古典力学 · 第9回 · 動画6 · インタラクティブ教材

落下する物体の速さの上限：終端速度とハイパボリックタンジェントの法則

I重要な公式

公式名称説明
Fdrag=12CDAρ v2=βv2F_{\text{drag}} = \tfrac{1}{2} C_D A \rho\, v^2 = \beta v^2速度の二乗に比例する抵抗の法則抗力（抵抗力）は速さの2乗で大きくなる
mdvdt=mg−βv2m\dfrac{dv}{dt} = mg - \beta v^2運動方程式ニュートンの第二法則（+y+y は下向き）
v∞=mgβ=2mgCDAρv_\infty = \sqrt{\dfrac{mg}{\beta}} = \sqrt{\dfrac{2mg}{C_D A \rho}}終端速度抗力が重力と打ち消し合う速さ
v(t)=v∞tanh⁡ ⁣(βgm  t)v(t) = v_\infty \tanh\!\left(\sqrt{\dfrac{\beta g}{m}}\; t\right)速度の法則増加したのち、v∞v_\infty に向かって平らになる

ポイント： 終端速度は物体に備わった性質ではなく、つり合いの状態です。大きくなっていく抗力 βv2\beta v^2 が一定の重力 mgmg と打ち消し合い、加速度が 0 になる、ちょうどその速さなのです。

II可視化1 — 抗力が重力とつり合うところ

空気の抗力が大きくなって重力とちょうど打ち消し合うのは、物体がどれだけの速さで落ちるときでしょうか。

III可視化2 — 速度は上限まで増えていく

静止状態から放すと、速度は時間とともにどのように増え、どんな上限に向かうでしょうか。

IV可視化3 — 重いほど速く落ちる理由

同じ抗力の法則にしたがうのに、なぜ重いスカイダイバーの終端速度は、軽い雨粒の終端速度よりはるかに大きいのでしょうか。

💡 実際の物体は質量も断面積も異なるので、同じ法則 v∞=2mg/(CDAρ)v_\infty = \sqrt{2mg/(C_D A \rho)} から非常に幅広い値が得られます。雨粒は約 6.56.5 m/s、スカイダイバーは約 6060 m/s に落ち着きます。

V確認クイズ

問1 · 終端速度を計算する

条件： 落下する物体の重さが mg=20 Nmg = 20\ \text{N}、抗力の定数が β=0.05 kg/m\beta = 0.05\ \text{kg/m} で、抗力は βv2\beta v^2 です。終端速度 v∞v_\infty を求めてください。

✅ 正解です！ v∞=mg/β=20/0.05=400=20 m/sv_\infty = \sqrt{mg/\beta} = \sqrt{20/0.05} = \sqrt{400} = 20\ \text{m/s} です。
❌ 惜しい！ それは mg/β=400mg/\beta = 400 です。終端速度はこの比の平方根です。
❌ ½ に注意してください。 2mg/(CDAρ)\sqrt{2mg/(C_D A\rho)} の因子 22 は、すでに β=12CDAρ\beta = \tfrac{1}{2} C_D A\rho の中に含まれています。2mg/β\sqrt{2mg/\beta} ではなく mg/β\sqrt{mg/\beta} を使います。
❌ 惜しい！ mg=βv∞2mg = \beta v_\infty^2 とおいて解くと、v∞=mg/βv_\infty = \sqrt{mg/\beta} です。
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終端速度では加速度が 0 なので、抗力が重力とつり合います：

mg=βv∞2⇒v∞=mgβ=200.05=400=20 m/s.mg = \beta v_\infty^2 \quad\Rightarrow\quad v_\infty = \sqrt{\frac{mg}{\beta}} = \sqrt{\frac{20}{0.05}} = \sqrt{400} = 20\ \text{m/s}.

平方根を忘れると 400400 になり、β\beta にすでに含まれている ½ を二重に数えると 800≈28.3\sqrt{800}\approx 28.3 になります。

問2 · 質量による変化

条件： ある物体の終端速度は v∞=12 m/sv_\infty = 12\ \text{m/s} です。大きさと形が同じ（同じ β\beta）で、質量が2倍の物体を落とします。その終端速度を求めてください。

✅ 正解です！ v∞∝mv_\infty \propto \sqrt{m} なので、質量を2倍にすると 2\sqrt{2} 倍になります。122≈17 m/s12\sqrt{2}\approx 17\ \text{m/s} です。
❌ 惜しい！べき指数を確かめてください。 v∞=mg/β∝mv_\infty = \sqrt{mg/\beta} \propto \sqrt{m} なので、mm を2倍にすると、22 倍ではなく 2≈1.41\sqrt{2}\approx 1.41 倍になります。
❌ 質量は関係します。 β\beta が一定なら、重い物体ほど、大きな重力と抗力がつり合うのに大きな速さが必要なので、v∞v_\infty は大きくなります。
❌ 向きが逆です。 質量が大きいほど打ち消すべき重力も大きいので、終端速度は小さくなるのではなく大きくなります。
❌ 惜しい！ m→2mm \to 2m として、v∞∝mv_\infty \propto \sqrt{m} を使います。
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β\beta を一定にすると、v∞=mg/βv_\infty = \sqrt{mg/\beta} は質量に v∞∝mv_\infty \propto \sqrt{m} のように依存します。質量を2倍にすると：

v∞′=(2m)gβ=2 mgβ=2 (12)≈17 m/s.v_\infty' = \sqrt{\frac{(2m)g}{\beta}} = \sqrt{2}\,\sqrt{\frac{mg}{\beta}} = \sqrt{2}\,(12) \approx 17\ \text{m/s}.

同じ形の軽い物体より、密度の大きい物体（同じ断面積で質量が大きい）のほうが大きな終端速度に落ち着くのは、まさにこのためです。

問3 · 公式から放した瞬間へ

条件： 質量 m=8 kgm = 8\ \text{kg} のボールが、抗力 βv2\beta v^2（β=0.2 kg/m\beta = 0.2\ \text{kg/m}）を受けながら落下します。g=10 m/s2g = 10\ \text{m/s}^2 とします。

終端速度はいくらですか？

放した瞬間（v=0v = 0）の加速度はいくらですか？

✅ 正解です！ v∞=80/0.2=20 m/sv_\infty = \sqrt{80/0.2} = 20\ \text{m/s} です。また v=0v = 0 では抗力が 0 なので、a=g=10 m/s2a = g = 10\ \text{m/s}^2 です。
❌ 終端速度を確かめてください。 v∞=mg/β=(8)(10)/0.2=400v_\infty = \sqrt{mg/\beta} = \sqrt{(8)(10)/0.2} = \sqrt{400} です。平方根を忘れないでください。
❌ 放した瞬間を確かめてください。 v=0v = 0 では抗力 βv2\beta v^2 は 0 なので、はたらく力は重力だけです。よって a=ga = g です。
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終端速度：

v∞=mgβ=(8)(10)0.2=400=20 m/s.v_\infty = \sqrt{\frac{mg}{\beta}} = \sqrt{\frac{(8)(10)}{0.2}} = \sqrt{400} = 20\ \text{m/s}.

放した瞬間： m dvdt=mg−βv2m\,\dfrac{dv}{dt} = mg - \beta v^2 を mm で割ると、a=g−βv2ma = g - \dfrac{\beta v^2}{m} です。v=0v = 0 では抗力の項が消えます：

a=g−β(0)2m=g=10 m/s2.a = g - \frac{\beta (0)^2}{m} = g = 10\ \text{m/s}^2.

加速度は最大値 gg から始まり、v→v∞v \to v_\infty とともに 0 へ減っていきます。

問4 · 雨粒とスカイダイバー（応用）

条件： 雨粒（v∞≈6.5 m/sv_\infty \approx 6.5\ \text{m/s}）とスカイダイバー（v∞≈60 m/sv_\infty \approx 60\ \text{m/s}）が、どちらも静止状態から放され、v(t)=v∞tanh⁡ ⁣(βg/m  t)v(t) = v_\infty\tanh\!\left(\sqrt{\beta g/m}\; t\right) にしたがって落下します。正しいのはどれですか？

✅ 正解です！ v=0v = 0 ではどちらも抗力が 0 なので、どちらも a=ga = g から始まります。質量が決めるのは上限の高さだけで、最初の加速度ではありません。
❌ よくある落とし穴です。 放した瞬間は v=0v = 0 なので、どちらも抗力は 0 で、ちょうど a=ga = g から始まります。質量が大きいと v∞v_\infty は大きくなりますが、最初の加速度は変わりません。
❌ 惜しい！ tanh⁡\tanh は漸近的に 11 に近づくので、どちらもそれぞれの v∞v_\infty に近づき、決して超えません。雨粒の上限が低いだけです。
❌ 惜しい！ 速く動くほど抗力は大きくなります（βv2\beta v^2 は vv とともに大きくなります）。この増加こそが、速さに上限を与えるのです。
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放した瞬間は v=0v = 0 なので βv2=0\beta v^2 = 0 となり、運動方程式から、質量や大きさによらずすべての落下物体で a=ga = g となります。

質量と断面積は v∞=2mg/(CDAρ)v_\infty = \sqrt{2mg/(C_D A\rho)} を通してのみ効いてきます。スカイダイバーは質量がはるかに大きいので上限もはるかに高く、抗力が追いつくまでより長く加速し続けます。どちらの曲線も同じ tanh⁡\tanh の形をしていて、それぞれの v∞v_\infty に近づきますが、決して超えることはありません。

正解数：0 / 4