古典力学 · 第5回 · 動画6 · インタラクティブ教材

回転を矢印で表す：ベクトルとしての角速度と角加速度

I重要な公式

公式 名称 説明
ω⃗=dθdt k^=ωz k^\vec{\omega} = \dfrac{d\theta}{dt}\,\hat{k} = \omega_z\,\hat{k} 角速度 回転軸（zz 軸）の上にあり、ωz\omega_z の符号が回転の向きを決める
ω≡∣ωz∣=∣dθdt∣\omega \equiv \left\lvert \omega_z \right\rvert = \left\lvert \dfrac{d\theta}{dt}\right\rvert 角速度 大きさだけを表し、常に正
v⃗=ω⃗×r⃗=r dθdt θ^\vec{v} = \vec{\omega}\times\vec{r} = r\,\dfrac{d\theta}{dt}\,\hat{\theta} 接線方向の速度 k^×r^=θ^\hat{k}\times\hat{r}=\hat{\theta} から得られる
α⃗=d2θdt2 k^=αz k^\vec{\alpha} = \dfrac{d^2\theta}{dt^2}\,\hat{k} = \alpha_z\,\hat{k} 角加速度 これも回転軸の上にある

回転の向き：ωz>0⇒\omega_z > 0 \Rightarrow 反時計回りで、ω⃗\vec{\omega} は上向き (+k^)(+\hat{k})。 ωz<0⇒\omega_z < 0 \Rightarrow 時計回りで、ω⃗\vec{\omega} は下向き (−k^)(-\hat{k}) です。

速くなるか遅くなるか：ω⃗\vec{\omega} と α⃗\vec{\alpha} が同じ向きなら回転は速くなり、逆向きなら遅くなります。

IIインタラクティブな可視化

可視化1 — 回転の向きを矢印で表す

ωz\omega_z の符号が、回転の向きと、ω⃗\vec{\omega} が軸に沿ってどちらを向くかの両方を決めます。

💡 右手の法則：右手の指を運動の向きに沿って曲げると、親指が ω⃗\vec{\omega} の向きを指します。

可視化2 — 回転が反転するとき

θ(t)=A t−B t3\theta(t) = A\,t - B\,t^3 のとき、回転は ωz=A−3Bt2\omega_z = A - 3Bt^2 が 0 になるちょうどその瞬間に止まり、向きを反転します。

💡 粒子の角 θ\theta が最大になるのは、反転の瞬間 t1=A/(3B)t_1 = \sqrt{A/(3B)}、つまり ωz\omega_z の符号が変わる瞬間です。

可視化3 — 速くなるか遅くなるか

回転が速くなるかどうかは、α⃗\vec{\alpha} がどちらを向くかではなく、α⃗\vec{\alpha} と ω⃗\vec{\omega} の向きの関係で決まります。

💡 上向きの α⃗\vec{\alpha} は、反時計回りの回転を速くしますが、時計回りの回転は遅くします。同じ向きなら速くなり、逆向きなら遅くなるのです。

III確認クイズ

問1

車輪が xyxy 平面内で（+z+z 側から見て）反時計回りに回っていて、 その角速度は一定です。角速度ベクトル ω⃗\vec{\omega} はどちらを向いていますか？

✅ 正解です！反時計回りなら ω_z > 0 なので、ω は +k̂ の方向、つまり上向きです。

❌ 惜しい！ω は常に回転軸（z 軸）の上にあり、接線方向や動径方向を向くことはありません。反時計回りなら ω_z > 0 です。

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解答：

反時計回りの運動では角 θ\theta が増えているので、 ωz=dθ/dt>0\omega_z = d\theta/dt > 0 です。ω⃗=ωz k^\vec{\omega} = \omega_z\,\hat{k} ですから、成分が正ということは、 ω⃗\vec{\omega} が上向き、つまり +k^+\hat{k} の方向（平面から見ている人のほうへ出る向き）を向くということです。

右手の法則：右手の指を反時計回りに曲げると、親指は上を指します。

問2

円の上の粒子の角が θ(t)=A t−B t3\theta(t) = A\,t - B\,t^{3}（ A,B>0A, B > 0）で表されます。角速度が一瞬 0 になる（ωz=0\omega_z = 0）時刻 t1t_1 はいつですか？

✅ 正解です！A − 3B t² = 0 とおいて t について解きます。

❌ 惜しい！まず微分します：ω_z = A − 3B t²。これを 0 とおくと t² = A/(3B) となり、その平方根をとります。

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解答：

微分して角速度の成分を求めます。 ωz=dθdt=ddt(At−Bt3)=A−3Bt2.\omega_z = \frac{d\theta}{dt} = \frac{d}{dt}\left(A t - B t^3\right) = A - 3B t^2.

これを 0 とおいて解きます。 A−3Bt12=0  ⇒  t12=A3B  ⇒  t1=A3B.A - 3B t_1^2 = 0 \;\Rightarrow\; t_1^2 = \frac{A}{3B} \;\Rightarrow\; t_1 = \sqrt{\frac{A}{3B}}.

問3

正しいか誤りか：角加速度ベクトル α⃗\vec{\alpha} が +k^+\hat{k} の方向（上向き）を向いているなら、 物体の回転は必ず速くなっている。

✅ 正解です！ω が下向き（時計回り）で α が上向きなら、回転は遅くなります。ですから、α が上向きでも速くなるとは限りません。

❌ 惜しい！α を ω と比べましょう。ω が下向き（時計回り）で α が上向きなら、物体の回転は遅くなります。

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解答：誤り。

α⃗\vec{\alpha} の向きだけでは、回転が速くなるか遅くなるかは決まりません。 ω⃗\vec{\omega} と比べる必要があります。

  • 物体が反時計回りに回り（ω⃗\vec{\omega} は上向き）、α⃗\vec{\alpha} も上向きなら、2つのベクトルは同じ向き → 速くなる。
  • 物体が時計回りに回り（ω⃗\vec{\omega} は下向き）、α⃗\vec{\alpha} が上向きなら、2つのベクトルは逆向き → 遅くなる。

規則：同じ向きなら速くなり、逆向きなら遅くなります。

問4

質点が静止状態から動き出し、0≤t≤t10 \le t \le t_1 の間、角加速度 αz(t)=b(1−tt1)\alpha_z(t) = b\left(1 - \dfrac{t}{t_1}\right) （b>0b > 0）をもちます。時刻 t1t_1 での角速度 ωz\omega_z はいくらですか？

✅ 正解です！三角形の形をした α_z を [0, t₁] で積分すると b·t₁/2 になります。

❌ 惜しい！α_z を 0 から t₁ まで積分します：∫b(1 − t'/t₁)dt' = b(t₁ − t₁/2) = b·t₁/2。（b·t₁²/3 は角速度ではなく、回った角です。）

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解答：

角速度の変化は、角加速度の積分です。 静止状態から動き出すので ωz(0)=0\omega_z(0) = 0 であり、次のようになります。 ωz(t1)=∫0t1b(1−t′t1)dt′=b(t1−t122t1)=b(t1−t12)=b t12.\omega_z(t_1) = \int_0^{t_1} b\left(1 - \frac{t'}{t_1}\right) dt' = b\left(t_1 - \frac{t_1^2}{2 t_1}\right) = b\left(t_1 - \frac{t_1}{2}\right) = \frac{b\,t_1}{2}.

（図形的に見ると、区間 [0,t1][0, t_1] で bb から 00 まで下がる直線の下の面積は、 三角形の面積 12b t1\tfrac{1}{2} b\, t_1 です。）

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