ファイナンス理論 · 第1回 · 動画1 · インタラクティブ教材

ファイナンスに必要な数学とは？ 微分幾何学から高校の算数まで

I重要な公式

公式名称必要なもの
数学+お金=ファイナンス\text{数学} + \text{お金} = \text{ファイナンス}定義の式決まった水準はない（数学の水準は問題に応じて変わる）
13026=5\dfrac{130}{26} = 5成長倍率（GE の売上高、1981年 → 2001年）2つの売上高（どちらも10億ドル単位）
400,000−300,000=100,000400{,}000 - 300{,}000 = 100{,}000変化量（GE の従業員数、1981年 → 1986年）2つの従業員数
100,000400,000=25%\dfrac{100{,}000}{400{,}000} = 25\%変化率変化量と出発時点の値

ポイント：数学の水準を決めるのは問題であって、学問ではありません。シモンズは微分幾何学から市場にやってきて、バフェットは貸借対照表の算数を携えてやってきました。そして、どちらの端もファイナンスです。

IIファイナンスの数学は「水準」ではなく「尺度」

3つの巨万の富と、1つの学問。ファイナンスには実際どれだけの数学が必要なのでしょうか。

IIIGE の20年を1回の割り算で

ウェルチは、40万人の会社を算数で経営しました。

💡 ウェルチの最初の5年間には、同じ帳簿がもう1つの算数を示しました。40万人の従業員が30万人になったのです。これは比ではなく差であり、「ニュートロン・ジャック」というあだ名の由来です。

IV4つの構成要素と資金の流れ

どの取引も、4つの構成要素のあいだを資金が動くことです。ときには、システムの境界を越えて動きます。

V確認クイズ

問1 · 成長倍率

条件：ウェルチが最高経営責任者に就任した1981年、GE の年間売上高は約260億ドルでした。任期を終えた2001年には約1,300億ドルです。売上高は何倍に伸びたでしょうか。

✅ 正解です！ 130=5×26130 = 5 \times 26 なので、売上高は最終的に1981年の水準の5倍になりました。
❌ それは倍率ではなく差です。 130−26=104130 - 26 = 104 は増えた売上高（10億ドル単位）です。倍率は比です。
❌ 比が逆さまです。 26/130=0.226/130 = 0.2 は1981年を2001年と比べています。求めたいのは、1981年を基準に測った2001年の値です。
❌ 惜しい！ 最後の値を最初の値で割りましょう：130÷26130 \div 26。
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倍率とは、出発時点の値に対する最終的な値の比です。どちらの売上高も10億ドル単位で表すと：

13026=5\frac{130}{26} = 5

売上高は最終的に1981年の水準の5倍になりました。

差 130−26=104130 - 26 = 104 は別の問い、つまり売上高が10億ドル単位でいくら増えたかに答えるものです。逆数 26/130=0.226/130 = 0.2 は3つ目の問いに答えます。1981年の売上高は2001年の売上高の5分の1だった、ということです。3つとも計算としては正しいのですが、倍率はそのうちの1つだけです。

問2 · 正しい基準に対する変化率

条件：1981年、GE の従業員は40万人でした。5年後、従業員数は30万人になっていました。どの数で割るかに注意しましょう。

削減された雇用はいくつでしょうか。

それは1981年の従業員数の何パーセントでしょうか。

✅ 正解です！ 400,000400{,}000 のうちの 100,000100{,}000 は従業員の4分の1です。これが、あのあだ名の背後にある計算です。
❌ 引き算を確認しましょう。 削減された雇用は、従業員数の減少分です：400,000−300,000400{,}000 - 300{,}000。
❌ 割る数を間違えています。 100,000/300,000≈33.3%100{,}000/300{,}000 \approx 33.3\% は、削減を残った従業員数と比べたものです。変化率には出発時点の値を使います。
❌ 惜しい！ 変化量を1981年の従業員数で割りましょう：100,000÷400,000100{,}000 \div 400{,}000。
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ステップ1：変化量。

400,000−300,000=100,000 人400{,}000 - 300{,}000 = 100{,}000 \text{ 人}

ステップ2：パーセント。必ず出発時点の値に対して測ります。

100,000400,000=0.25=25%\frac{100{,}000}{400{,}000} = 0.25 = 25\%

よくある2つの間違った基準も、それぞれ意味のある数を生みますが、別の問いに答えています：

  • 100,000300,000≈33.3%\dfrac{100{,}000}{300{,}000} \approx 33.3\%：40万人に戻るために、残った従業員数がどれだけの割合で増えなければならないか。
  • 300,000400,000=75%\dfrac{300{,}000}{400{,}000} = 75\%：会社にとどまった従業員の割合。

これが、ウェルチが仕事で使った道具のすべてです。差と比、そしてどの数を分母に置くかへの注意です。

問3 · 取引をシステムの中に位置づける

条件：労働者が賃金を得て、その一部を年金基金に払い込みます。年金基金は製造業の企業が発行した債券を買い、その債券はその後、取引所で売買されます。

年金基金はどの構成要素でしょうか。

この話のうち、金融システムの外側にあるのはどれでしょうか。

✅ 正解です！ 年金基金は貯蓄する人と借り手のあいだに立っています。そして、点線の境界の外側にあるのは労働市場だけです。
❌ 市場そのものではありません。 年金基金は資本市場で買う側です。市場は請求権の持ち主が入れ替わる場であり、年金基金は貯蓄する人のためにそれを保有する機関です。
❌ 惜しい！ 年金基金は貯蓄する人からお金を受け取り、それを借り手に渡します。それは4つのうちの1つを特徴づける役割そのものです。
❌ 惜しい！ この4つのうち3つは金融システムの構成要素です。仲間外れの1つが取引しているのは、金融上の請求権ではなく労働です。
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年金基金は金融仲介機関です。 金融仲介機関（銀行、保険会社、年金基金）は、貯蓄する人と借り手のあいだに立ちます。労働者が資金を預け、年金基金はそれを製造業の企業に渡し、労働者に代わって債券を保有します。

ほかの役割で登場人物がそろいます。労働者は家計、製造業の企業は非金融法人企業（ものをつくる企業で、債券の発行はそのための資金調達の手段です）、取引所はその請求権が売買される資本市場です。

労働市場は外側にあります。 労働市場と生産物市場は経済全体に属し、それぞれに金融的な側面を持っていますが、金融システムそのものの一部ではありません。点線の境界の外側にあり、家計と企業につながっています。

問4 · 1つの理論と4つの構成要素

条件：ファイナンス分析は、4つの構成要素すべてにまったく同じように当てはまります。工場を建てるかどうかを決める企業から、家を買うかどうかを決める家計に話を移したとき、何が変わるでしょうか。

✅ 正解です！ だからこそ4つは区別せずに扱われ、4つすべてを知っておく価値があるのです。
❌ 別の考え方があるわけではありません。 規模の小さいほうは単純化した理論ではなく、同じ理論が別の用語をまとっているだけです。
❌ 数学の水準は構成要素で決まるのではありません。 シモンズとバフェットは、同じ学問について尺度の正反対の端で仕事をしました。数学を選ぶのは問題であって、登場人物ではありません。
❌ 惜しい！ 4つを通じて変わらないものは何か、表面的な違いにすぎないものは何かを考えましょう。
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2つの意思決定は同じ問題です。将来の便益の流れと引き換えにいま資金を投じ、その将来の流れがいまの支出に見合うかどうかを判断するのです。

違うのは用語と見た目です。企業はそれを資本予算（設備投資の意思決定）と呼び、資本コストと比べ、支出を貸借対照表に記載します。家計はそれを頭金や住宅ローン金利と呼びます。その下にある理論は1つであり、だからこそこの先では4つの構成要素を区別せずに扱います。

この主張の重みは、つい見過ごされがちです。規模の小さいほうのために用意された別の、もっと単純な考え方はないということであり、自分が就きそうな仕事に合う1つだけでなく、4つの構成要素すべてに慣れておくべき理由もそこにあります。

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