古典力学 · 第7回 · 動画1 · インタラクティブ教材

フックの法則：一握りのばねが未来を予言する

I重要な公式

公式	名称	説明
$F_x = -kx$	フックの法則	線形の復元力
$\|F\| = k\,\|x\|$	力の大きさ	変位に比例する
$k = -(\text{傾き})$	ばね定数	力–変位グラフ（ $F_x$ 対 $x$ ）から読み取る
$\|a\| = \dfrac{k\,\|\Delta x\|}{m}$	予言される加速度	力の法則 + ニュートンの第二法則

ポイント： $F_x = -kx$ のマイナス符号にすべてが詰まっています。力はいつも物体を $x = 0$ へと引き戻すので、これは復元力です。

II可視化1 — 復元力

ばねの力 $F_x = -kx$ はいつもつり合いの位置へ戻る向きを向き、変位とともに大きくなります。

III可視化2 — 力–変位グラフ

ばねの力–変位グラフは原点を通る直線で、その傾きはちょうど $-k$ です。

💡 チャレンジ：このばねを破線の基準の2倍の硬さ（ $k = 2$ ）にしてみましょう。直線の傾きは2倍急になるはずです。

IV可視化3 — 予言してから測る

力の法則は、加速度を測らなくても、物体の加速度を $|a| = k\,|\Delta x|/m$ と予言します。

|a|

の予想 (m/s²) 4.0

💡 答え合わせ：実際に測った $|a|$ がこの予言と食い違えば、力の法則そのものを修正しなければなりません。モデルはこうして育っていくのです。

V確認クイズ

問1 · 力の法則を使う

条件： $k = 50\ \text{N/m}$ のばねを伸ばし、物体を $x = +0.2\ \text{m}$ の位置に置きます。ばねの力 $F_x$ を求めてください。

✅ 正解です！ 力は

-10\ \text{N}

です。負なので、

x = 0

へ戻る向きを向いています。

❌ 符号を確かめてください。 伸びた状態（

x > 0

）では復元力は

-x

方向を向くので、

F_x

は負です。

❌ 惜しい！ 割るのではなく掛けます：

F_x = -kx = -(50)(0.2)

。

解答を見る

$k = 50\ \text{N/m}$ 、 $x = +0.2\ \text{m}$ として、フックの法則をそのまま使います：

F_x = -kx = -(50)(0.2) = -10\ \text{N}

マイナス符号は、力が $-x$ 方向、つまりつり合いの位置へ戻る向きを向いていることを表します。だからこそ、これは復元力なのです。

問2 · 縮みと符号

条件： $k = 40\ \text{N/m}$ のばねを縮め、物体を $x = -0.3\ \text{m}$ の位置に置きます。 $F_x$ を求めてください。⚠️ マイナスが2つ重なることに注意！

✅ 正解です！ 縮んだばねは物体を

+x

方向、つまりつり合いの位置へ戻る向きに押します。

❌ 惜しい！符号に注意してください。 負と負を掛けると正になります：

-k\cdot(-0.3) = +

。

❌ 惜しい！ 小数点の位置に注意：

(40)(0.3) = 12

で、

120

ではありません。

解答を見る

$k = 40\ \text{N/m}$ 、 $x = -0.3\ \text{m}$ のとき：

F_x = -kx = -(40)(-0.3) = +12\ \text{N}

2つのマイナス符号が組み合わさってプラスになります。縮んだばねは外向き、つまり $+x$ 方向に押します。これもやはり $x = 0$ へ戻る向きです。

問3 · 加速度を予言する

条件： $k = 60\ \text{N/m}$ のばねに質量 $m = 3\ \text{kg}$ の物体がつながれ、 $\Delta x = 0.5\ \text{m}$ だけ伸ばされています。力の法則だけを使って、手を放した瞬間の力の大きさと加速度を予言してください。

力の大きさ $|F|$ はいくらですか？

加速度 $|a|$ はいくらですか？

✅ 正解です！ 加速度を測らずに、法則だけから

|a| = 10\ \text{m/s}^2

を予言できました。

❌ 力を確かめてください。 2つの因数を両方使います：

|F| = k\,|\Delta x| = (60)(0.5)

。

❌ 加速度を確かめてください。 ニュートンの第二法則では質量で割ります：

|a| = |F|/m

。

解答を見る

ステップ1 — 法則から力を求める（加速度は測らない）：

|F| = k\,|\Delta x| = (60)(0.5) = 30\ \text{N}

ステップ2 — ニュートンの第二法則から加速度を求める：

|a| = \frac{|F|}{m} = \frac{30}{3} = 10\ \text{m/s}^2

これがニュートン的帰納の成果です。力の法則があれば、装置に触れる前に加速度を予言できます。

問4 · 初張力のあるばね

条件： きつく巻かれたばねは、しきい値の力 $F_0 = 4\ \text{N}$ を加えるまで伸び始めません。そのため $x > 0$ では、法則は $F_x = -F_0 - kx$ になります。 $k = 20\ \text{N/m}$ のとき、 $x = +0.5\ \text{m}$ での $F_x$ を求めてください。

✅ 正解です！ 初張力が、ふつうの

-kx = -10\ \text{N}

に一定の

4\ \text{N}

を上乗せします。

❌ 初張力を落とさないでください。 伸びた状態での法則は、

-kx

だけではなく

F_x = -F_0 - kx

です。

❌ 惜しい！ 2つの項と2つのマイナス符号を、どちらも残します：

-(4) - (20)(0.5)

。

解答を見る

伸びた状態（ $x > 0$ ）では、初張力のある法則にしきい値 $F_0$ が加わります：

F_x = -F_0 - kx = -(4) - (20)(0.5) = -4 - 10 = -14\ \text{N}

初張力 $F_0$ は、ふつうの $-kx$ の直線を一定量だけ下へずらします。グラフはもう原点を通りません。 $F_0$ も $k$ も、実験で決まります。

正解数：0 / 4