古典力学 · 第9回 · 動画2 · インタラクティブ教材

一本の糸でつながる二つの物体：台車と滑車の問題を解く

I重要な公式

公式	名称	導き方
$T - \mu_k m_C\, g = m_C\, a$	台車：ニュートンの第二法則	水平方向、 $N = m_C g$ を使う
$m_B\, g - T = m_B\, a$	おもり：ニュートンの第二法則	下向きを正にとる
$a = \dfrac{m_B\, g - \mu_k m_C\, g}{m_C + m_B}$	加速度	2式を連立して解く
$T = (\mu_k + 1)\,\dfrac{m_C\, m_B}{m_C + m_B}\,g$	糸の張力	$a$ を代入し直す

ポイント：二つの拘束条件が自由物体どうしを結びつけます。質量の無視できるロープなら張力は一つの $T$ に、伸び縮みしない糸なら加速度は一つの $a$ に決まり、四つの力の式が二つにまとまります。

II可視化1 — 二つの自由物体

それぞれの物体の力は自分の軸で分解され、運動方向の合力は $ma$ に等しくなります。

III可視化2 — 一本の糸、一つの加速度

伸び縮みしない糸のおかげで台車とおもりは同じ距離だけ動くので、加速度も共通の一つになります。

時刻

💡 ロープのもう一つの役割：質量が無視できるので、両方の物体が加速していても、端から端まで一つの張力 $T_{R,C} = T_{R,B} = T$ を伝えます。

IV可視化3 — 摩擦がある場合と摩擦のない極限

摩擦があると、加速度は摩擦のない場合の基準値 $a_0 = \dfrac{m_B g}{m_C + m_B}$ に届きません。

あなたの予想：

a

2.0

💡 $\mu_k \ge \dfrac{m_B}{m_C}$ なら摩擦が勝ちます。おもりの重さでは摩擦に打ち勝てず、 $a \le 0$ となって何も動きません。

V確認クイズ

問1 · 台車にはたらく動摩擦力

条件： 台車の質量 $m_C = 2\ \text{kg}$ 、 $\mu_k = 0.25$ 、 $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ のとき、台車にはたらく動摩擦力 $f_k$ を求めてください。

✅ 正解です！

f_k = \mu_k N = \mu_k m_C g = 0.25(2)(9.8) = 4.9\ \text{N}

❌ 惜しい！ それは垂直抗力

N = m_C g = 19.6\ \text{N}

です。摩擦力はその

\mu_k

倍です。

❌ 惜しい！

g

が抜けています。

\mu_k m_C

ではなく

f_k = \mu_k m_C g

です。

❌ 惜しい！ 質量が抜けています。

\mu_k g

ではなく

f_k = \mu_k m_C g

です。

❌ 惜しい！ 3つの因数をすべて使います：

f_k = \mu_k m_C g

。

解答を見る

鉛直方向の式から垂直抗力が求まります：

N = m_C g = (2)(9.8) = 19.6\ \text{N}

動摩擦力は垂直抗力の $\mu_k$ 倍です：

f_k = \mu_k N = (0.25)(19.6) = 4.9\ \text{N}

問2 · 加速度 — 摩擦を忘れずに

条件： $m_C = 3\ \text{kg}$ 、 $m_B = 2\ \text{kg}$ 、 $\mu_k = 0.1$ 、 $g = 10\ \text{m/s}^2$ のとき、加速度 $a$ を求めてください。

✅ 正解です！

a = \dfrac{m_B g - \mu_k m_C g}{m_C + m_B} = \dfrac{20 - 3}{5} = 3.4\ \text{m/s}^2

❌ 惜しい！

4.0

は摩擦のない場合の値

\frac{m_B g}{m_C+m_B}

です。分子から摩擦の項

\mu_k m_C g = 3\ \text{N}

を引きます。

❌ 惜しい！ 系を動かすのはおもりの重さです。分子は

m_C g - \mu_k m_C g

ではなく

m_B g - \mu_k m_C g

です。

❌ 惜しい！

m_B

だけでなく、全質量

m_C + m_B = 5\ \text{kg}

で割ります。

❌ 惜しい！

a = \frac{m_B g - \mu_k m_C g}{m_C+m_B}

です。

解答を見る

おもりの重さが運動を引き起こし、台車にはたらく摩擦がそれを妨げます：

a = \frac{m_B g - \mu_k m_C g}{m_C + m_B} = \frac{(2)(10) - (0.1)(3)(10)}{3 + 2} = \frac{20 - 3}{5} = 3.4\ \text{m/s}^2

問3 · 加速度、次に張力

条件： $m_C = 1\ \text{kg}$ 、 $m_B = 1\ \text{kg}$ 、 $\mu_k = 0.5$ 、 $g = 10\ \text{m/s}^2$ のとき、加速度 $a$ を求め、次に張力 $T$ を求めてください。

加速度 $a$ はいくらですか？

張力 $T$ はいくらですか？

✅ 正解です！

a = \frac{10 - 5}{2} = 2.5\ \text{m/s}^2

、そして

T = m_B g - m_B a = 10 - 2.5 = 7.5\ \text{N}

です。

❌ 加速度を確かめましょう。

a = \frac{m_B g - \mu_k m_C g}{m_C+m_B} = \frac{10 - 5}{2}

です。

5.0

という値は摩擦の項

\mu_k m_C g = 5\ \text{N}

を忘れています。

❌ 張力を確かめましょう。 おもりは加速しているので

T \ne m_B g

です。

T = m_B g - m_B a = 10 - 2.5

を使います。

解答を見る

ステップ1 — 加速度：

a = \frac{m_B g - \mu_k m_C g}{m_C + m_B} = \frac{(1)(10) - (0.5)(1)(10)}{1 + 1} = \frac{10 - 5}{2} = 2.5\ \text{m/s}^2

ステップ2 — 張力（おもりの式 $m_B g - T = m_B a$ から）：

T = m_B g - m_B a = (1)(10) - (1)(2.5) = 7.5\ \text{N}

張力の公式で検算します： $T = (\mu_k + 1)\frac{m_C m_B}{m_C+m_B}g = (1.5)\frac{1}{2}(10) = 7.5\ \text{N}$ ✓

問4 · 両方の質量を2倍にする

条件： 動いている台車と滑車の系があります。 $\mu_k$ と $g$ はそのままで、 $m_C$ と $m_B$ を両方とも2倍にすると、加速度 $a$ と張力 $T$ はどう変わりますか？

✅ 正解です！

a = \frac{(m_B - \mu_k m_C)g}{m_C+m_B}

では分子も分母も

2

倍になるので、

a

は変わりません。

T = (\mu_k+1)\frac{m_C m_B}{m_C+m_B}g

では因子

\frac{m_C m_B}{m_C+m_B}

が

2

倍になるので、

T

は2倍になります。

❌ 惜しい！ 2倍になるのは

T

だけです。

a

では分子と分母が一緒に倍になり、打ち消し合います。

❌ 惜しい！

a

は変わりませんが、

\frac{m_C m_B}{m_C+m_B}

は質量について

1

次なので、

T

は2倍になります。

❌ 惜しい！

a

は小さくなりません。分子も分母も

2

倍になって打ち消し合います。

❌ 惜しい！ 次数を比べましょう。

a

は質量について

0

次、

T

は

1

次です。

解答を見る

$m_C \to 2m_C$ 、 $m_B \to 2m_B$ と置き換えます。

加速度：

a = \frac{2m_B g - \mu_k (2m_C) g}{2m_C + 2m_B} = \frac{2(m_B g - \mu_k m_C g)}{2(m_C + m_B)} = \frac{m_B g - \mu_k m_C g}{m_C + m_B}

となり、変わりません。張力：

T = (\mu_k+1)\frac{(2m_C)(2m_B)}{2m_C + 2m_B}g = (\mu_k+1)\frac{4 m_C m_B}{2(m_C+m_B)}g = 2\,(\mu_k+1)\frac{m_C m_B}{m_C+m_B}g

となり、ちょうど2倍です。

正解数： 0 / 4