古典力学 · 第8回 · 動画3 · インタラクティブ教材

自由物体図：どの力を考えるべきかを決める

I重要な公式

公式名称説明
F⃗=F⃗1+F⃗2+⋯\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \cdots合力系にはたらくすべての力のベクトル和
F⃗=Fx ı^+Fy ȷ^+Fz k^\vec{F} = F_x\,\hat{\imath} + F_y\,\hat{\jmath} + F_z\,\hat{k}直交座標成分合力を各軸の成分に分解する
Fx=F1,x+F2,x+⋯F_x = F_{1,x} + F_{2,x} + \cdots成分ごとの和各成分はそれぞれ独立に足し合わされる

ポイント：自由物体図（フリーボディ・ダイアグラム）には、系にはたらく力だけを描きます。系がほかのものにおよぼす力は決して描きません。

IIベクトル和としての合力

系にはたらく二つの力は、先端と始点をつないで一つの合力になります。大きさは一般には単純に足せません。

💡 チャレンジ：合力がゼロになるように二つの力を配置してください。そのとき系はつり合いの状態にあります。

III力を成分に分解する

どの力も各軸に垂直な影を落とします：F⃗=Fx ı^+Fy ȷ^\vec{F} = F_x\,\hat{\imath} + F_y\,\hat{\jmath}、ここで Fx=∣F⃗∣cos⁡θF_x = |\vec{F}|\cos\theta、Fy=∣F⃗∣sin⁡θF_y = |\vec{F}|\sin\theta です。

💡 それぞれの成分も、それ自体が和です：Fx=F1,x+F2,x+⋯F_x = F_{1,x} + F_{2,x} + \cdots。整理は図がやってくれます。軸ごとに一つずつ足せばよいのです。

IVどの力をモデルに入れるか

モデルは選択です。重要な力は取り入れ、小さくて計算も厄介な力は省きます。

💡 物体が動けば、必ず何らかの摩擦があります。問題は、モデルでそれを無視してよいかどうかだけです。

V確認クイズ

問1 · 力を足し合わせる

条件： 系に二つの力 F⃗1=(3, −2)\vec{F}_1 = (3,\,-2) N と F⃗2=(−1, 5)\vec{F}_2 = (-1,\,5) N がはたらいています。合力 F⃗\vec{F} を求めてください。

✅ 正解です！ 成分を符号ごと足します：3+(−1)=23 + (-1) = 2、−2+5=3-2 + 5 = 3。
❌ 符号に注意してください。 大きさを足してしまっています。成分には符号があるので、44 ではなく 3+(−1)=23 + (-1) = 2 です。
❌ 惜しい！ 二つのベクトルを、すべての符号を保ったまま成分ごとに足してください。
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ベクトルは成分ごとに足し合わせます：

F⃗=F⃗1+F⃗2=(3+(−1), −2+5)=(2, 3) N\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = (3 + (-1),\ -2 + 5) = (2,\,3)\text{ N}

合力は (2, 3)(2,\,3) N です。xx 成分を合わせると 22、yy 成分を合わせると 33 になります。

問2 · 大きさは足せない

条件： F⃗1\vec{F}_1 は東向きで大きさ 33 N、F⃗2\vec{F}_2 は北向きで大きさ 44 N です。合力の大きさ ∣F⃗∣|\vec{F}| を求めてください。⚠️ 向きが重要です！

✅ 正解です！ 垂直な二つの力は三平方の定理で合成されます：32+42=5\sqrt{3^2 + 4^2} = 5 N。
❌ 惜しい！それは 3+43 + 4 です。 大きさをそのまま足せるのは、力が平行なときだけです。ここでは二つの力は垂直です。
❌ 惜しい！ 二つの力は直角をなしています。∣F⃗∣=Fx2+Fy2|\vec{F}| = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} を使ってください。
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東と北は垂直なので、成分は Fx=3F_x = 3 N、Fy=4F_y = 4 N です：

∣F⃗∣=Fx2+Fy2=32+42=9+16=25=5 N|\vec{F}| = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\text{ N}

大きさを足す（3+4=73 + 4 = 7）のが正しいのは、二つの力が同じ向きを向いているときだけです。

問3 · 成分に分解する

条件： 大きさ ∣F⃗∣=10|\vec{F}| = 10 N の力が、+x+x 軸から上に θ=30°\theta = 30\degree の向きにはたらいています。FxF_x と FyF_y を求めてください。

FxF_x はいくらでしょうか。

FyF_y はいくらでしょうか。

✅ 正解です！ Fx=10cos⁡30°≈8.66F_x = 10\cos 30\degree \approx 8.66 N、Fy=10sin⁡30°=5F_y = 10\sin 30\degree = 5 N です。
❌ 水平の辺を確かめてください。 xx 成分にはコサインを使います：Fx=∣F⃗∣cos⁡θF_x = |\vec{F}|\cos\theta。
❌ 鉛直の辺を確かめてください。 yy 成分にはサインを使います：Fy=∣F⃗∣sin⁡θF_y = |\vec{F}|\sin\theta。
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F⃗\vec{F} の先端から各軸に垂線を下ろします：

Fx=∣F⃗∣cos⁡θ=10cos⁡30°=10⋅32≈8.66 NF_x = |\vec{F}|\cos\theta = 10\cos 30\degree = 10 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 8.66\text{ N} Fy=∣F⃗∣sin⁡θ=10sin⁡30°=10⋅12=5 NF_y = |\vec{F}|\sin\theta = 10\sin 30\degree = 10 \cdot \tfrac{1}{2} = 5\text{ N}

サインとコサインの取り違えは典型的なミスです。コサインは、角度を測り始める軸の成分に対応します。

問4 · モデルを作る

条件： 金属のブロックを手で押して、粗い机の上をすべらせます。実用的なモデルとして最もよいのはどの力の組でしょうか。

✅ 正解です！ 欠かせない力に面の摩擦力を加えたものです。摩擦力は式が単純なので残せますし、小さくて厄介な効果は省いています。
❌ 少なすぎます。 ここでは面の摩擦力はふつう無視できない大きさで、しかも式が単純です。省くと予測が外れます。
❌ 多すぎます。 磁気をおびたものは何もなく、空気抵抗は小さいのに扱いが厄介です。これらを入れても得るものはなく、数学的に手に負えなくなるだけです。
❌ 惜しい！ 重力と垂直抗力は欠かせません。どちらかを省くとモデルが成り立たなくなります。
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欠かせない力は残す：重力、机からの垂直抗力、加えた押す力は、どれも明らかにはたらいていて、どれも重要です。

面の摩擦力も残す：粗い机の上では無視できない大きさで、しかも式が単純です。だから取り入れます。

小さくて厄介なものは省く：ここでは空気抵抗はたいてい無視でき、その数学は厄介です。磁気力はそもそもはたらいていません。

最もよいモデル：重力、垂直抗力、加えた押す力、面の摩擦力。取り入れる力が少なすぎれば予測が外れ、多すぎれば数学的に手に負えなくなります。

正解数：0 / 4