古典力学 · 第3回 · 動画6 · インタラクティブ教材

等加速度を超えて：多項式と区分関数の積分で運動を解く

I重要な公式

公式	名称	説明
$a(t) = b_0 + b_1 t + b_2 t^2$	多項式の加速度	一定の基準値、1次の増加、2次の曲がり
$v(t) = v_0 + b_0 t + \frac{b_1}{2}t^2 + \frac{b_2}{3}t^3$	速度	$a(t)$ を項ごとに積分する
$x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{b_0}{2}t^2 + \frac{b_1}{6}t^3 + \frac{b_2}{12}t^4$	位置	$v(t)$ を項ごとに積分する
$\int_{t_1}^{t} b(t'-t_1)\,dt' = \frac{b}{2}(t-t_1)^2$	区分的なブレーキ	区間の始まり $t_1$ から積分し、境界でつなぎ合わせる

IIインタラクティブな可視化

可視化1 — 積分すると次数が上がる

$a(t)$ の各係数は $v(t)$ と $x(t)$ へと受け継がれ、1段ごとに $t$ のべきが1つ上がります。

b₀（基準値） 2 b₁（1次の増加） 1 b₂（2次の曲がり） 0.5

💡 積分するたびに、各項のそれまでの分母に新しい指数がかけられます。 $b_1$ の分母は $1 \to 2 \to 6$ 、 $b_2$ の分母は $1 \to 3 \to 12$ と続きます。

可視化2 — 速度は a(t) の下の面積

時刻 $t$ までに増えた速度は、 $0$ から $t$ までの加速度の曲線の下の面積にちょうど等しくなります。

上端 t (s) 2

可視化3 — 区分的な運動をつなぎ合わせる

ブレーキをかけている車が止まるちょうどその瞬間に、自転車が追いつく速さは1つだけです。 $v_b$ はいくらでしょうか？

自転車の速さ v_b (m/s) 12

💡 車の曲線が曲がり始めるのは $t_1 = 1\text{ s}$ からです。惰性で進む間は $a = 0$ で、境界での値 $x_c(t_1) = 12\text{ m}$ が、ブレーキ区間の初期条件として引き継がれます。

III確認クイズ

問1

物体の加速度が $a(t) = b_0 + b_1 t + b_2 t^2$ で、初めの速度が $v_0$ です。1回積分すると、速度 $v(t)$ はどうなりますか？

✅ 正解です！ 各項は t のべきが1つ上がり、新しい指数で割られます。

❌ 惜しい！ べき関数の積分公式を項ごとに使います：t² の項は 2 で、t³ の項は 3 で割ります。

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解答：

$a(t)$ の各項を $0$ から $t$ まで積分し、 $v_0$ を戻します。べき関数の積分公式により、各指数が1つ上がり、新しい指数で割られます：

$v(t) = v_0 + \int_0^t (b_0 + b_1 t' + b_2 t'^2)\,dt' = v_0 + b_0 t + \frac{b_1}{2}t^2 + \frac{b_2}{3}t^3$

加速度の各係数が、速度では次数が1つ高い項を生み出します。

問2

速度 $v(t) = v_0 + b_0 t + \frac{b_1}{2}t^2 + \frac{b_2}{3}t^3$ を積分して位置を求めるとき、 $x(t)$ の $b_1$ の項の分母はいくつになりますか？

✅ 正解です！ もとの分母 2 に新しい指数 3 をかけて 6 です。

❌ 惜しい！ その項にすでについている分母 (2) に、新しい指数 (3) をかけます。

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解答：

$v(t)$ の $b_1$ の項は $\frac{b_1}{2}t^2$ です。積分すると $t^2$ が $t^3$ になり、新しい指数 3 で割られます：

$\int_0^t \frac{b_1}{2}t'^2\,dt' = \frac{b_1}{2}\cdot\frac{t^3}{3} = \frac{b_1}{6}t^3$

分母は $2 \times 3 = 6$ で、位置の項は $\frac{b_1}{6}t^3$ になります。

問3

正しいか誤りか：区分的な加速度では、ブレーキの区間を積分するときも、常に運動のいちばん初めである $t = 0$ から積分すべきである。

✅ 正解です！ 各区間はそれぞれの始まりから積分し、境界での値をつなぎ合わせます。

❌ 惜しい！ ブレーキの区間は t₁ から積分し、v と x は前の区間から引き継ぎます。

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解答：

誤りです。区分的な加速度では、各区間を別々に、その区間の始まりから積分します。ここではブレーキの区間を、 $0$ からではなく $t_1$ から積分します：

$v_c(t) - v_c(t_1) = \int_{t_1}^{t} b(t' - t_1)\,dt' = \frac{b}{2}(t - t_1)^2$

速度と位置は境界で連続でなければならないので、 $v_c(t_1) = 12\text{ m/s}$ と $x_c(t_1) = 12\text{ m}$ が、ブレーキ区間の初期条件として引き継がれます。これらを0に戻してしまうのが、区分関数の問題でいちばん多い間違いです。

問4

自転車と車の問題で、車は $t_2 = 3\text{ s}$ に $x_c = 28\text{ m}$ の位置で止まります。自転車は $-17\text{ m}$ の位置から一定の速さ $v_b$ で出発し、ちょうどその瞬間に車に出会います。 $v_b$ はいくらですか？

✅ 正解です！ −17 + 3v_b = 28 から v_b = 15 m/s が得られます。

❌ 惜しい！ −17 + 3v_b = 28 とおいて解きます：自転車は 3 s で 45 m 進みます。

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解答：

自転車は一定の速さで進むので、その位置は $x_b(t) = -17 + v_b t$ です。これを、 $t = 3\text{ s}$ で出会うときの車の位置と等しいとおきます：

$-17 + 3 v_b = 28$ $3 v_b = 45$ $v_b = 15 \text{ m/s}$

出会う時刻で2つの位置の式を等しいとおき、未知数について解く。これが出会いの問題の一般的な解き方です。

正解数：0 / 4