古典力学 · 第5回 · 動画4 · インタラクティブ教材

円運動の加速度：接線成分と、いつも中心を向く動径成分

I重要な公式

半径 $R$ の円の上を、角 $\theta(t)$ 、角速度 $\omega \equiv \dfrac{d\theta}{dt}$ で動く粒子について：

公式	名称	説明
$\vec{a} = a_r\,\hat{r} + a_\theta\,\hat{\theta}$	極座標で表した加速度	動径成分 + 接線成分
$\vec{v} = R\dfrac{d\theta}{dt}\,\hat{\theta}$	円の上の速度	接線方向の成分だけ
$a_\theta = R\dfrac{d^2\theta}{dt^2}$	接線加速度	速さが変化するときだけ 0 でない
$a_r = -R\omega^2$	動径方向の加速度（向心加速度）	常に $\le 0$ — 内向きを向く

導出のかなめとなる恒等式： $\dfrac{d\hat{\theta}}{dt} = -\dfrac{d\theta}{dt}\,\hat{r}$ 。 $\hat{\theta} = -\sin\theta\,\hat{i} + \cos\theta\,\hat{j}$ であり、 $\hat{r} = \cos\theta\,\hat{i} + \sin\theta\,\hat{j}$ だからです。

IIインタラクティブな可視化

可視化1 — 回転する極座標の単位ベクトル

固定された軸 $\hat{i},\hat{j}$ とは違い、極座標の単位ベクトル $\hat{r},\hat{\theta}$ は円の上の点ごとに向きを変えます。

角 θ 45°

💡 この座標の向きは一定ではないので、 $\vec{v} = R\dot{\theta}\,\hat{\theta}$ の微分には積の微分法則（積の公式）が必要です。そこで余分に出てくる項 $-R\dot{\theta}^2\,\hat{r}$ こそが、内向きの加速度です。

可視化2 — 接線加速度と動径方向の加速度

$a_r = -R\omega^2$ なので、内向きの矢印は $\omega$ の符号によらず残り、接線方向の矢印は $\alpha$ とともに向きが反転します。

ω (rad/s) 1.00 α (rad/s²) 0.50 位置 θ 60°

可視化3 — 向心加速度が 0 になるところ

$\theta(t) = At^3 - Bt$ のとき、動径成分の曲線はちょうど $t_1 = \sqrt{B/3A}$ で 0 に接し、接線成分は増え続けます。

A 1.0 B 3.0 R 1.0 時刻 t 0.00

💡 $t_1$ で角速度は 0 を通過します。粒子は一瞬止まって回る向きを反転しますが、 $a_\theta \neq 0$ なので、角加速度はもち続けています。

III確認クイズ

問1

半径 $R$ の円の上を角速度 $\omega = \dfrac{d\theta}{dt}$ で動く粒子について、加速度の動径成分（向心成分）はどれでしょうか。

✅ 正解です！ 動径成分は $a_r = -R\omega^2$ です。

❌ 惜しい！ 動径成分は $\hat{r}$ のついた項から来るので、 $-R\omega^2$ です（マイナス符号と、θ¨ ではなく ω の2乗であることに注意しましょう）。

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解答：

$\vec{v} = R\dot{\theta}\,\hat{\theta}$ を積の微分法則で微分し、 $\dfrac{d\hat{\theta}}{dt} = -\dot{\theta}\,\hat{r}$ を使うと、次が得られます。

$\vec{a} = R\ddot{\theta}\,\hat{\theta} - R\dot{\theta}^2\,\hat{r}.$

動径成分（ $\hat{r}$ の係数）を読み取ると：

$a_r = -R\dot{\theta}^2 = -R\omega^2.$

マイナス符号と2乗があるからこそ、この成分は常に内向きになります。

問2

正しいか誤りか： 粒子が回る向きを反転させる（つまり $\omega$ の符号が正から負に変わる）と、動径方向の加速度 $a_r$ は内向きから外向きに切り替わる。

✅ 正解です！ $a_r = -R\omega^2$ は $\omega^2$ で決まるので、ω の符号がどうであれ負（内向き）のままです。

❌ 惜しい！ $a_r = -R\omega^2$ は ω ではなく $\omega^2$ で決まるので、ω の符号を反転させても $a_r$ は変わらず、内向きのままです。

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解答：

$a_r = -R\omega^2.$

ここで $R > 0$ 、 $\omega^2 \ge 0$ なので、 $\omega$ の符号によらず $a_r \le 0$ です。動径成分が負ということは、加速度が（外向きの） $\hat{r}$ と逆を向く、つまり 内向き、円の中心を向くということです。回る向きを反転させると $\omega$ の符号は変わりますが、 $\omega^2$ の符号は変わらないので、 $a_r$ は内向きのままです。

したがって、この主張は誤りです。

問3

導出では、単位ベクトル $\hat{\theta} = -\sin\theta\,\hat{i} + \cos\theta\,\hat{j}$ の時間微分が必要です。（ $\theta$ は $t$ に依存するので）連鎖律を使うと、 $\dfrac{d\hat{\theta}}{dt}$ はどうなるでしょうか。

✅ 正解です！ かっこの中は $-\hat{r}$ にまとまるので、 $d\hat{\theta}/dt = -(d\theta/dt)\,\hat{r}$ となります。

❌ 惜しい！ 微分すると、因数 $(d\theta/dt)$ に $(-\cos\theta\,\hat{i} - \sin\theta\,\hat{j}) = -\hat{r}$ がかかった形になります。符号に気をつけましょう。

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解答：

連鎖律を使って項ごとに微分します：

$\frac{d\hat{\theta}}{dt} = -\cos\theta\,\frac{d\theta}{dt}\,\hat{i} - \sin\theta\,\frac{d\theta}{dt}\,\hat{j} = \frac{d\theta}{dt}\big(-\cos\theta\,\hat{i} - \sin\theta\,\hat{j}\big).$

かっこの中は $-(\cos\theta\,\hat{i} + \sin\theta\,\hat{j}) = -\hat{r}$ なので、

$\frac{d\hat{\theta}}{dt} = -\frac{d\theta}{dt}\,\hat{r}.$

これが、内向き（動径方向）の加速度を生み出す項です。

問4

半径 $R$ の円の上の粒子の角が、 $A, B > 0$ として $\theta(t) = A t^3 - B t$ で与えられています。向心加速度（動径方向の加速度）が初めて 0 になる時刻 $t_1 > 0$ はいつでしょうか。

✅ 正解です！ $3At^2 - B = 0$ とおいて解くと、 $t_1 = \sqrt{B/(3A)}$ です。

❌ 惜しい！ $a_r = 0$ には $3At^2 - B = 0$ が必要なので、 $t^2 = B/(3A)$ 、 $t_1 = \sqrt{B/(3A)}$ です。3A は根号の中の分母に残しておきましょう。

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解答：

動径方向の加速度は $a_r = -R\left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2$ で、 $\dfrac{d\theta}{dt} = 3A t^2 - B$ です。 $R \neq 0$ なので、 $a_r = 0$ となるには、 2乗されている量そのものが 0 でなければなりません：

$3A t^2 - B = 0 \;\Rightarrow\; 3A t^2 = B \;\Rightarrow\; t^2 = \frac{B}{3A}.$

（時間は正なので）正の平方根をとると：

$t_1 = \sqrt{\frac{B}{3A}}.$

この瞬間 $\omega = \dfrac{d\theta}{dt} = 0$ で、粒子は一瞬だけ回転を止めて向きを反転します。そこでも接線加速度は $a_\theta = 6ARt_1 \neq 0$ であることに注意しましょう。

正解数：0 / 4