古典力学 · 第3回 · 動画2 · インタラクティブ教材

割線から接線へ：速度を導関数として定義する

I重要な公式

公式	名称	説明
$v_{\text{ave}} = \dfrac{\Delta x}{\Delta t} = \dfrac{x_f - x_i}{t_f - t_i}$	平均速度	$x$ – $t$ グラフ上の割線の傾き
$v(t) = \displaystyle\lim_{\Delta t \to 0} \dfrac{x(t+\Delta t) - x(t)}{\Delta t} = \dfrac{dx}{dt}$	瞬間速度	接線の傾き。位置の導関数
$\Delta x = x_f - x_i$	変位	符号つきの位置の変化（移動距離ではない）
$\dfrac{v(t_i) + v(t_f)}{2} = v_{\text{ave}}$	両端の速度の平均	$v(t)$ が $t$ の1次式のときに限り $v_{\text{ave}}$ に等しい

IIインタラクティブな可視化

可視化1 — 変位と移動距離

行って戻ってくる移動では、物体は出発点に帰ってきます。では、平均速度はどれだけ遠くまで行ったかによるでしょうか。

行きの距離 (m) 1.00

可視化2 — 割線が接線になる

時間間隔 $\Delta t$ を0まで縮めていくと、割線の傾きはどんな一定の値に近づくでしょうか。

時間間隔 Δt (s) 1.10

💡 この極限の傾き、つまり $\Delta t \to 0$ としたときの割線の傾きこそが導関数 $dx/dt$ 、すなわち瞬間速度 $v(1)$ です。

可視化3 — 平均速度と中点

$v(t)$ が1次式のとき、 $[t_i, t_f]$ のどこで瞬間速度が平均速度に等しくなるでしょうか。

初め t_i (s) 1.0 終わり t_f (s) 4.0

💡 中点で一致するのは、 $v(t)$ が1次式の場合に特有のことです。 $v(t)$ が曲がると、平行な接線の接点は中点からずれ、両端の速度の平均も $v_{\text{ave}}$ に等しくなくなります。

III確認クイズ

問1

物体が $+x$ の向きに $5$ m 進み、それから出発点まで $5$ m 戻ります。この往復に $2$ s かかります。

この往復での物体の平均速度はいくらですか。

✅ 正解です！正味の変位がゼロなので、平均速度もゼロです。

❌ 惜しい！それは平均の速さ（移動距離 / 時間）で、平均速度ではありません。平均速度には変位を使います。

❌ 惜しい！平均速度 = 変位 / 時間で、往復の変位はゼロです。

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解答：

平均速度に使うのは、移動距離ではなく変位です。物体は出発点に戻るので、正味の変位は次のようになります。

$\Delta x = x_f - x_i = 0.$

したがって、

$v_{\text{ave}} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{0}{2\ \text{s}} = 0\ \text{m/s}.$

移動距離の合計は $10$ m で、平均の速さは $5$ m/s ですが、速さと速度は別の量です。答えは 0 m/s です。

問2

位置–時間グラフ上で、ある時間間隔での平均速度を幾何学的に表しているのは、次のどれですか。

✅ 正解です！平均速度は縦の変化 ÷ 横の変化、つまり割線の傾きです。

❌ 惜しい！接線の傾きは瞬間速度です。平均速度は割線の傾きです。

❌ 惜しい！平均速度 = Δx/Δt = 縦の変化/横の変化で、これは割線の傾きです。

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解答：

平均速度は

$v_{\text{ave}} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{\text{縦の変化}}{\text{横の変化}},$

で、これはちょうど、 $x$ – $t$ グラフ上の2つの端点 $(t_i, x(t_i))$ と $(t_f, x(t_f))$ を結ぶ直線、つまり割線の傾きです。

1点での接線の傾きは瞬間速度で、平均速度ではありません。
$x$ – $t$ 曲線の下の面積には、速度としての直接の意味はありません。

答えは2つの端点を結ぶ割線の傾きです。

問3

位置の関数 $x(t) = x_0 + \tfrac{1}{2} b\, t^2$ について、導関数の極限による定義から、瞬間速度は $v(t) = b\,t$ となります。

$b = 4\ \text{m/s}^2$ のとき、 $t = 3$ s での瞬間速度はいくらですか。

✅ 正解です！v(t) = b·t = 4 × 3 = 12 m/s です。

❌ 惜しい！18 は ½ b t²（位置）から出てくる値です。速度は v(t) = b·t です。

❌ 惜しい！v(t) = b·t に b = 4、t = 3 を代入すると、12 m/s になります。

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解答：

極限による定義から、

$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t+\Delta t) - x(t)}{\Delta t} = b\,t.$

$b = 4\ \text{m/s}^2$ と $t = 3$ s を代入すると：

$v(3) = b\,t = (4)(3) = 12\ \text{m/s}.$

よくある落とし穴は、 $\tfrac{1}{2} b\,t^2$ （位置）に代入してしまうことや、因子 $t$ を忘れることです。速度は $v(t) = b\,t$ なので、答えは 12 m/s です。

問4

正しいか誤りか：両端の速度の算術平均 $\dfrac{v(t_i) + v(t_f)}{2}$ は、どんな運動でも、いつも平均速度 $v_{\text{ave}} = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$ に等しい。

✅ 正解です！両端の速度の平均についてのこの等式が成り立つのは v(t) が1次式のときだけで、どんな運動でも成り立つわけではありません。

❌ 惜しい！成り立つのは v(t) が t の1次式のときだけです。一般には、v_ave ≡ Δx/Δt です。

❌ 惜しい！もう一度考えてみましょう。

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解答：

この主張は誤りです。等式

$\frac{v(t_i) + v(t_f)}{2} = v_{\text{ave}}$

が成り立つのは、 $v(t)$ が時間の1次関数であるときに限られます。たとえば $x(t) = x_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} b\, t^2$ では $v(t) = v_0 + b\,t$ です。この特別な場合には、両辺とも $v_0 + \tfrac{1}{2} b\,(t_f + t_i)$ になります。

速度が1次関数でないときは、両端の速度の算術平均は本当の平均速度と一致しません。いつでも頼れる定義は、次の式です。

$v_{\text{ave}} \equiv \frac{\Delta x}{\Delta t}.$

正解数：0 / 4