古典力学 · 第9回 · 動画3 · インタラクティブ教材

長さは変わらない：滑車の拘束条件で加速度を結ぶ

I重要な公式

関係式	導き方
$a_{y,P} = -\,a_{y,1}$	固定滑車にかかる糸A： $l_A = y_1 + y_P + \pi R = \text{const}$
$a_{y,2} + a_{y,3} + 2\,a_{y,1} = 0$	動滑車にかかる糸B。 $a_{y,P} = -a_{y,1}$ を代入
$T_A = 2\,T_B$	質量の無視できる動滑車： $2T_B - T_A = m_P a = 0$
$T_B = \dfrac{4\,g\,m_1 m_2 m_3}{m_1 m_3 + m_1 m_2 + 4\,m_2 m_3}$	5つの方程式と5つの未知数を連立して解く

ポイント：変わらない長さの二階微分はゼロです。ロープの長さを時間で2回微分すると、加速度どうしの関係が出てきます。

II糸A — 一つの長さが運動を縛る

糸Aは伸びないので、おもり1と滑車 P は、大きさが等しく向きが逆の運動に縛られます。

III糸B — 動滑車が2倍で効くわけ

滑車の座標は糸Bの長さに $-2y_P$ として入るので、滑車を動かすと両方のおもりが一緒に動きます。

IVすべては質量で決まる

3つの質量だけで、すべての加速度が決まります。おもり1の加速度の符号さえもです。

m_1

m_2

m_3

💡 チャレンジ：おもり1が上向きに加速するのは、ちょうど $m_1(m_2 + m_3) < 4\,m_2 m_3$ のときです。加速の向きが反転する質量を見つけてください。

V確認クイズ

問1 · 長さを微分する（基本）

条件： 糸Aの長さ $l_A = y_1 + y_P + \pi R$ は一定です。2回微分して（定数の微分はゼロ）、加速度どうしの関係を求めてください。

✅ 正解です！ 弧の項

\pi R

は一定なので微分すると消え、

a_{y,1} + a_{y,P} = 0

が残ります。

❌ 惜しい！ その2倍の係数は、糸Bの動く滑車のものです。糸Aでは、それぞれの座標は1回ずつしか現れません。

❌ 惜しい！

l_A = y_1 + y_P + \pi R

には

y_1

と

y_P

が係数なしで1次の形で1回ずつ入っていて、その和がゼロになります。

解答を見る

一定の長さを2回微分します：

\frac{d^2 l_A}{dt^2} = \frac{d^2 y_1}{dt^2} + \frac{d^2 y_P}{dt^2} + \underbrace{\frac{d^2(\pi R)}{dt^2}}_{=\,0} = 0

よって $a_{y,1} + a_{y,P} = 0$ 、つまり $a_{y,P} = -a_{y,1}$ です。おもり1が下がると、滑車 P はちょうど同じだけ上がります。

問2 · 動滑車の2倍の係数

条件： 糸Bについて $l_B = y_2 + y_3 - 2y_P + \pi R = \text{const}$ です。 $a_{y,P} = -a_{y,1}$ を使って、3つのおもりの拘束条件を求めてください。⚠️ 2倍の係数と符号に注意しましょう。

✅ 正解です！

a_{y,2}+a_{y,3}-2a_{y,P}=0

, であり、

a_{y,P}=-a_{y,1}

によって

-2a_{y,P}

は

+2a_{y,1}

になります。

❌ 惜しい！符号を確かめましょう。

-2a_{y,P}

に

a_{y,P} = -a_{y,1}

を代入すると、

-2a_{y,1}

ではなく

+2a_{y,1}

になります。

❌ 2が抜けています。 滑車の座標は

l_B

に

-2y_P

として入るので、その加速度には係数2がつきます。

❌ 惜しい！

l_B

を2回微分して

a_{y,2}+a_{y,3}-2a_{y,P}=0

を得てから、

a_{y,P}=-a_{y,1}

を代入します。

解答を見る

$l_B = y_2 + y_3 - 2y_P + \pi R$ を2回微分します：

a_{y,2} + a_{y,3} - 2\,a_{y,P} = 0

ここで糸Aの結果 $a_{y,P} = -a_{y,1}$ を使います：

a_{y,2} + a_{y,3} - 2(-a_{y,1}) = a_{y,2} + a_{y,3} + 2\,a_{y,1} = 0

動滑車は糸Bの両側の部分を同時に短くします。これが2倍の係数の出どころです。

問3 · 質量の無視できる滑車がくれるおまけの方程式

条件： 動滑車の質量は無視できます。糸Aは滑車を $T_A$ で上に引き、糸Bは両側の部分でそれぞれ $T_B$ ずつ下に引きます。 $m_P = 0$ としてニュートンの第二法則から張力の関係を求めてください。

✅ 正解です！

2T_B - T_A = m_P a_{y,P} = 0

なので、滑車がどう加速していても

T_A = 2T_B

です。

❌ 惜しい！糸の本数を数えましょう。 糸Bは2本の部分で下に引くので、下向きの力は

T_B

ではなく

2T_B

です。

❌ 惜しい！

m_P a = 0

なので、上向きの力

T_A

は2つの下向きの力

T_B + T_B

とつり合わなければなりません。

解答を見る

下向きを正として、滑車にニュートンの第二法則を当てはめます：

2T_B - T_A = m_P\,a_{y,P}

滑車の質量は無視できるので $m_P = 0$ となり、どう加速していても右辺は消えます：

2T_B - T_A = 0 \quad\Longrightarrow\quad T_A = 2\,T_B

質量の無視できる滑車は、2本の糸の張力の間に決まった比を課すのです。

問4 · 質量がすべて等しい場合（動画の例の応用）

条件： $m_1 = m_2 = m_3 = m$ とします。 $a_{y,1} = \dfrac{g(m_1 m_3 + m_1 m_2 - 4 m_2 m_3)}{m_1 m_3 + m_1 m_2 + 4 m_2 m_3}$ を使って、おもり1の加速度の向きと大きさを求めてください。

おもり1はどちら向きに加速しますか？

大きさはいくらですか？

✅ 正解です！ 質量がすべて等しいと分子は

m^2 + m^2 - 4m^2 = -2m^2 < 0

なので、どれも軽くないのに、おもり1は

\tfrac{g}{3}

の加速度で上がります。

❌ 符号を確かめましょう。 分子

m^2 + m^2 - 4m^2 = -2m^2

は負です。下向きが正なので、

a_{y,1} < 0

は上向きを意味します。

❌ 計算を確かめましょう。

a_{y,1} = \dfrac{-2m^2}{6m^2}\,g = -\dfrac{g}{3}

解答を見る

分母に $m_1 = m_2 = m_3 = m$ を代入します：

D = m^2 + m^2 + 4m^2 = 6m^2

$a_{y,1}$ の分子も同様に：

m_1 m_3 + m_1 m_2 - 4 m_2 m_3 = m^2 + m^2 - 4m^2 = -2m^2

したがって

a_{y,1} = \frac{-2m^2}{6m^2}\,g = -\frac{g}{3}

下向きを正にとっているので、負の符号は、おもり1が $\tfrac{g}{3}$ で上向きに加速することを意味します。対称性から $a_{y,2} = a_{y,3} = +\tfrac{g}{3}$ であり、 $2(-\tfrac{g}{3}) + \tfrac{g}{3} + \tfrac{g}{3} = 0$ となって拘束条件を満たします。

正解数： 0 / 4