古典力学 · 第5回 · 動画2 · インタラクティブ教材

円運動の速度は回る単位ベクトルに潜んでいる

I重要な公式

公式 名称 説明
r^=cos⁡θ ı^+sin⁡θ ȷ^\hat{r} = \cos\theta\,\hat{\imath} + \sin\theta\,\hat{\jmath} 動径方向の単位ベクトル 位置ベクトルと同じ向き、外向きを指す
θ^=−sin⁡θ ı^+cos⁡θ ȷ^\hat{\theta} = -\sin\theta\,\hat{\imath} + \cos\theta\,\hat{\jmath} 接線方向の単位ベクトル r^\hat{r} を反時計回りに 90∘90^\circ 回したもの
dr^dt=dθdt θ^\dfrac{d\hat{r}}{dt} = \dfrac{d\theta}{dt}\,\hat{\theta} r^\hat{r} の微分 動径方向が接線方向に変わる
dθ^dt=−dθdt r^\dfrac{d\hat{\theta}}{dt} = -\dfrac{d\theta}{dt}\,\hat{r} θ^\hat{\theta} の微分 接線方向が内向きに戻ってくる
v⃗=R dθdt θ^=vθ θ^\vec{v} = R\,\dfrac{d\theta}{dt}\,\hat{\theta} = v_\theta\,\hat{\theta} 速度 純粋に接線方向で、動径方向の部分はない
v=R ω,ω=∣dθdt∣v = R\,\omega,\quad \omega = \left\lvert\dfrac{d\theta}{dt}\right\rvert 速さと角速度 半径 × 角速度

IIインタラクティブな可視化

可視化1 — 回転する極座標の単位ベクトル

物体が円を回るにつれて r^\hat{r} と θ^\hat{\theta} は垂直を保ったままいっしょに回転し、原点の ı^\hat{\imath} と ȷ^\hat{\jmath} は固定されたままです。

💡 長さ ∣r⃗∣=R|\vec{r}| = R は決して変わらず、回るのは向きだけです。この r^\hat{r} の回転こそが、運動のすべての源です。

可視化2 — 速度は純粋に接線方向

決まった円の上の物体の速度が、中心に向かう向きや中心から遠ざかる向きを向くことはあるでしょうか？

可視化3 — 速さは半径 × 角速度

半径や角速度を何倍かにすると、速さ v=R ωv = R\,\omega はどう変わるでしょうか？

💡 チャレンジ：ω\omega を固定して RR を2倍にし、次に RR を固定して ω\omega を2倍にしてみましょう。どちらの場合も速さが2倍になることを確かめてください。

III確認クイズ

問1

動径方向の単位ベクトルを時間で微分すると dr^dt\dfrac{d\hat{r}}{dt} が得られます。これはどのベクトルの向きを向いているでしょうか？

✅ 正解です！dr̂/dt = (dθ/dt) θ̂ です。動径方向が接線方向に変わります。

❌ 惜しい！dθ/dt をくくり出すと、残るベクトル (-sinθ î + cosθ ĵ) は r̂ ではなく θ̂ です。

解答を見る

解答：

ı^,ȷ^\hat{\imath},\hat{\jmath} が定数であることに注意して、r^=cos⁡θ ı^+sin⁡θ ȷ^\hat{r} = \cos\theta\,\hat{\imath} + \sin\theta\,\hat{\jmath} から始めます。連鎖律により、

dr^dt=−sin⁡θ dθdt ı^+cos⁡θ dθdt ȷ^=dθdt(−sin⁡θ ı^+cos⁡θ ȷ^).\frac{d\hat{r}}{dt} = -\sin\theta\,\frac{d\theta}{dt}\,\hat{\imath} + \cos\theta\,\frac{d\theta}{dt}\,\hat{\jmath} = \frac{d\theta}{dt}\left(-\sin\theta\,\hat{\imath} + \cos\theta\,\hat{\jmath}\right).

かっこの中のベクトルはちょうど θ^\hat{\theta} なので、

dr^dt=dθdt θ^.\frac{d\hat{r}}{dt} = \frac{d\theta}{dt}\,\hat{\theta}.

動径方向を微分すると、接線方向が得られます。

問2

接線方向の単位ベクトルについても同じように微分すると、dθ^dt\dfrac{d\hat{\theta}}{dt} はどうなるでしょうか？

✅ 正解です！dθ̂/dt = -(dθ/dt) r̂ です。接線方向は中心向きに戻ってきます。

❌ 惜しい！符号に注意しましょう。残るベクトルは -(cosθ î + sinθ ĵ) = -r̂ なので、マイナスがつきます。

解答を見る

解答：

θ^=−sin⁡θ ı^+cos⁡θ ȷ^\hat{\theta} = -\sin\theta\,\hat{\imath} + \cos\theta\,\hat{\jmath} を、連鎖律を使って項ごとに微分します。

dθ^dt=−cos⁡θ dθdt ı^−sin⁡θ dθdt ȷ^=dθdt(−cos⁡θ ı^−sin⁡θ ȷ^).\frac{d\hat{\theta}}{dt} = -\cos\theta\,\frac{d\theta}{dt}\,\hat{\imath} - \sin\theta\,\frac{d\theta}{dt}\,\hat{\jmath} = \frac{d\theta}{dt}\left(-\cos\theta\,\hat{\imath} - \sin\theta\,\hat{\jmath}\right).

かっこの中のベクトルは −(cos⁡θ ı^+sin⁡θ ȷ^)=−r^-(\cos\theta\,\hat{\imath} + \sin\theta\,\hat{\jmath}) = -\hat{r} なので、

dθ^dt=−dθdt r^.\frac{d\hat{\theta}}{dt} = -\frac{d\theta}{dt}\,\hat{r}.

接線方向を微分すると、−r^-\hat{r} の向き、つまり内向きに戻ってきます。

問3

決まった半径 RR の円の上を動く物体の速度は v⃗=ddt(R r^)\vec{v} = \dfrac{d}{dt}(R\,\hat{r}) です。

正しいか誤りか：この速度には、動径方向（r^\hat{r}）の成分と接線方向（θ^\hat{\theta}）の成分の両方がある。

✅ 正解です！R が一定なので v = R(dθ/dt)θ̂ となり、純粋に接線方向で、動径成分はありません。

❌ 惜しい！R は一定なので、dr̂/dt = (dθ/dt)θ̂ により接線方向の項だけが残ります。

解答を見る

解答：

決まった円の上では RR は定数なので、そのまま微分の外に出せます。

v⃗=ddt(R r^)=R dr^dt=R dθdt θ^.\vec{v} = \frac{d}{dt}(R\,\hat{r}) = R\,\frac{d\hat{r}}{dt} = R\,\frac{d\theta}{dt}\,\hat{\theta}.

r^\hat{r} の項はまったくありません。速度は純粋に接線方向です。これは直観とも合っています。円の上の物体は円に沿って動き、中心に近づいたり遠ざかったりはしません。したがって、この主張は誤りです。

問4

衛星が半径 R=3R = 3 m の円の上を角速度 ω=4\omega = 4 rad/s で動いています。ただし向きは時計回りなので、dθdt=−4\dfrac{d\theta}{dt} = -4 rad/s です。この衛星の速さ vv はいくらでしょうか？

✅ 正解です！v = Rω = 3 × 4 = 12 m/s です。速さには、いつも正の ω = |dθ/dt| を使います。

❌ 惜しい！速さは大きさなので、負にはなりません。dθ/dt の符号が決めるのは向きだけで、速さではありません。

❌ 惜しい！v = Rω を使いましょう。R = 3 に ω = |dθ/dt| = 4 をかけます。足したり割ったりはしません。

解答を見る

解答：

速さは速度の大きさであり、角速度 ω=∣dθ/dt∣=4\omega = \left\lvert d\theta/dt\right\rvert = 4 rad/s を使います。

v=R ω=(3)(4)=12 m/s.v = R\,\omega = (3)(4) = 12 \text{ m/s}.

時計回りなので dθ/dt=−4d\theta/dt = -4 rad/s となり、速度ベクトルは反転して時計回りの向きを指しますが、速さはいつも正です。符号は絶対値をとると消えます。したがって v=12v = 12 m/s です。

IVまとめ

円運動の速度の話は、結局ただ1つの操作に行き着きます。回転する動径方向 r^\hat{r} を微分すると、接線方向 θ^\hat{\theta} に変わる、ということです。

運動は、伸び縮みするベクトルにあったのではありません。すべて、回転するベクトルの中にあったのです。

正解数：0 / 4