古典力学 · 第4回 · 動画4 · インタラクティブ教材

時間を消すと見える放物線：放物運動の軌道の式

I重要な公式

公式	名称	説明
$x(t) = x_0 + v_{x,0}\,t,\quad y(t) = y_0 + v_{y,0}\,t - \tfrac{1}{2} g t^2$	運動の式	水平方向と鉛直方向の位置を時間の関数で表す
$y = -\dfrac{1}{2}\dfrac{g}{v_{x,0}^2}\,x^2 + \left(\dfrac{g x_0}{v_{x,0}^2} + \dfrac{v_{y,0}}{v_{x,0}}\right)x + C$	軌道の式	$t$ を消去したあとの軌道 $y(x)$
$\theta = \arctan\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)$	運動の向き	速度の角度は傾きの arctan に等しい
$y = \tan(\theta_0)\,x - \dfrac{g}{2 v_0^2 \cos^2\theta_0}\,x^2$	打ち出し点を原点とする形	原点を打ち出し点にとった簡潔な軌道の式

IIインタラクティブな可視化

可視化1 — 軌道から時間を消す

等しい時間間隔で記録すると放物体は最高点の近くで混み合いますが、描く形は下向きに開いた1本の放物線です。

打ち出しの速さ v₀ (m/s) 25 打ち出し角 θ₀ (°) 50 時間

可視化2 — 傾きは運動の向き

各点での接線の傾きは $\tan\theta$ です。これが表すのは速度の向きであって、速さではありません。

軌道上の位置 30%

💡 2つの放物体が、まったく同じこの接線に沿って異なる速さで進むことがあります。傾きが決めるのは向きだけで、大きさ $|\vec{v}|$ は決まりません。

可視化3 — 弧が下向きに開く理由

$x^2$ の係数 $-\tfrac{1}{2}\,g/v_{x,0}^2$ は常に負なので、 $v_{x,0}$ を小さくしても下向きの弧がきつく曲がるだけです。

水平方向の速さ v_x,0 (m/s) 18

III確認クイズ

問1

時間を消去して軌道の式 $y(x)$ を求めるため、動画では一方の運動の式を $t$ について解き、それをもう一方に代入しました。どちらの式を $t$ について解けばよく、結果はどうなるでしょうか。

✅ 正解です！ 水平方向の式は $t$ の1次式なので、すっきり解けます： $t = (x - x_0)/v_{x,0}$ 。

❌ 惜しい！ 計算がすっきりするように、 $t$ について1次の式を選びましょう。それは水平方向の式 $x(t)$ です。

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解答：

水平方向の式 $x = x_0 + v_{x,0}\,t$ は $t$ の1次式なので、時間についてすっきり解けます：

$t = \frac{x - x_0}{v_{x,0}}.$

この1つの式を、鉛直方向の式の $t$ が現れるところすべてに代入すると、時間が消えて $y$ と $x$ だけの関係が残ります。 $y$ の式を $t$ について解こうとすると、 $t$ の2次式を解くことになり（平方根が出てきて面倒です）、まさにそれを避けたいのです。

問2

展開した軌道の式で、 $x^2$ の係数は $-\dfrac{1}{2}\dfrac{g}{v_{x,0}^2}$ です。この係数の符号から、軌道の形について何がわかるでしょうか。

✅ 正解です！ $g>0$ かつ $v_{x,0}^2>0$ なので、先頭のマイナス符号によって係数は必ず負になります。つまり下向きに開いた放物線です。

❌ 惜しい！ $g$ も $v_{x,0}^2$ も正なので、前についたマイナス符号によって係数は常に負に決まります。

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解答：

係数は

$-\frac{1}{2}\,\frac{g}{v_{x,0}^2}.$

です。重力加速度 $g > 0$ で、水平方向の速さの2乗も $v_{x,0}^2 > 0$ ですから、比は正であり、先頭のマイナス符号によって係数全体が負になります。 $x^2$ の係数が負ということは、放物線が下向きに開くということです。投げた物体が弧を描いて上がり、また落ちてくるのとちょうど同じです。打ち出し角によって曲線の伸び方は変わりますが、この符号が反転することは決してありません。

問3

正しいか誤りか：ある点での軌道の傾き $\dfrac{dy}{dx}$ から、その点での放物体の速度の向きと速さ $|\vec{v}|$ の両方がわかる。

✅ 正解です！ 傾きが決めるのは向きだけです。速さを求めるには、比だけでなく成分 $v_x$ と $v_y$ そのものが必要です。

❌ 惜しい！ 傾きは比 $v_y/v_x$ です。向きの情報は残りますが大きさの情報は捨てられるので、速さはわかりません。

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解答： 誤り。

傾きからわかるのは運動の向きだけです。 $\theta = \arctan(dy/dx)$ が速度の角度を決めます。しかし2つの放物体がまったく同じ放物線を描いていても、一方は勢いよく駆け抜け、もう一方はゆっくり進んでいるかもしれません。接線が決めるのは進む向きであって、大きさではないのです。速さを求めるには速度の成分そのもの、 $v_x = dx/dt$ と $v_y = dy/dt$ が必要で、そこから $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ となります。それらの比（傾き）では大きさの情報が失われます。

形からわかるのは進む向きです。速さまではわかりません。

問4

原点を打ち出し点にとって $x_0 = 0$ 、 $y_0 = 0$ とし、軌道を打ち出しの速さ $v_0$ と打ち出し角 $\theta_0$ で表します。 $\,y = \tan(\theta_0)\,x - \dfrac{g}{2 v_0^2 \cos^2\theta_0}\,x^2$ の 1次の $x$ の項の係数はどれでしょうか。

✅ 正解です！ 1次の係数は $v_{y,0}/v_{x,0} = \tan(\theta_0)$ 、つまり打ち出し時の傾きです。

❌ 惜しい！ 1次の項は $v_{y,0}/v_{x,0}$ から来ます。 $v_{y,0}=v_0\sin\theta_0$ と $v_{x,0}=v_0\cos\theta_0$ を使うと、この比は $\tan(\theta_0)$ になります。

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解答：

原点を打ち出し点にとると、定数の項と $g x_0/v_{x,0}^2$ の部分はすべて消え、次の式が残ります。

$y = -\frac{1}{2}\frac{g}{v_{x,0}^2}\,x^2 + \frac{v_{y,0}}{v_{x,0}}\,x.$

1次の係数は $v_{y,0}/v_{x,0}$ です。 $v_{x,0} = v_0\cos\theta_0$ と $v_{y,0} = v_0\sin\theta_0$ を代入すると、

$\frac{v_{y,0}}{v_{x,0}} = \frac{v_0\sin\theta_0}{v_0\cos\theta_0} = \tan\theta_0.$

したがって、打ち出し点を通る直線の傾きは $\tan(\theta_0)$ 、つまり打ち出し時の傾きです。もう1つの選択肢 $g/(2 v_0^2 \cos^2\theta_0)$ は $x^2$ の項の係数であって、 $x$ の項の係数ではありません。

正解数：0 / 4