古典力学 · 第9回 · 動画1 · インタラクティブ教材

階段の問題：着地点から逆算してすべった距離を求める

I重要な公式

公式段階わかること
ax=−μkga_x = -\mu_k g摩擦のある床をすべる床の上での減速
s=v02−vx,122μkgs = \dfrac{v_0^2 - v_{x,1}^2}{2\mu_k g}摩擦のある床をすべる飛び出す速さから求めるすべった距離
vx,12=3gd22hv_{x,1}^2 = \dfrac{3 g d^2}{2h}自由落下着地点から求める飛び出す速さ
s= v02−3gd22h 2μkgs = \dfrac{\,v_0^2 - \dfrac{3 g d^2}{2h}\,}{2\mu_k g}組み合わせすべてを与えられた量だけで表す

ポイント：二つの段階に共通する未知数はただ一つ、飛び出す速さです。着地点の幾何学的な位置関係がこの速さを決め、その速さからすべった距離がわかります。

II階段からの自由落下

水平に飛び出すと vxv_x は一定のまま、重力が vyv_y を大きくしていき、軌道は曲がって3段目に達します。

IIIどれだけすべるか

すべる距離は最初の速さ v0v_0 とともに長くなり、摩擦 μk\mu_k が大きくなると短くなります。

💡 ss のどこにも質量は現れません。同じ床の上なら、重いブロックも軽いブロックもまったく同じ距離だけすべります。

IV二つの段階、一つの未知数

飛び出す速さこそ、二つの段階が共有するただ一つの未知数です。

第1段階 — 摩擦のある床をすべる
ax=−μkg  ⇒  s=v02−vx,122μkga_x = -\mu_k g \;\Rightarrow\; s = \frac{v_0^2 - v_{x,1}^2}{2\mu_k g}
飛び出す速さ vx,1v_{x,1} はまだ未知
第2段階 — 自由落下
3d=vx,1 t2,3h=12g t223d = v_{x,1}\,t_2, \qquad 3h = \tfrac{1}{2} g\,t_2^2
⇒  vx,12=3gd22h\Rightarrow\; v_{x,1}^2 = \frac{3 g d^2}{2h}
代入して組み合わせる
s= v02−3gd22h 2μkgs = \frac{\,v_0^2 - \dfrac{3 g d^2}{2h}\,}{2\mu_k g}
筋は通っているか
質量は消える   ⋅  \;\cdot\; ss は v02v_0^2 とともに増える   ⋅  \;\cdot\; ss は μk\mu_k とともに減る

V確認クイズ

問1 · 床の上での加速度

条件： ブロックが、動摩擦係数 μk=0.5\mu_k = 0.5 の水平な床の上をすべっています。g=9.8 m/s2g = 9.8\ \text{m/s}^2 とします。水平方向の加速度 axa_x を求めてください。

✅ 正解です！ ax=−μkg=−(0.5)(9.8)=−4.9 m/s2a_x = -\mu_k g = -(0.5)(9.8) = -4.9\ \text{m/s}^2 で、質量は約分されて消えます。
❌ 惜しい！ それは −g-g だけです。摩擦力は fk=μkN=μkmgf_k = \mu_k N = \mu_k m g なので、−g-g ではなく ax=−μkga_x = -\mu_k g です。
❌ 惜しい！ xx 方向のニュートンの第二法則は −μkmg=max⇒ax=−μkg-\mu_k m g = m a_x \Rightarrow a_x = -\mu_k g です。
解答を見る

ブロックは床から離れないので、鉛直方向は N−mg=0⇒N=mgN - mg = 0 \Rightarrow N = mg です。動摩擦力は fk=μkN=μkmgf_k = \mu_k N = \mu_k m g で、後ろ向きにはたらきます。

−fk=max  ⇒  −μkmg=max  ⇒  ax=−μkg=−(0.5)(9.8)=−4.9 m/s2-f_k = m a_x \;\Rightarrow\; -\mu_k m g = m a_x \;\Rightarrow\; a_x = -\mu_k g = -(0.5)(9.8) = -4.9\ \text{m/s}^2

摩擦は運動を妨げるので負になります。質量は約分されて消えます。

問2 · 着地点から飛び出す速さを求める

条件： ブロックが3段の階段（各段の高さ h=0.5 mh = 0.5\ \text{m}、奥行き d=1.0 md = 1.0\ \text{m}）のいちばん上から水平に飛び出し、3段目の奥の端 (3d, −3h)(3d,\,-3h) に着地します。g=9.8 m/s2g = 9.8\ \text{m/s}^2 とします。飛び出す速さ vx,1v_{x,1} を求めてください。

✅ 正解です！ vx,12=3gd22h=3(9.8)(1.0)22(0.5)=29.4v_{x,1}^2 = \dfrac{3gd^2}{2h} = \dfrac{3(9.8)(1.0)^2}{2(0.5)} = 29.4 なので、vx,1=5.42 m/sv_{x,1} = 5.42\ \text{m/s} です。
❌ それは1段分です。 v2=gd22hv^2 = \dfrac{gd^2}{2h} を使っています。ブロックは3段を越えるので、水平・鉛直の変位はそれぞれ 3d3d と 3h3h になり、3gd22h\dfrac{3gd^2}{2h} が得られます。
❌ 落下を確かめましょう。 落ちる高さは 3h=12gt223h = \tfrac{1}{2} g t_2^2 で、12\tfrac{1}{2} を落としてはいけません。落とすと 3gd2h\dfrac{3gd^2}{h} となり、大きすぎます。
❌ 惜しい！ 3d=vx,1t23d = v_{x,1}t_2 と 3h=12gt223h = \tfrac{1}{2} g t_2^2 から t2t_2 を消去します。
解答を見る

水平方向：3d=vx,1t2⇒t2=3dvx,13d = v_{x,1} t_2 \Rightarrow t_2 = \dfrac{3d}{v_{x,1}}。鉛直方向：3h=12gt223h = \tfrac{1}{2} g t_2^2。

3h=12g(3dvx,1)2=9gd22vx,12  ⇒  vx,12=9gd26h=3gd22h3h = \tfrac{1}{2} g\left(\frac{3d}{v_{x,1}}\right)^2 = \frac{9 g d^2}{2 v_{x,1}^2} \;\Rightarrow\; v_{x,1}^2 = \frac{9 g d^2}{6 h} = \frac{3 g d^2}{2h} vx,12=3(9.8)(1.0)22(0.5)=29.4  ⇒  vx,1=5.42 m/sv_{x,1}^2 = \frac{3(9.8)(1.0)^2}{2(0.5)} = 29.4 \;\Rightarrow\; v_{x,1} = 5.42\ \text{m/s}

問3 · 二つの段階を組み合わせる

条件： v0=8 m/sv_0 = 8\ \text{m/s}、μk=0.3\mu_k = 0.3、h=0.5 mh = 0.5\ \text{m}、d=1.0 md = 1.0\ \text{m}、g=9.8 m/s2g = 9.8\ \text{m/s}^2 のとき、飛び出す速さの2乗 vx,12v_{x,1}^2 とすべった距離 ss を求めてください。

vx,12v_{x,1}^2 はいくらですか？

ss はいくらですか？

✅ 正解です！ vx,12=29.4v_{x,1}^2 = 29.4、そして s=64−29.42(0.3)(9.8)=34.65.88=5.88 ms = \dfrac{64 - 29.4}{2(0.3)(9.8)} = \dfrac{34.6}{5.88} = 5.88\ \text{m} です。
❌ vx,12v_{x,1}^2 を確かめましょう。 vx,12=3gd22h=3(9.8)(1.0)22(0.5)=29.4v_{x,1}^2 = \dfrac{3gd^2}{2h} = \dfrac{3(9.8)(1.0)^2}{2(0.5)} = 29.4.
❌ ss を確かめましょう。 まず飛び出す速さの項を引き、それから 2μkg2\mu_k g で割ります：s=v02−vx,122μkgs = \dfrac{v_0^2 - v_{x,1}^2}{2\mu_k g}。
解答を見る

飛び出す速さ： vx,12=3gd22h=3(9.8)(1.0)22(0.5)=29.4 m2/s2v_{x,1}^2 = \dfrac{3gd^2}{2h} = \dfrac{3(9.8)(1.0)^2}{2(0.5)} = 29.4\ \text{m}^2/\text{s}^2.

すべった距離：

s=v02−vx,122μkg=82−29.42(0.3)(9.8)=64−29.45.88=34.65.88=5.88 ms = \frac{v_0^2 - v_{x,1}^2}{2\mu_k g} = \frac{8^2 - 29.4}{2(0.3)(9.8)} = \frac{64 - 29.4}{5.88} = \frac{34.6}{5.88} = 5.88\ \text{m}

よくある間違い：vx,12v_{x,1}^2 を引き忘れると 64/5.88=10.964/5.88 = 10.9、係数 22 を落とすと 34.6/2.94=11.834.6/2.94 = 11.8、μk\mu_k を2倍にしてしまうと 34.6/11.76=2.9434.6/11.76 = 2.94 になります。

問4 · 重いブロックと軽いブロック

条件： 2つのブロックが同じ床（同じ μk\mu_k）の上を同じ v0v_0 ですべり始め、同じ階段から飛び出します。ブロックBの質量はブロックAの2倍です。床の端までに長くすべるのはどちらですか？

✅ 正解です！ s=v02−3gd2/(2h)2μkgs = \dfrac{v_0^2 - 3gd^2/(2h)}{2\mu_k g} には質量が含まれません。質量は約分されて消えるので、どちらも同じ距離だけすべります。
❌ 質量は消えます。 摩擦力は質量に比例しますが（fk=μkmgf_k = \mu_k m g）、慣性（maxm a_x）も質量に比例します。その結果 ax=−μkga_x = -\mu_k g は質量を含まず、ss も同様です。
❌ 惜しい！ s=v02−3gd2/(2h)2μkgs = \dfrac{v_0^2 - 3gd^2/(2h)}{2\mu_k g} の中に mm を探してみてください。どこにもありません。
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摩擦を式に入れると、どの段階にも質量は残りません：

−μkmg=max  ⇒  ax=−μkg-\mu_k m g = m a_x \;\Rightarrow\; a_x = -\mu_k g

重いブロックほど大きな摩擦力を受けますが、慣性も大きくなります。二つの効果はちょうど打ち消し合います。

s= v02−3gd22h 2μkgs = \frac{\,v_0^2 - \dfrac{3gd^2}{2h}\,}{2\mu_k g}

この式には mm が含まれないので、2つのブロックは同じ距離だけすべります。

正解数： 0 / 4