古典力学 · 第8回 · 動画4 · インタラクティブ教材

ロープの張力：質量のあるロープでは張力が一様でないのはなぜか

I重要な公式

公式	意味	適用対象
$T(x) = \lvert F_{R,L}(x)\rvert = \lvert F_{L,R}(x)\rvert$	張力 = 切り口での作用・反作用の対の大きさ	あらゆるロープ
$T = F_A$	一様な張力で、加える引く力に等しい	質量の無視できるロープ（軽いロープ）
$T(x) = \mu_k m_1 g + \left(m_1 + \dfrac{m_2}{d}\,x\right)A$	ブロックから距離 $x$ の点での張力	質量のあるロープ
$F_A - \mu_k m_1 g = (m_1 + m_2)\,A$	ブロック + ロープ全体にニュートンの第二法則	検算

ポイント：切り口での張力には二つの仕事があります。ブロックの摩擦に打ち勝つことと、切り口より左にあるもの全部（ブロックと、切り口の後ろのロープ）を加速させることです。ですから $T$ はブロックのところで最も小さく、手のところで最も大きくなり、そこでは $F_A$ に等しくなります。

II可視化1 — 切り口をロープに沿ってずらす

ブロックから距離 $x$ のどの切り口でも、張力は二つの部分が互いに引き合う力の大きさに等しくなります。

💡 質量の無視できるロープ（ $m_2 = 0$ ）では、どの切り口でも同じ値になります。張力は一様で、加える引く力 $F_A$ に等しくなります。

III可視化2 — ロープの質量が増え方を決める

ロープが重いほど、張力はブロックから手に向かって急に増えていきます。

ロープの質量 (m₂) 1

IV確認クイズ

問1 · 質量の無視できるロープ

条件： 質量の無視できるロープで、ざらざらした床の上のブロックを $F_A = 20\text{ N}$ の力で引きずります。ロープの中央での張力を求めてください。

✅ 正解です！ 質量の無視できるロープは引く力を少しも減らさずに伝えるので、どこでも

T = F_A = 20\text{ N}

です。

❌ 惜しい！摩擦がはたらくのはブロックで、ロープの内部ではありません。 ロープの質量が 0 なら、引く力はそのまま伝わります。

T = F_A = 20\text{ N}

です。

❌ 惜しい！ 質量の無視できるロープでは両端の張力が等しく、その値は加える引く力に等しくなります。

解答を見る

ロープのどの一切れにニュートンの第二法則を当てはめても、右辺は質量 $\times$ 加速度です。質量の無視できるロープではこの項が 0 なので、水平な力はつり合い、張力はどの切り口でも同じになります。

T = F_A = 20\text{ N}

摩擦がはたらくのはブロックで、ロープの内部ではないので、ロープの張力を減らすことはありません。

問2 · 張力が最も大きいのはどこか

条件： ブロックに結んだ質量のある一様なロープを引き、系全体が加速しています。ロープのどこで張力が最も大きくなるかを答えてください。

✅ 正解です！

T(x)

は

x

とともに大きくなるので、手のところで最大になり、そこで

T = F_A

です。

❌ それが成り立つのは質量の無視できるロープだけです。 ロープに本物の質量があると、切り口が手に近づくほど張力が加速させるロープが増えるので、張力は一様ではありません。

❌ 惜しい！ 切り口での張力は、その左にあるもの全部を加速させなければならず、それは切り口が手に近づくほど増えていきます。

解答を見る

ブロックから距離 $x$ の点での張力は

T(x) = \mu_k m_1 g + \left(m_1 + \frac{m_2}{d}\,x\right)A,

で、 $x$ とともに増加します。切り口がブロックから遠いほど、その左にあって張力が加速させるべきロープが多くなります。ですから $T$ はブロックのところ（ $x=0$ ）で最も小さく、手のところ（ $x=d$ ）で最も大きくなり、そこでは加える引く力 $F_A$ に等しくなります。

問3 · 両端での張力

条件： $m_1 = 2\text{ kg}$ 、ロープの質量 $m_2 = 1\text{ kg}$ 、長さ $d = 2\text{ m}$ 、 $\mu_k = 0.5$ 、 $g = 10\text{ m/s}^2$ で、系は加速度 $A = 4\text{ m/s}^2$ で加速しています。

ブロック側の端での張力 $T(0)$ は？

手の側の端での張力 $T(d)$ は？

✅ 正解です！

T

はブロックでの

18\text{ N}

から手での

22\text{ N}

まで、

4\text{ N}

増えます。

❌ それは手の側の端での $T(d)$ です。 ブロックのところでは切り口の後ろにロープがないので、

T(0) = \mu_k m_1 g + m_1 A

です。

❌ $T(0)$ を確かめてください。 ブロックのところでは、張力は摩擦に打ち勝ち、ブロックだけを加速させます。

T(0) = \mu_k m_1 g + m_1 A

です。

❌ $T(d)$ を確かめてください。 手のところでは、張力は摩擦に打ち勝ち、ブロック + ロープ全体を加速させます。

T(d) = \mu_k m_1 g + (m_1 + m_2)A

です。

解答を見る

ブロックにはたらく動摩擦は

f = \mu_k m_1 g = 0.5 \times 2 \times 10 = 10\text{ N}.

ブロック側の端（ $x = 0$ 、切り口の後ろにロープはない）：

T(0) = f + m_1 A = 10 + 2(4) = 18\text{ N}.

手の側の端（ $x = d$ 、ロープ全体が切り口の後ろにある）：

T(d) = f + (m_1 + m_2)A = 10 + (3)(4) = 22\text{ N},

これは加える引く力 $F_A$ にも等しくなります。

問4 · 張力の差

条件： 質量 $m_2 = 0.5\text{ kg}$ の一様なロープでブロックを引きずり、系全体が加速度 $A = 4\text{ m/s}^2$ で加速しています（ $g = 10\text{ m/s}^2$ とします）。引いている端の張力は、ブロック側の端の張力よりどれだけ大きいかを求めてください。

✅ 正解です！ 差はちょうどロープを加速させるのに必要な力です。

\Delta T = m_2 A = 2\text{ N}

です。

❌ 惜しい！それはロープの重さ $m_2 g = 5\text{ N}$ です。 差はロープを支えることではなく、加速させることから生じます。

\Delta T = m_2 A

です。

❌ 実はそれらは打ち消し合います。

\mu_k m_1 g

と

m_1 A

は両方の端に現れるので、引き算で消え、ロープ自身の質量だけが残ります。

\Delta T = m_2 A

です。

❌ 0 になるのは質量の無視できる場合です。 質量のあるロープが加速していれば、必ず

\Delta T = m_2 A > 0

です。

解答を見る

両端の張力の差をとります。

\Delta T = T(d) - T(0) = \big[\mu_k m_1 g + (m_1 + m_2)A\big] - \big[\mu_k m_1 g + m_1 A\big].

摩擦の項 $\mu_k m_1 g$ とブロックの慣性の項 $m_1 A$ は両端で同じなので打ち消し合い、ロープ自身の慣性だけが残ります。

\Delta T = m_2 A = 0.5 \times 4 = 2\text{ N}.

注目すべきことに、この差は $m_1$ 、 $\mu_k$ 、 $g$ によりません。

正解数：0 / 4