古典力学 · 第7回 · 動画3 · インタラクティブ教材

電荷とクーロンの法則、そしてすべての力に潜む対称性

I重要な公式

公式名称説明
F⃗1,2 E=ke q1q2r1,22 r^1,2\vec{F}^{\,E}_{1,2} = k_e\,\dfrac{q_1 q_2}{r_{1,2}^{2}}\,\hat{r}_{1,2}クーロンの法則電荷1が電荷2におよぼす電気力
ke=8.9875×109 N m2/C2k_e = 8.9875\times10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}クーロン定数電気力の強さを決める
Q=n e,e=1.602×10−19 CQ = n\,e,\quad e = 1.602\times10^{-19}\ \mathrm{C}電荷の量子化電荷は ee の整数倍で、全電荷は保存される
r^2,1=−r^1,2\hat{r}_{2,1} = -\hat{r}_{1,2}第三法則の対称性ラベルを入れ替えると、単位ベクトルだけが反転する

ポイント： クーロンの法則には、前にマイナス符号がついていません。向きの情報はすべて積 q1q2q_1 q_2 の中にあります。同種の電荷（q1q2>0q_1 q_2 > 0）は反発し、異種の電荷（q1q2<0q_1 q_2 < 0）は引き合います。

II量子化と保存

電子を移すと、それぞれの物体の電荷は ee を単位として整数個ずつ変わりますが、全電荷は一定のままです。

IIIクーロンの法則：符号と距離

q1q2q_1 q_2 の符号が力の向きを決め、距離 rr が力の大きさを決めます。

💡 チャレンジ：2つの符号を固定したまま、∣F∣|F| を4倍にするには rr をどこまで縮めればよいか求めてみましょう。

IVどの力も大きさが等しく向きが反対の対になる理由

ラベルを 1↔21 \leftrightarrow 2 と入れ替えても、変わる量は一つだけです。単位ベクトルが反転するのです。

ステップ1 — 物体2が受ける力
F⃗1,2 E=ke q1q2r1,22 r^1,2\vec{F}^{\,E}_{1,2} = k_e\,\frac{q_1 q_2}{r_{1,2}^{2}}\,\hat{r}_{1,2}
ステップ2 — ラベルを 1↔21 \leftrightarrow 2 と入れ替えて、物体1が受ける力を得る
F⃗2,1 E=ke q2q1r2,12 r^2,1\vec{F}^{\,E}_{2,1} = k_e\,\frac{q_2 q_1}{r_{2,1}^{2}}\,\hat{r}_{2,1}
ステップ3 — 項ごとに比べる
q2q1=q1q2q_2 q_1 = q_1 q_2  （変わらない）
r2,1=r1,2r_{2,1} = r_{1,2}  （変わらない）
r^2,1=−r^1,2\hat{r}_{2,1} = -\hat{r}_{1,2}  （反転するのはこれだけ）
ステップ4 — 代入する
F⃗2,1 E=ke q1q2r1,22 (−r^1,2)=− F⃗1,2 E\vec{F}^{\,E}_{2,1} = k_e\,\frac{q_1 q_2}{r_{1,2}^{2}}\,\big(-\hat{r}_{1,2}\big) = -\,\vec{F}^{\,E}_{1,2}
ステップ5 — ニュートンの第三法則
F⃗2,1 E=− F⃗1,2 E ✓\vec{F}^{\,E}_{2,1} = -\,\vec{F}^{\,E}_{1,2}\ \checkmark
大きさが等しく、向きが反対。

💡 重力でもまったく同じ議論が成り立ちます。ラベルを入れ替えると r^\hat{r} だけが反転するので、やはり F⃗2,1 G=−F⃗1,2 G\vec{F}^{\,G}_{2,1} = -\vec{F}^{\,G}_{1,2} です。

V確認クイズ

問1 · 力を計算する

条件： q1=+3.0 μCq_1 = +3.0\ \mu\mathrm{C} と q2=+2.0 μCq_2 = +2.0\ \mu\mathrm{C} が、距離 r=0.20 mr = 0.20\ \mathrm{m} だけ離れています。電気力の大きさを求めてください。

✅ 正解です！ F=keq1q2/r2=(8.9875×109)(3.0×10−6)(2.0×10−6)/(0.20)2=1.35 NF = k_e q_1 q_2 / r^2 = (8.9875\times10^{9})(3.0\times10^{-6})(2.0\times10^{-6})/(0.20)^2 = 1.35\ \mathrm{N} です。
❌ 惜しい！rr の指数を確かめてください。 r2r^2 ではなく rr で割っています。(0.20)2=0.04(0.20)^2 = 0.04 で、0.200.20 ではありません。
❌ 惜しい！ SI 単位で計算します。1 μC=10−6 C1\ \mu\mathrm{C} = 10^{-6}\ \mathrm{C}、rr はメートルで表し、F=keq1q2/r2F = k_e q_1 q_2 / r^2 を使います。
解答を見る

SI 単位に直して、クーロンの法則を使います：

F=ke q1q2r2=(8.9875×109) (3.0×10−6)(2.0×10−6)(0.20)2F = k_e\,\frac{q_1 q_2}{r^2} = (8.9875\times10^{9})\,\frac{(3.0\times10^{-6})(2.0\times10^{-6})}{(0.20)^2} =(8.9875×109) 6.0×10−120.04=1.35 N= (8.9875\times10^{9})\,\frac{6.0\times10^{-12}}{0.04} = 1.35\ \mathrm{N}

分子は keq1q2=5.39×10−2k_e q_1 q_2 = 5.39\times10^{-2} で、これを r2=0.04r^2 = 0.04 で割ると 1.35 N\mathbf{1.35\ \mathrm{N}} になります。最もよくある間違いは、r2=0.04r^2 = 0.04 ではなく r=0.20r = 0.20 で割ってしまうことで、そうすると 0.27 N0.27\ \mathrm{N} になります。

問2 · 力はどちらを向くか

条件： 2つの電荷 q1=−4 μCq_1 = -4\ \mu\mathrm{C} と q2=−4 μCq_2 = -4\ \mu\mathrm{C} があります。両者の間の力は引力ですか、斥力ですか？

✅ 正解です！ q1q2=(−4)(−4)=+16>0q_1 q_2 = (-4)(-4) = +16 > 0 なので、電荷は反発します。同種の電荷はいつも押し離し合います。
❌ 符号に注意してください。 負どうしの積は正です：(−)(−)=+(-)(-) = +。したがって q1q2>0q_1 q_2 > 0 で、力は斥力です。
❌ 惜しい！ 同種の電荷（同じ符号）は反発し、引き合うのは符号が異なる場合だけです。電気力は押すことも引くこともできるのです。
解答を見る

クーロン力の向きは、積 q1q2q_1 q_2 の符号が担っています：

q1q2=(−4 μC)(−4 μC)=+16 (μC)2>0q_1 q_2 = (-4\ \mu\mathrm{C})(-4\ \mu\mathrm{C}) = +16\ (\mu\mathrm{C})^2 > 0

積が正なら、力は +r^1,2+\hat{r}_{1,2} の向き、つまり相手の電荷から離れる向きを向きます。2つの電荷は反発し合います。いつも引力である重力と違い、電気力は引力にも斥力にもなり、ここでは同種の電荷どうしが反発します。

問3 · 逆二乗による変化

条件： 2つの電荷が、距離 rr で大きさ FF の力を受けています。電荷はそのままで、距離を 3r3r に広げます。新しい力の大きさはいくらですか？

✅ 正解です！ F∝1/r2F \propto 1/r^2 なので、rr を3倍にすると力は 32=93^2 = 9 で割られます。
❌ あと一歩！ 法則は 1/r1/r ではなく逆二乗です。分母は r2r^2 なので、因子は 32=93^2 = 9 となり、F/9F/9 になります。
❌ 惜しい！ 電荷を離すと力は弱まり、その大きさは 1/r21/r^2 に比例します。
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電荷を固定すると、力は 1/r21/r^2 を通じて距離だけで決まります：

F新F=1/(3r)21/r2=r29r2=19\frac{F_{\text{新}}}{F} = \frac{1/(3r)^2}{1/r^2} = \frac{r^2}{9r^2} = \frac{1}{9}

したがって F新=F9F_{\text{新}} = \dfrac{F}{9} です。距離を2倍にするたびに力は4分の1になり、3倍にすると9分の1になります。

問4 · 大きさが等しく向きが反対（動画の例題8.1）

条件： 小さな電荷 q1=+1 μCq_1 = +1\ \mu\mathrm{C} が、それよりずっと大きな電荷 q2=+9 μCq_2 = +9\ \mu\mathrm{C} から距離 rr の位置にあります。それぞれが受ける電気力の大きさを比べてください。

✅ 正解です！ どちらの力も keq1q2/r2k_e q_1 q_2 / r^2 で、同じ積 q1q2q_1 q_2 を含みます。だから大きさが等しく、向きが反対です。ニュートンの第三法則です。
❌ 個々の電荷ではありません。 どちらの力も、片方の電荷だけではなく、同じ積 q1q2q_1 q_2 で決まります。小さな電荷も、まったく同じ大きさの力を受けます。
❌ 惜しい！ クーロンの法則は2つの電荷について対称なので、2つの大きさはいつも等しくなります（ニュートンの第三法則）。
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クーロンの法則から、両方の力を書きます：

∣F⃗1,2 E∣=ke q1q2r2,∣F⃗2,1 E∣=ke q2q1r2\big|\vec{F}^{\,E}_{1,2}\big| = k_e\,\frac{q_1 q_2}{r^2}, \qquad \big|\vec{F}^{\,E}_{2,1}\big| = k_e\,\frac{q_2 q_1}{r^2}

q2q1=q1q2q_2 q_1 = q_1 q_2 で、距離 rr もどちらも同じなので、2つの大きさは一致します。q2q_2 がどれだけ大きくてもそうなのです。ラベルを入れ替えると単位ベクトルだけが反転する（r^2,1=−r^1,2\hat{r}_{2,1} = -\hat{r}_{1,2}）ので、向きは反対です：

F⃗2,1 E=− F⃗1,2 E\vec{F}^{\,E}_{2,1} = -\,\vec{F}^{\,E}_{1,2}

これはまさにニュートンの第三法則で、法則の形そのものに組み込まれています。

正解数：0 / 4