると、変位はやはり −5 î（大きさ 5 m）ですが、移動距離は $|5-2| + |{-3}-5| = 3 + 8 = 11$ m になります。両者はいつも等しいわけではありません。

問4

一次元の運動学に出てくる、次の3つの量を考えます：位置 $x(t)$ 、時間間隔 $\Delta t = t_2 - t_1$ 、変位 $\Delta \vec{r}$ 。

これらを正しく分類しているのはどれですか。

✅ 正解です！スカラーなのは時間間隔だけです。位置と変位は、どちらも軸に沿った向きを持ちます。

❌ 惜しい！向きを持つ量がベクトルです。位置と変位は軸に沿った向き（±î）を指しますが、経過した時間には空間的な向きがありません。

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解答：

位置 $\vec{r}(t) = x(t)\,\hat{i}$ は大きさと向きの両方を持ちます（矢印は $+\hat{i}$ の向きにも $-\hat{i}$ の向きにも向きえます）。したがってベクトルです。
時間間隔 $\Delta t = t_2 - t_1$ は大きさ（時間の長さ）を持ちますが、空間的な向きはありません。したがってスカラーで、秒で測ります。
変位 $\Delta \vec{r} = \Delta x\,\hat{i}$ は位置ベクトルの変化で、軸に沿ったある向きを指します。したがってベクトルです。

まとめると、位置はベクトル、時間間隔はスカラー、変位はベクトルです。

正解数：0 / 4