古典力学 · 第5回 · 動画5 · インタラクティブ教材

等速円運動：周期・振動数と向心加速度

I重要な公式

公式	名称	説明
$v = r\,\lvert\omega\rvert$	速さ	等速円運動では一定
$T = \dfrac{2\pi}{\omega}$	周期	1周にかかる時間
$f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{\omega}{2\pi}$	振動数（周波数）	1秒あたりの回転数。単位はヘルツ（Hz）
$\lvert a_r\rvert = r\omega^2 = \dfrac{v^2}{r} = 4\pi^2 r f^2 = \dfrac{4\pi^2 r}{T^2} = v\,\lvert\omega\rvert$	向心加速度	常に内向き $(-\hat{r})$ を向く

II可視化1 — 速度ベクトルと加速度ベクトル

速さが一定でも、大きさ一定の加速度があります。速度は接線方向を向いたまま、一定の強さの引っぱりが内向きにはたらきます。

位置 θ（度） 45° 半径 r (m) 2.0 角速度 ω (rad/s) 1.5

💡 $v = r\omega$ は直線的に増えますが、 $a_r = r\omega^2$ は $\omega$ の2乗で増えます。そのため回転の速さを2倍にすると、速さは2倍、内向きの引っぱりは4倍になります。

III可視化2 — 周期と振動数

周期も振動数も角速度だけで決まり、 $\omega$ が大きくなると互いに逆向きに変化します。

角速度 ω (rad/s) 2.0

IV可視化3 — 内向きの加速度を導く

内向きの加速度はどこから来るのでしょうか。小さな角だけ向きの違う、同じ長さの2つの速度の差をとります。

角 Δθ（度） 60°

💡 $\lvert\Delta\vec{v}\rvert \approx v\,\Delta\theta$ を $\Delta t$ で割り、 $\Delta\theta \to 0$ とすると、 $\lvert a_r\rvert = v\lvert\omega\rvert = r\omega^2$ が得られます。

V確認クイズ

問1

物体が等速円運動をしています。その速度と加速度について正しいものはどれでしょうか。

✅ 正解です！ 速さは一定ですが、道すじを円に曲げる、大きさ一定の内向きの加速度（向心加速度）があります。

❌ 惜しい！ 速さが一定でも、向きが変われば加速度があります。そしてその加速度は、運動の向きではなく内向きを向きます。

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解答：

等速円運動では接線方向の力が 0 なので、速さ $v = r\lvert\omega\rvert$ は一定に保たれます。しかし速度の向きは絶えず変わるので、速度ベクトルは変化します。この変化が加速度です。残る加速度は動径方向の成分だけです：

$\vec{a}_r = -r\omega^2\,\hat{r}$

マイナス符号は、この加速度が内向き、つまり中心を向くことを表します。「等速」とは速さが一定という意味で、加速度が 0 という意味ではありません。

問2

物体が角速度 $\omega = 4\ \text{rad/s}$ で円軌道を回っています。周期 $T$ はいくらでしょうか。

（ $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$ を使いましょう。）

✅ 正解です！ T = 2π/4 = π/2 ≈ 1.57 s です。

❌ 惜しい！ T = 2π/ω を使いましょう。ほかの選択肢は、ω で割らずにかけているか、因数 2π を落としています。

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解答：

$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \approx 1.57\ \text{s}$

周期は角速度だけで決まり、半径は入ってきません。物体が角度を速く掃いていくほど、 1周にかかる時間は短くなります。

問3

自動車が半径 $r = 50\ \text{m}$ の円形のコースを、一定の速さ $v = 20\ \text{m/s}$ で回っています。向心加速度の大きさはいくらでしょうか。

（ $\lvert a_r\rvert = \dfrac{v^2}{r}$ を使いましょう。）

✅ 正解です！ v²/r = 400/50 = 8 m/s² です。

❌ 惜しい！ 速さを2乗するのを忘れないようにしましょう：a_r = v²/r = (20²)/50。

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解答：

$\lvert a_r\rvert = \frac{v^2}{r} = \frac{(20)^2}{50} = \frac{400}{50} = 8\ \text{m/s}^2$

これは、速さと半径で表した向心加速度の式です。「0.4」は速さを2乗し忘れた場合（ $v/r = 20/50$ ）、「2.5」は比を逆にした場合（ $r/v$ の組み合わせ）に出てくる値です。速さは必ず2乗しましょう。

問4

正しいか誤りか： 等速円運動をする物体の角速度 ω を（半径は固定したまま） 2倍にすると、向心加速度もちょうど2倍になる。

✅ 正解です！ a_r = rω² なので、ω を2倍にすると加速度は4倍（×4）になります。

❌ 惜しい！ 速さ v = rω は2倍になりますが、a_r = rω² は ω の2乗で決まるので、4倍になります。

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解答： この主張は誤りです。

向心加速度は $\lvert a_r\rvert = r\omega^2$ です。ω を2倍にすると $\omega^2$ が $(2\omega)^2 = 4\omega^2$ に置きかわるので、加速度は2倍ではなく4倍になります。

$\frac{\lvert a_r\rvert_{\text{new}}}{\lvert a_r\rvert_{\text{old}}} = \frac{r(2\omega)^2}{r\omega^2} = 4$

（速さ $v = r\omega$ は確かに2倍になりますが、加速度は ω の2乗で決まります。）

正解数：0 / 4