古典力学 · 第9回 · 動画5 · インタラクティブ教材

片手で船をつなぎとめる――キャプスタン方程式

I重要な公式

公式	名称	説明
$T_B = T_A\, e^{-\mu_s \theta_{BA}}$	キャプスタン方程式（オイラーのベルト公式）	荷物側の張力、 $\mu_s$ 、巻きつけ角 $\theta_{BA}$ （ラジアン）から、支える張力が決まる
$\dfrac{dT}{d\theta} = -\mu_s T$	支配方程式	張力が減る割合は張力そのものに比例する
$N = T\,\Delta\theta$	一切れにはたらく垂直抗力	動径方向の力のつり合いから
$f_s = \mu_s N$	最大静止摩擦力	すべり出す寸前の条件

ポイント： 接触しているわずかな部分のそれぞれが取り去るのは、張力の決まった量ではなく、決まった割合です。そのため損失が積み重なり、張力は一巻きごとに等比数列的に激減していきます。

II可視化1 — ドラムを回るにつれて張力が下がる

ロープがドラムに深く巻きつくほど、張力はどこまで下がるでしょうか。

摩擦係数 μ_s

💡 キャプスタン方程式の $\theta_{BA}$ はラジアンで測り、1周巻くごとに $2\pi$ ずつ増えます。

III可視化2 — 巻き足すことの威力

ロープを1周、2周、3周と巻くと、握る力はどこまで小さくなるでしょうか。

巻き数 (n) 2 握る力の予想（割合） 0.20

IV可視化3 — 損失が積み重なる理由

等しく分けた接触部分のそれぞれが取り去るのは、張力の同じ量ではなく、同じ割合です。

一切れ (k) 0

V確認クイズ

問1 · キャプスタン方程式を使う

条件： 固定された杭にロープがかけてあり、 $\mu_s = 0.3$ 、巻きつけ角の合計は $\theta = \pi$ です。荷物は $T_A = 600\text{ N}$ で引いています。支えるのに必要な最小の張力 $T_B$ を求めてください。

✅ 正解です！

T_B = 600\,e^{-0.3\pi} = 600(0.390) \approx 234\text{ N}

です。摩擦のおかげで、荷物が引く力を片手で支えられます。

❌ 指数の符号を確かめてください。 計算したのは

600\,e^{+0.3\pi}

です。摩擦は、あなたが加えるべき張力を減らすので、指数は負です。

❌ それは損失を線形として扱っています。

\mu_s\theta

は取り去られる割合ではありません。減衰は指数関数的で、

T_B = T_A e^{-\mu_s\theta}

です。

❌ 惜しい！ そのまま代入します。

T_B = 600\,e^{-0.3\pi}

です。

解答を見る

荷物側が $T_A$ 、握る側が $T_B$ です。 $\mu_s = 0.3$ 、 $\theta = \pi$ とすると：

T_B = T_A\, e^{-\mu_s \theta} = 600\, e^{-0.3\pi} = 600\, e^{-0.9425}

= 600 \times 0.390 \approx 234\text{ N}

握る力が $234\text{ N}$ より小さいと、ロープはすべります。

問2 · 度ではなくラジアンで

条件： $\mu_s = 0.2$ で、ロープはドラムに2周巻きついています。巻きつけ角 $\theta$ と、支える比 $T_B/T_A$ を求めてください。

✅ 正解です！ 2周なら

\theta = 2(2\pi) = 4\pi

なので、

T_B/T_A = e^{-0.2\cdot4\pi} = e^{-2.513} \approx 0.081

です。

❌ それは度です。 指数には

\theta

をラジアンで入れます。

720\degree = 4\pi \approx 12.57

なので、比は

0

ではなく

0.081

です。

❌ それは1周分だけです。 2周なら

\theta = 4\pi

で、比は

e^{-0.2\cdot4\pi} \approx 0.081

です。

❌ 惜しい！ 1周は

2\pi

ラジアンなので、2周は

4\pi

です。

解答を見る

1周ごとに $2\pi$ ラジアン分の接触が加わるので、2周では

\theta = 2 \times 2\pi = 4\pi \approx 12.57.

これより

\frac{T_B}{T_A} = e^{-\mu_s\theta} = e^{-0.2\,(4\pi)} = e^{-2.513} \approx 0.081.

必要な握る力は、荷物のおよそ12分の1です。

問3 · 巻きつけ角を求める

条件： $T_A = 5000\text{ N}$ を、 $T_B = 500\text{ N}$ 以下の握る力で支えなければなりません。 $\mu_s = 0.25$ です。 $T_B = T_A e^{-\mu_s\theta}$ から、必要な最小の巻きつけ角 $\theta$ （ラジアン）を求めてください。

まず、 $\ln(T_A/T_B)$ はいくらですか？

次に、必要な $\theta$ はいくらですか？

✅ 正解です！

\theta = \tfrac{1}{\mu_s}\ln(T_A/T_B) = 4\ln 10 \approx 9.21\text{ rad}

で、およそ

1.5

周です。

❌ 比を確かめてください。

T_A/T_B = 5000/500 = 10

で、必要なのはその自然対数

\ln 10 \approx 2.30

です。

❌ 式変形を確かめてください。

T_B = T_A e^{-\mu_s\theta}

を解くと、

\theta = \tfrac{1}{\mu_s}\ln(T_A/T_B)

となります。

❌ $\mu_s$ をかけています。

\theta

について解くには、

\mu_s

で割ります。

\theta = \ln 10 / 0.25

です。

❌ 因子 $1/\mu_s$ を忘れないでください。

\ln 10

だけではなく、

\theta = \ln 10 / 0.25

です。

解答を見る

キャプスタン方程式から出発して、 $\theta$ について解きます：

T_B = T_A e^{-\mu_s\theta} \;\Rightarrow\; \frac{T_A}{T_B} = e^{\mu_s\theta} \;\Rightarrow\; \theta = \frac{1}{\mu_s}\ln\!\frac{T_A}{T_B}.

$T_A/T_B = 10$ 、 $\mu_s = 0.25$ とすると：

\theta = \frac{\ln 10}{0.25} = \frac{2.303}{0.25} \approx 9.21\text{ rad} = \frac{9.21}{2\pi} \approx 1.47\text{ 周}.

つまり、1周半巻けばもう十分です。

問4 · 1巻きごとの倍率（動画の値）

条件： $\mu_s = 0.2$ です。1周余分に巻くと、支える比 $T_B/T_A$ は何倍になりますか？

✅ 正解です！ 1周巻き足すと

\theta

に

2\pi

が加わり、比は

e^{-\mu_s\,2\pi} = e^{-0.4\pi} \approx 0.285

倍になります。1周巻き足すごとに、有利さが同じ倍率で掛け算されていきます。

❌ $2\pi$ が抜けています。 1周で

2\pi

ラジアン加わるので、倍率は

e^{-\mu_s}

ではなく

e^{-\mu_s\cdot2\pi} = e^{-0.4\pi}

です。

❌ 有利さは線形ではなく、掛け算で増えます。 巻き数が1つ増えるごとに、一定の倍率

e^{-0.4\pi}

が等比数列的に掛かっていきます。

❌ 引き算ではなく、倍率です。 1周巻き足すと、比は

e^{-0.4\pi}

倍になります。比から何かを引くのではありません。

解答を見る

$n$ 周と $n+1$ 周（ $\theta = 2\pi n$ ）の比を比べます：

\frac{e^{-\mu_s\,2\pi(n+1)}}{e^{-\mu_s\,2\pi n}} = e^{-\mu_s\,2\pi} = e^{-0.2\,(2\pi)} = e^{-0.4\pi} \approx 0.285.

したがって、1周巻き足すごとに、必要な握る力は同じ倍率 $0.285$ で小さくなります。 $1 \to 2 \to 3$ 周で比が $0.285 \to 0.081 \to 0.023$ と下がるのは、まさにこのためです。

正解数：0 / 4