古典力学 · 第9回 · 動画4 · インタラクティブ教材

動く斜面：加速するくさびの上のブロック

I重要な公式

公式	名称	説明
$a_{b,y} = -(a_{b,x} - A)\tan\phi$	加速度の拘束条件	ブロックは動く斜面の上にとどまる
$a_{b,x} = \dfrac{g + A\tan\phi}{\cot\phi + \tan\phi}$	水平方向の加速度	ニュートンの第二法則 $+$ 拘束条件
$a_{b,y} = \dfrac{A - g\tan\phi}{\cot\phi + \tan\phi}$	鉛直方向の加速度	拘束条件に代入して求める
$a = \sqrt{\dfrac{g^2 + A^2}{2}}$	$\phi = 45\degree$ での大きさ	$a_{b,x}=\tfrac{g+A}{2},\ a_{b,y}=\tfrac{A-g}{2}$ から

ポイント： くさび（斜面台）を押す加速度 $A$ が、ブロックの運命を決めます。 $A < g\tan\phi$ なら滑り下り、 $A = g\tan\phi$ ならくさびと一緒に運ばれ、 $A > g\tan\phi$ なら斜面を上ります。

II斜面による拘束

傾きの角が $\phi$ の斜面の上では、ブロックの高さと水平距離は、一定の比 $\tan\phi$ で結びつけられています。

💡 $y_b = (\ell - (x_b - x_w))\tan\phi$ を時間で2回微分すると、この固定された比が加速度の拘束条件 $a_{b,y} = -(a_{b,x} - A)\tan\phi$ に変わります。

IIIくさびを押す

$\phi = 45\degree$ のとき、ブロックが滑らずにくさびと一緒に運ばれるくさびの加速度 $A$ は、ただ1つです。それはどれでしょうか。

くさびの加速度 (A) 0.5 g

IV加速度の大きさ

$\phi = 45\degree$ のとき、くさびの加速度 $A$ を大きくすると、ブロックの加速度の大きさはどのように増えるでしょうか。

V確認クイズ

問1 · 水平方向の加速度

条件： $\phi = 45\degree$ の摩擦のないくさびを、加速度 $A = g$ で押します。ブロックの水平方向の加速度 $a_{b,x}$ を求めてください。

✅ 正解です！

45\degree

では

a_{b,x} = \tfrac{g+A}{2} = \tfrac{g+g}{2} = g

です。ブロックはくさびと同じ加速度になり、一緒に運ばれます。

❌ 惜しい！

\tfrac{g}{2}

はくさびを固定した場合（

A=0

）の値です。ここでは

A=g

なので、分子は

g+g

です。

❌ 惜しい！

2g = g+A

は分子だけです。

\cot 45\degree + \tan 45\degree = 2

で割ってください。

❌ 惜しい！

\tan 45\degree = \cot 45\degree = 1

として、

a_{b,x} = \tfrac{g + A\tan\phi}{\cot\phi + \tan\phi}

を使います。

解答を見る

$\phi = 45\degree$ では $\tan\phi = \cot\phi = 1$ なので、分母は $2$ です。

a_{b,x} = \frac{g + A\tan\phi}{\cot\phi + \tan\phi} = \frac{g + g}{1 + 1} = g

$A = g$ のとき、ブロックの水平方向の加速度はくさび自身の加速度 $A$ に等しくなります。ブロックはくさびに運ばれていくのです。

問2 · 固定したくさびの上での鉛直方向の加速度

条件： $\phi = 45\degree$ で、くさびは固定されています（ $A = 0$ ）。ブロックの鉛直方向の加速度 $a_{b,y}$ を求めてください。答えは $-g$ ではありません。斜面が押し返すからです。

✅ 正解です！

a_{b,y} = \tfrac{A - g}{2} = \tfrac{0 - g}{2} = -\tfrac{g}{2}

です。ブロックは

g

の半分の加速度で下がります。

❌ 惜しい！ 斜面からの垂直抗力が重さの一部を支えるので、下向きの加速度は

g

より小さくなります。

❌ 符号を確かめてください。 ブロックは下へ動くので、

a_{b,y} < 0

です。

❌ 惜しい！

a_{b,y} = 0

となるのは、くさびを

A = g

で押す場合です。ここでは

A = 0

です。

❌ 惜しい！

\phi = 45\degree

として、

a_{b,y} = \tfrac{A - g\tan\phi}{\cot\phi + \tan\phi}

を使います。

解答を見る

$\phi = 45\degree$ （分母は $2$ ）、 $A = 0$ とすると：

a_{b,y} = \frac{A - g\tan\phi}{\cot\phi + \tan\phi} = \frac{0 - g}{2} = -\frac{g}{2}

ブロックは $g$ で自由落下するわけではありません。斜面の垂直抗力が重さの一部を支え、下向きの加速度を半分にします。

問3 · 成分と大きさ（固定したくさび）

条件： $\phi = 45\degree$ 、 $A = 0$ とします。水平成分 $a_{b,x}$ と大きさ $|\vec{a}|$ を求めてください。

$a_{b,x}$ はいくらですか？

大きさ $|\vec{a}|$ はいくらですか？

✅ 正解です！

a_{b,x} = \tfrac{g}{2}

、

a_{b,y} = -\tfrac{g}{2}

なので、

|\vec{a}| = \tfrac{g}{\sqrt{2}} = g\sin 45\degree

です。固定された斜面の結果と一致します。

❌ $a_{b,x}$ を確かめてください。

A = 0

では

a_{b,x} = \tfrac{g + A}{2} = \tfrac{g}{2}

です。

❌ 大きさを確かめてください。 2つの成分を合わせます。

\sqrt{(g/2)^2 + (g/2)^2} = \tfrac{g}{\sqrt{2}}

です。

解答を見る

成分（ $\phi = 45\degree$ 、 $A = 0$ ）：

a_{b,x} = \frac{g+0}{2} = \frac{g}{2}, \qquad a_{b,y} = \frac{0-g}{2} = -\frac{g}{2}

大きさ：

|\vec{a}| = \sqrt{a_{b,x}^2 + a_{b,y}^2} = \sqrt{\frac{g^2}{4} + \frac{g^2}{4}} = \sqrt{\frac{g^2}{2}} = \frac{g}{\sqrt{2}}

これは $g\sin 45\degree$ に等しく、摩擦のない固定された斜面を下る加速度そのものです。

問4 · 滑らないためのくさびの加速度（一般の角度）

条件： 一般の角 $\phi$ のくさびがあります。ブロックが滑らずにくさびと一緒に運ばれる（ $a_{b,y} = 0$ ）のは、くさびの加速度 $A$ がいくらのときですか？

✅ 正解です！ 分子を

A - g\tan\phi = 0

とおくと

A = g\tan\phi

が得られます。

\phi = 45\degree

ではこれは

A = g

です。

❌ 惜しい！

A = g

が成り立つのは、

\tan\phi = 1

となる

\phi = 45\degree

のときだけです。一般には

A - g\tan\phi = 0

とおきます。

❌ 惜しい！

A = g\cot\phi

では、

\phi = 45\degree

でない限り

a_{b,y} \propto g\cot\phi - g\tan\phi \ne 0

となります。

❌ 惜しい！ ブロックがくさびと一緒に運ばれるのは、鉛直方向の加速度が 0 になるとき、つまり

a_{b,y} = 0

のときです。

解答を見る

ブロックが鉛直方向にずれなくなるのは $a_{b,y} = 0$ のときです：

a_{b,y} = \frac{A - g\tan\phi}{\cot\phi + \tan\phi} = 0 \;\Longrightarrow\; A = g\tan\phi

$\phi = 45\degree$ ではこれは $A = g\tan 45\degree = g$ となります。動画で扱った、くさびを強く押す極限の場合と一致し、ブロックは斜面に対して静止したまま運ばれます。

正解数：0 / 4