古典力学 · 第5回 · 動画7 · インタラクティブ教材

半径が動くとき：極座標の速度・加速度とコリオリ項

I重要な公式

平面内の粒子を極座標 $(r, \theta)$ で表し、 $r$ と $\theta$ がどちらも時間とともに変化する場合：

公式	名称	説明
$\vec{v} = \dot{r}\,\hat{r} + r\dot{\theta}\,\hat{\theta}$	速度	動径方向の部分 $\dot{r}$ が、円運動と比べて新しい項
$a_r = \ddot{r} - r\dot{\theta}^2$	動径方向の加速度	外向きの $\ddot{r}$ から向心項 $r\dot{\theta}^2$ を引いたもの
$a_\theta = 2\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta}$	接線加速度	コリオリ項 $+$ 角加速度の項
$a_{\text{cor}} = 2\dot{r}\dot{\theta}$	コリオリ加速度	交差項。半径が動くときにだけ現れる

ここで $\dot{r} = \dfrac{dr}{dt}$ 、 $\ddot{r} = \dfrac{d^2r}{dt^2}$ で、 $\theta$ についても同様です。

IIインタラクティブな可視化

可視化1 — 速度が動径成分をもつ

半径が増えはじめると、速度は接線から外れ、動径成分 $v_r = \dot{r}$ をもつようになります。

半径の変化率 ṙ 1 角の変化率 θ̇ 1.5 半径 r 1.5

可視化2 — らせん運動のコリオリ項

らせん $r = bct^2$ の上で粒子が外へ回っていくとき、 $a_\theta$ のコリオリ項と角加速度の項はどのように増えるでしょうか？

らせん b 1 角 c 0.5 時刻 t 1.0

💡 $a_\theta = 2\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta} = 8bc^2t^2 + 2bc^2t^2 = 10bc^2t^2$ 。接線加速度の $8/10$ を、コリオリ項だけでまかなっています。

可視化3 — 動径方向の加速度が 0 になるとき

同じらせんの上では、 $a_r = 2bc - 4bc^3 t^4$ ははじめ外向きで、やがて中心向きに反転します。0 を横切るのはどこでしょうか？

らせん b 1 角 c 1

III確認クイズ

問1

半径が時間とともに変化する粒子の場合、極座標での速度は $\vec{v} = \dot{r}\,\hat{r} + r\dot{\theta}\,\hat{\theta}$ です。

純粋な円運動には現れない、新しい動径成分はどの項ですか？

✅ 正解です！ $v_r = \dot{r}$ が、円運動に欠けていた動径成分です。

❌ 惜しい！ $\hat{r}$ に沿った部分を探しましょう。接線方向の項 $r\dot\theta$ は、円運動にもすでにありました。

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解答：

純粋な円運動では $r$ は一定なので $\dot{r} = 0$ となり、速度は接線方向だけです： $\vec{v} = r\dot{\theta}\,\hat{\theta}$ 。

半径の変化を許すと、 $\vec{r} = r\,\hat{r}$ に積の微分法則を使って、次が得られます。

$\vec{v} = \dot{r}\,\hat{r} + r\dot{\theta}\,\hat{\theta}.$

まったく新しいのは動径成分 $v_r = \dot{r}$ です。接線成分 $r\dot{\theta}$ は、円運動にもすでにありました。

問2

極座標での動径方向の加速度は $a_r = \ddot{r} - r\dot{\theta}^2$ です。

ある学生が2つ目の項を忘れて、動径方向の加速度を単に $a_r = \ddot{r}$ と書きました。 正しいか誤りか：一定の半径の円の上を（ $\dot{r} = \ddot{r} = 0$ ）一定の $\dot{\theta}$ で動く粒子について、この学生の式は、0 でない正しい向心加速度を与える。

✅ 正解です！落とした $-r\dot\theta^2$ の項こそが向心加速度です。それがないと $a_r = 0$ となり、誤りです。

❌ 惜しい！ $\ddot{r}=0$ なら、式 $a_r=\ddot r$ は 0 を与えます。しかし円を描く粒子には、0 でない向心加速度があります。

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解答：

等速円運動では $\dot{r} = \ddot{r} = 0$ なので、完全な式からは次が得られます。

$a_r = \ddot{r} - r\dot{\theta}^2 = 0 - r\dot{\theta}^2 = -r\dot{\theta}^2,$

これはおなじみの向心加速度です（内向きなので、負の符号がつきます）。

学生の省略した式 $a_r = \ddot{r} = 0$ では、動径方向の加速度は0になってしまい、まったくの誤りです。欠かせない向心項は、まさに学生が落とした $-r\dot{\theta}^2$ の部分です。したがって、この主張は誤りです。

問3

粒子がらせん $r = bc t^2$ に沿って動くので、 $\dot{r} = 2bct$ 、 $\dot{\theta} = 2ct$ です。

$a_{\text{cor}} = 2\dot{r}\dot{\theta}$ を使うと、時間の関数としてのコリオリ加速度はどうなりますか？

✅ 正解です！2·(2bct)·(2ct) = 8bc²t².

❌ 惜しい！a_cor = 2ṙθ̇ = 2·(2bct)·(2ct) だけを使いましょう。rθ̈ の項は足しません。

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解答：

コリオリ加速度は、次の交差項です。

$a_{\text{cor}} = 2\dot{r}\dot{\theta} = 2\,(2bct)\,(2ct) = 8bc^2 t^2.$

よくある間違い：

$10bc^2t^2$ は接線加速度全体 $a_\theta = 2\dot r\dot\theta + r\ddot\theta = 8bc^2t^2 + 2bc^2t^2 $で、余分な$ r\ddot\theta$ の項を含んでいます。
4bc²t² は、コリオリ加速度の定義にある係数 2 を落としています。
2bc²t は $t$ のべきが違います。 $\dot r\dot\theta$ をかけるときに $t$ を1つ落としています。

コリオリ項だけなら 8bc²t² です。

問4

らせんの例では、動径方向の加速度は $a_r = 2bc - 4bc^3 t^4$ です。 $a_r = 0$ とおいて解くと、動径方向の加速度が 0 になる時刻 $t_1$ が得られ、そのときの角は $\theta_1 = c\,t_1^2$ です。

$\theta_1$ の値はいくらで、何によって決まりますか？

✅ 正解です！b も c も打ち消し合い、θ₁ = √2/2 ≈ 0.71 rad が残ります。

❌ 惜しい！t₁ = (1/2c²)^(1/4) を θ₁ = c·t₁² に代入すると、定数がすべて打ち消し合います。

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解答：

$a_r = 0$ とおきます。

$2bc = 4bc^3 t^4 \;\Rightarrow\; t^4 = \frac{1}{2c^2} \;\Rightarrow\; t_1 = \left(\frac{1}{2c^2}\right)^{1/4}.$

因数 $bc$ が打ち消し合うので、 $t_1$ は $c$ だけで決まります。次に角を求めます。

$\theta_1 = c\,t_1^2 = c\left(\frac{1}{2c^2}\right)^{1/2} = c\cdot\frac{1}{c\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.71\ \text{rad}.$

$b$ も $c$ も完全に打ち消し合うので、動径方向の加速度は、いつも同じ角 $\theta_1 = \sqrt{2}/2 \approx 0.71$ rad で 0 になります。2つの定数のどちらにもよりません。

（ $\sqrt{2}/2 \approx 0.707$ は、 $\pi/4 \approx 0.785$ とは異なることに注意しましょう。）

正解数：0 / 4