古典力学 · 第3回 · 動画5 · インタラクティブ教材

微分を逆にたどる：積分で運動を復元する

I重要な公式

公式	名称	説明
$v(t) + C = \displaystyle\int a(t)\,dt$	不定積分	速度を関数として復元する（定数 $C$ は初期条件で決まる）
$\displaystyle\int_{t_i}^{t_f} a(t)\,dt = v(t_f) - v(t_i)$	定積分（微積分学の基本定理）	1つの数：速度の正味の変化 = $a(t)$ の下の符号付き面積
$x(t) = x_i + \displaystyle\int_{t_i}^{t} v(t')\,dt'$	速度から位置へ	速度を積分して位置を復元する
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} S_n = \sum_j a(t_{c_j})\,\Delta t = v(t_f) - v(t_i)$	リーマン和の極限	長方形の面積の和が、速度の変化の正確な値に収束する

IIインタラクティブな可視化

可視化1 — 積分定数

1つの加速度を積分すると、速度の曲線の族全体が得られます（ $b = 1$ ）。初期値 $v(0)$ が、その中の1本を選び出します。

初速度 v₀ = v(0) 1

可視化2 — 符号付き面積としての定積分

$a(t) = t - 2$ のとき、正味の変化 $\displaystyle\int_{0}^{t_f} a\,dt$ は符号付き面積です。軸より下の部分は引かれ、上の部分は足されます。

上端 t_f 3

可視化3 — 正確な面積に近づくリーマン和

長方形の数が増えるにつれて、面積の合計は正確な積分の値 $\int_0^2 t^2\,dt = \tfrac{8}{3} \approx 2.667$ に近づいていきます。

長方形の数 n 4

💡 各帯の標本点を左端、右端、中点のどれにとっても、極限は同じです。これこそが、微積分学の基本定理の保証していることです。

III確認クイズ

問1

物体の加速度が $a(t) = b\,t^2$ （ $b$ は定数）、初速度が $v(0) = v_0$ です。 $a(t)$ を積分すると $v(t) + C = \frac{b\,t^3}{3}$ が得られます。

初期条件を当てはめると、速度の関数 $v(t)$ はどうなりますか？

✅ 正解です！ 初期条件から $C = -v_0$ となるので、 $v(t) = v_0 + bt^3/3$ です。

❌ 惜しい！ $t = 0$ では3次の項が消えるので、 $v_0 + C = 0$ から $C = -v_0$ です。定数は3次の項に足されるのです。

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解答：

積分すると $v(t) + C = \dfrac{b\,t^3}{3}$ なので、 $v(t) = \dfrac{b\,t^3}{3} - C$ です。

$t = 0$ での初期条件を当てはめます： $v(0) + C = \frac{b\,(0)^3}{3} = 0 \quad\Rightarrow\quad v_0 + C = 0 \quad\Rightarrow\quad C = -v_0.$

代入し直します： $v(t) = \frac{b\,t^3}{3} - (-v_0) = v_0 + \frac{b\,t^3}{3}.$

問2

加速度の定積分 $\displaystyle\int_{t_i}^{t_f} a(t)\,dt$ を計算すると、 1つの数になります。正しいものはどれですか？

✅ 正解です！ 定積分は速度そのものではなく、正味の変化 $v(t_f) - v(t_i)$ です。

❌ 惜しい！ よくある混同です。定積分が与えるのは速度の変化で、 $v(t_f)$ そのものでも関数でもありません。 $v(t_f)$ を求めるには、やはり初速度が必要です。

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解答：

定積分が返すのは、その区間での速度の正味の変化です： $\int_{t_i}^{t_f} a(t)\,dt = v(t_f) - v(t_i).$

それだけでは $v(t_f)$ は求まりません。実際の速度を求めるには、やはり初速度 $v(t_i)$ が必要です： $v(t_f) = v(t_i) + \int_{t_i}^{t_f} a(t)\,dt.$

関数に定数 $C$ を加えたものを返すのは、（定積分ではなく） 不定積分のほうです。

問3

$a(t) = t - 2$ （可視化2の直線）を考えます。 $t_i = 0$ から $t_f = 4$ までの区間での速度の正味の変化、つまり $\displaystyle\int_{0}^{4} (t - 2)\,dt$ はいくらですか？

✅ 正解です！ $[0,2]$ の負の面積が $[2,4]$ の正の面積と打ち消し合い、正味の変化は $0$ になります。

❌ 惜しい！ 原始関数 $F(t) = t^2/2 - 2t$ を使いましょう。積分は符号付き面積で、軸より下の部分は負になり、上の部分と打ち消し合います。

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解答：

$a(t) = t - 2$ の原始関数の1つは $F(t) = \dfrac{t^2}{2} - 2t$ です。 $0$ から $4$ まで計算します： $\int_{0}^{4} (t - 2)\,dt = F(4) - F(0) = \left(\frac{16}{2} - 8\right) - 0 = (8 - 8) - 0 = 0.$

図で見ると、 $[0, 2]$ にある負の（符号付き）面積の三角形が、 $[2, 4]$ にある正の面積の三角形とちょうど打ち消し合います。どちらも面積は $2$ です。符号付き面積の和はゼロになります。

問4

正しいか誤りか：位置の導関数は速度なので、速度を積分すれば位置を復元できる： $x(t) = x_i + \int_{t_i}^{t} v(t')\,dt'.$

したがって全体の流れは、加速度を積分して速度を求め、次に速度を積分して位置を求めるというもので、各段階で初期条件を1つずつ与える。

✅ 正解です！ 速度を積分すると位置が復元でき、定数は $x_i$ で決まります。加速度から速度を復元するのと同じ考え方です。

❌ 惜しい！ $dx/dt = v(t)$ なので、速度を積分すると確かに変位が得られ、 $x_i$ を足せば位置が復元できます。この主張は正しいのです。

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解答：正しい。

$\dfrac{dx}{dt} = v(t)$ なので、速度の定積分は位置の正味の変化（変位）です： $x(t_f) - x(t_i) = \int_{t_i}^{t_f} v(t')\,dt'.$

固定された上端を変数 $t$ に置き換えると、時間の関数としての位置が得られます： $x(t) = x_i + \int_{t_i}^{t} v(t')\,dt'.$

これは2段階の連鎖 $a(t) \xrightarrow{\int dt} v(t) \xrightarrow{\int dt} x(t)$ の2つ目のつながりです。1段目では初速度 $v_i$ が定数を決め、2段目では初期位置 $x_i$ が定数を決めます。

正解数：0 / 4