古典力学 · 第4回 · 動画1 · インタラクティブ教材

運動を二つに分ける：平面の運動を一つの発想で解く

I重要な公式

公式	名称	説明
$\vec{r}(t) = x(t)\,\hat{\imath} + y(t)\,\hat{\jmath}$	位置ベクトル	水平方向の座標 $x$ と鉛直方向の座標 $y$ を、向きと一緒に束ねたもの
$\vec{v}(t) = \dfrac{dx}{dt}\,\hat{\imath} + \dfrac{dy}{dt}\,\hat{\jmath} = v_x\,\hat{\imath} + v_y\,\hat{\jmath}$	速度ベクトル	位置を成分ごとに微分したもの
$\vec{a}(t) = \dfrac{dv_x}{dt}\,\hat{\imath} + \dfrac{dv_y}{dt}\,\hat{\jmath} = a_x\,\hat{\imath} + a_y\,\hat{\jmath}$	加速度ベクトル	速度を成分ごとに微分したもの
$v_x \equiv \dfrac{dx}{dt}, \quad v_y \equiv \dfrac{dy}{dt}$	速度の成分	どちらも、それぞれの座標をふつうの1次元の微分で微分しただけのもの

IIインタラクティブな可視化

可視化1 — ベクトルを成分に分解する

位置ベクトルは、長さ $x$ の水平の辺と、長さ $y$ の鉛直の辺の和です。

x（水平） 3 y（鉛直） 2

可視化2 — 2つの運動、1つの軌道

時計 $t$ だけを共有する2つの独立な1次元の運動が、1点ずつ組み合わさって、1本の曲がった経路になります。

vx 3 vy₀ 8 ay -3 t 2.00

💡 チャレンジ： $v_x$ を上げても、左側のオレンジ色の高さと時間の曲線は動きません。鉛直方向の運動は、水平方向の運動の影響をまったく受けないのです。

可視化3 — 微分の連なり

各瞬間で、 $y(t)$ の傾きは速度 $v_y$ であり、 $v_y$ の傾きは一定の加速度 $a_y$ です。

時刻マーカー t 1.50

💡 これは微分の連なり $\vec{r} \xrightarrow{d/dt} \vec{v} \xrightarrow{d/dt} \vec{a}$ を、1つの成分についてたどったものです。

III確認クイズ

問1

ある粒子の位置ベクトルが $\vec{r}(t) = (4t)\,\hat{\imath} + (3t^2)\,\hat{\jmath}$ です（ $x$ と $y$ の単位はメートル、 $t$ の単位は秒）。

速度の水平成分 $v_x(t)$ はいくらですか。

✅ 正解です！ $\frac{d}{dt}(4t) = 4$ なので、水平方向の速度は一定です。

❌ 惜しい！ 水平方向の座標 $x(t) = 4t$ だけを $t$ で微分しましょう。 $3t^2$ の項は鉛直方向のもので、ここでは関係ありません。

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解答：

水平方向の座標は $x(t) = 4t$ です。速度は位置の時間微分で、成分ごとにとります。

$v_x(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(4t) = 4 \text{ m/s}$

$\hat{\jmath}$ の項（ $3t^2$ ）は鉛直方向の運動に属し、水平成分には影響しません。 2つの方向は独立だからです。したがって $v_x = 4$ で、一定です。

問2

同じ粒子 $\vec{r}(t) = (4t)\,\hat{\imath} + (3t^2)\,\hat{\jmath}$ を考えます。

加速度ベクトル $\vec{a}(t)$ はどれですか。

✅ 正解です！ $a_x = 0$ 、 $a_y = 6$ なので、 $\vec{a} = 6\,\hat{\jmath}$ です。

❌ 惜しい！ 加速度は位置の二階微分です。各成分を2回微分しましょう。 $x = 4t \to v_x = 4 \to a_x = 0$ 、 $y = 3t^2 \to v_y = 6t \to a_y = 6$ です。

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解答：

位置を成分ごとに2回微分します。

まず速度です。 $v_x = \frac{d}{dt}(4t) = 4, \qquad v_y = \frac{d}{dt}(3t^2) = 6t$

次に加速度です。 $a_x = \frac{d}{dt}(4) = 0, \qquad a_y = \frac{d}{dt}(6t) = 6$

したがって $\vec{a}(t) = 0\,\hat{\imath} + 6\,\hat{\jmath} \text{ m/s}^2$

水平方向の運動は速度が一定（加速度 0）で、鉛直方向の運動は一定の加速度 $6\ \text{m/s}^2$ をもちます。

問3

正しいか誤りか：重力のもとで運動する放物体では、水平方向の打ち出しの速さ $v_x$ を変えると、鉛直方向の位置 $y(t)$ の時間変化も変わる。

✅ 正解です！ 鉛直方向の運動は鉛直方向の量だけで決まります。 $y(t)$ の式に $v_x$ が入ることはありません。

❌ 惜しい！ 成分どうしは独立です。 $y(t)$ の式には水平方向の量が含まれないので、 $v_x$ が影響することはありません。

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解答： 誤り。

水平方向と鉛直方向の運動は独立で、共有しているのは時計 $t$ だけです。鉛直方向の運動は、鉛直方向の式（ $v_y = v_{y0} + a_y t$ 、 $y = v_{y0}t + \tfrac{1}{2}a_y t^2$ ）だけで決まり、そこには $v_x$ はまったく現れません。

$v_x$ を変えると、経路は水平方向に伸びたり縮んだりしますが、高さと時間の関係はまったく変わりません。これはまさに、可視化2で示した独立性です。

問4

ある粒子が $x(t) = 5t$ 、 $y(t) = 20t - 5t^2$ （SI単位）で運動しています。速度の鉛直成分 $v_y$ が 0 になる（弧の最高点）のは、どの時刻 $t > 0$ ですか。

✅ 正解です！ $v_y = 20 - 10t = 0$ から $t = 2$ s です。

❌ 惜しい！ 鉛直方向の座標だけを微分します。 $v_y = \frac{d}{dt}(20t - 5t^2) = 20 - 10t$ として、 $v_y = 0$ を解きましょう。

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解答：

鉛直方向の速度は、鉛直方向の座標の導関数です。 $v_y(t) = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\left(20t - 5t^2\right) = 20 - 10t$

これを 0 とおきます。 $20 - 10t = 0 \;\Longrightarrow\; t = 2 \text{ s}$

$t = 2\ \text{s}$ で鉛直方向の速度は 0 になります。粒子はその瞬間、水平方向にだけ動いている、つまり弧の最高点にいます。（ここで $x(t) = 5t$ は何の役割も果たしません。水平方向と鉛直方向の部分は独立だからです。）

正解数：0 / 4