古典力学 · 第3回 · 動画4 · インタラクティブ教材

グラフの面積から等加速度運動の公式へ

I重要な公式

公式	名称	説明
$v(t) = v_0 + at$	等加速度運動の第一の公式	速度は時間の1次関数。傾きは $a$ 、縦軸の切片は $v_0$
$x(t) = x_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2}a t^2$	等加速度運動の第二の公式	変位 = $v$ - $t$ グラフの下の面積
$a\text{-}t\text{ グラフの下の面積} = \Delta v$	加速度グラフの面積の法則	高さ $a$ 、幅 $t$ の長方形から $\Delta v = at$
$v_{\text{ave}} = \dfrac{v_0 + v(t)}{2}$	中間の値としての平均速度	等加速度のときにだけ成り立つ

IIインタラクティブな可視化

可視化1 — 傾きが加速度

速度–時間グラフでは、縦軸の切片が $v_0$ 、傾きが一定の加速度 $a$ です。

初速度 v₀ 4 加速度 a 2

可視化2 — 面積が変位

速度の直線の下の面積は、長方形 $v_0 t$ と三角形 $\tfrac{1}{2}a t^2$ の和で、合わせて変位 $\Delta x$ になります。

初速度 v₀ 3 加速度 a 1 経過した時間 t 6

💡 この台形の面積こそが、等加速度運動の第二の公式 $x(t) - x_0 = v_0 t + \tfrac{1}{2}a t^2$ です。

可視化3 — 直線と放物線が出会う

一定の速さで進む物体の直線がはじめは先行しますが、加速する物体の放物線が $t_a = 2v_2/a_1$ で追い越します。

バスの速さ v₂ 1.5 車の加速度 a₁ 1 現在の時刻 t 0

III確認クイズ

問1

物体の初速度が $v_0 = 5$ m/s、一定の加速度が $a = 3$ m/s² です。等加速度運動の第一の公式 $v(t) = v_0 + at$ を使うと、 $t = 4$ s での速度はいくらですか？

✅ 正解です！ v = 5 + (3)(4) = 17 m/s となります。

❌ 惜しい！ 初速度に、増えた分の速度を足します：v = v₀ + at = 5 + (3)(4)。

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解答：

$v_0 = 5$ 、 $a = 3$ 、 $t = 4$ として、 $v(t) = v_0 + at$ をそのまま使います：

$v(4) = 5 + (3)(4) = 5 + 12 = 17 \text{ m/s}$

初速度に、増えた分の速度 $at = 12$ m/s を足しています。

問2

等加速度のとき、 $0$ から $t$ までの加速度–時間グラフの下の面積は、変位ではなく速度の変化 $\Delta v$ に等しい。

正しいか誤りか？

✅ 正解です！ a-t グラフの下の面積 = a·t = Δv です。変位を与えるのは v-t グラフの面積です。

❌ 惜しい！ 長方形の面積 a·t は at = v(t) − v₀ = Δv に等しくなります。変位は v-t グラフのほうから求まります。

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解答：

$a$ が一定のとき、加速度–時間グラフは高さ $a$ の水平な直線です。 $0$ から $t$ までのその下の面積は長方形になります：

$\text{面積} = a \cdot t$

等加速度運動の第一の公式から、 $at = v(t) - v_0 = \Delta v$ です。したがって $a$ - $t$ グラフの下の面積は 速度の変化に等しくなります。（変位 $\Delta x$ を与えるのは、 $v$ - $t$ グラフの下の面積のほうです。）

したがって、この主張は正しいです。

問3

車が静止状態（ $v_0 = 0$ ）から一様に加速し、 $100$ m 進むあいだに $20$ m/s に達します。 $x = \tfrac{1}{2}at^2$ と $v = at$ から加速度を消去すると $t = 2x/v$ が得られます。加速していた時間はどれだけですか？

✅ 正解です！ t = 2x/v = 2(100)/20 = 10 s です。

❌ 惜しい！ t = x/v や t = v/a ではなく、x = 100 m、v = 20 m/s として t = 2x/v を使います。

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解答：

$v_0 = 0$ なので、式は $x = \tfrac{1}{2}at^2$ と $v = at$ に簡単になります。 $a = v/t$ を位置の式に代入します：

$x = \tfrac{1}{2}\left(\tfrac{v}{t}\right)t^2 = \tfrac{1}{2}vt \;\;\Rightarrow\;\; t = \frac{2x}{v}$

$x = 100$ m、 $v = 20$ m/s を代入します：

$t = \frac{2(100)}{20} = \frac{200}{20} = 10 \text{ s}$

（確認として、加速度は $a = v/t = 20/10 = 2$ m/s² です。）

問4

車が静止状態から一定の加速度 $a_1 = 3$ m/s² で動き出すのと同じ瞬間に、一定の速さ $v_2 = 16$ m/s のバスが車の横を通り過ぎます。位置を等しいとおいた式 $\tfrac{3}{2}t_a^2 = 16\,t_a$ から、追い越す時刻が求まります。車がバスを追い越すのはおよそいつですか？

✅ 正解です！ t_a で割ると (3/2)t_a = 16 となるので、t_a = 32/3 ≈ 10.7 s です。

❌ 惜しい！ まず両辺を t_a で割ります：(3/2)t_a = 16 → t_a = 32/3 ≈ 10.7 s。32 で止めないでください（それは 3 で割る前の 2×16 です）。

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解答：

2つの位置の関数を等しいとおきます。車は $x_1(t) = \tfrac{1}{2}(3)t^2 = \tfrac{3}{2}t^2$ 、バスは $x_2(t) = 16t$ です。（ $t=0$ のあとで）両者が出会うのは、次の式が成り立つときです：

$\tfrac{3}{2}t_a^2 = 16\,t_a$

両辺を $t_a$ で割ります（ $t_a \neq 0$ なので割ってかまいません）：

$\tfrac{3}{2}t_a = 16 \;\;\Rightarrow\;\; t_a = \frac{2(16)}{3} = \frac{32}{3} \approx 10.7 \text{ s}$

代入し直すと、出会う位置は $x_1(t_a) = \tfrac{3}{2}t_a^2 = \tfrac{512}{3} \approx 170$ m です。

正解数：0 / 4