ファイナンス理論 · 第12回 · 動画2 · インタラクティブ教材

プットは株式の保険：上値は残り、保険料は恐怖で決まる

I重要な公式

公式名称説明
PT=max⁡[0, K−ST]P_T = \max[0,\ K - S_T]満期におけるプットのペイオフ権利行使価格 KK で売る権利は、株価がそれより下で終わったときだけペイオフを生みます
ST+PT=max⁡[ST, K]S_T + P_T = \max[S_T,\ K]プロテクティブ・プット（株＋プット）下値に KK の床を敷きます。KK より上では、値上がり分はすべて保有者のものです
免責額=St−K\text{免責額} = S_t - K補償が始まるまでの損失今日の株価から権利行使価格を引いたもの。株価が $20、KK が $18 なら、1株あたり最初の $2 の下落は保有者の負担です
ST+(F−ST)=FS_T + (F - S_T) = F株＋価格 FF の先物の売り（キャリーコストを無視すると）FF に固定されます。値上がりしたときは、先物の損失でその利益を吐き出します

ポイント：プットのペイオフはゼロまでは下がりますが、それより下にはならないので、プットは天井のない床を加えます。先物の売りのペイオフは、価格が上がるとマイナスになり、その損失が天井になります。この保護の費用はプットの価格 PtP_t で、前払いします。

IIプットの中にある保険契約

株価の下落は、保有者が負担する免責額と、プットが支払う保険金とに分かれます。

保険プット・オプション値
保険の対象となる資産株式GE株1株
資産の現在の価値StS_t1株 $20
保険期間満期までの期間 τ\tau数か月
最大補償額権利行使価格 KK1株 $18
免責額St−KS_t - K1株 $2
保険料プットの価格 PtP_t今日支払う
満期に支払われる保険金PT=max⁡[0, K−ST]P_T = \max[0,\ K - S_T]$8

III天井のない床：プロテクティブ・プットと先物の売り

どちらのヘッジも下落から株を守りますが、値上がり分を保有者に残すのはプットだけです。

💡 プレミアムは、市場が予想する値動きの大きさで値段がつきます。S&P500のオプション価格に織り込まれたインプライド・ボラティリティであるVIX指数は、2008年11月20日に80.86、2026年9月16日に17.71で引けました。2008年秋には、指数の10%の下落に備える1か月分の保護に、1年前のおよそ10倍の費用がかかりました。

IV確認クイズ

問1 · 権利行使価格の床

条件： ある株が今日 $36 で取引されています。あなたはこの株1株と、権利行使価格 $32 のプットを持っています。満期に株価は $19 です。プットのペイオフと、株とプットを合わせた価値を求めてください（プットに払った価格は考えません）。

プットはいくら支払いますか？

株とプットを合わせた価値はいくらですか？

✅ 正解です！ プットは $13 を支払い、株の価値は $19 なので、合わせてちょうど $32 の床に届きます。
❌ それはコールの公式です。 max⁡[0, ST−K]\max[0,\ S_T - K] はコールのペイオフです。プットが支払うのは max⁡[0, K−ST]\max[0,\ K - S_T] で、ここでは株価が権利行使価格より下で終わったので、プラスになります。
❌ それは株の価値で、プットのペイオフではありません。 プットが支払うのは、権利行使価格から株価を引いた額です。
❌ ペイオフは和ではなく差です。 $51 は権利行使価格と株価を足したものです。プットが支払うのは、その2つの差 K−STK - S_T です。
❌ それはプットのペイオフだけです。 株は満期でもまだ $19 の価値があります。それをプットの $13 に足してください。
❌ それは株だけの価値です。 株の $19 に加えて、プットが $13 を支払います。
❌ 惜しい！ KK = 32、STS_T = 19 として PT=max⁡[0, K−ST]P_T = \max[0,\ K - S_T] を使ってください。
❌ 惜しい！ 満期での株の価値を、プットのペイオフに足してください。
解答を見る

満期におけるプットのペイオフ（1株あたりのドル）：

PT=max⁡[0, K−ST]=max⁡[0, 32−19]=13P_T = \max[0,\ K - S_T] = \max[0,\ 32 - 19] = 13

株とプットの合計：$19 + $13 = $32。STS_T が権利行使価格より下なら、いつでも ST+PT=ST+(K−ST)=KS_T + P_T = S_T + (K - S_T) = K なので、株価がどれだけ下がっても、この組み合わせの価値はちょうど $32 です。$36 から $32 までの最初の $4 の下落は免責額で、補償されません。

問2 · プットは値上がり益を手放すのか？

条件： ある株が $45 で取引されています。投資家Aは株1株と権利行使価格 $40 のプットを、投資家Bは株1株と価格 $45 の先物の売りポジションを持っています（キャリーコストは無視します）。満期に株価は $58 です。プットの価格は考えずに、満期における各ポジションの価値を求めてください。

投資家A（株＋プット）は？

投資家B（株＋先物の売り）は？

✅ 正解です！ プットは無価値のまま満期を迎え、Aは $58 をまるごと手にします。Bの先物は $13 の損失になり、Bは固定した $45 に戻ります。
❌ 権利行使価格は床で、天井ではありません。 $40 より上ではプットが権利行使されないだけで、株の価値はすべて保有者に残ります。
❌ それは先物によるヘッジの結果です。 価値を固定するのは先物のポジションだけです。プットはゼロまでは下がりますが、それより下にはなりません。
❌ プットのペイオフを確かめてください。 $76 は、プットが ST−KS_T - K を支払うかのように $18 を足しています。プットが支払うのは max⁡[0, K−ST]\max[0,\ K - S_T] で、ここではゼロです。
❌ 先物のポジションにもペイオフがあります。 価格 $45 の先物の売りは、価格が上がると損をします：$45 − $58 = −$13。
❌ 符号を確かめてください。 先物の売りは、価格が下がると利益が出て、上がると損をします。$58 では $13 の損失です。
❌ $40 はAのプットの権利行使価格です。 Bはプットを持っていません。先物の売りは、満期の株価がいくらであっても、先物価格の $45 に固定します。
❌ 惜しい！ 株とプットの合計の価値は max⁡[ST, K]\max[S_T,\ K] です。
❌ 惜しい！ 株と先物の売りの合計の価値は ST+(F−ST)=FS_T + (F - S_T) = F です。
解答を見る

投資家A。プットのペイオフは max⁡[0, 40−58]=0\max[0,\ 40 - 58] = 0 なので、株とプットの合計は $58 + $0 = $58 です。株価が上がるにつれてプットの価値はゼロまで下がりましたが、マイナスにはなりえないので、値上がり益は少しも手放していません。

投資家B。先物の売りのペイオフは F−STF - S_T で、$45 − $58 = −$13 です。株と先物の合計は $58 − $13 = $45。このヘッジに上限をかけているのは、先物の損失です。

Aの有利さはただではありません。Aはプットの価格を前払いしていて、この比較ではそれを考えていません。

問3 · 免責額とプレミアム

条件： ある株が $54 で取引されています。あなたは株1株と、権利行使価格 $49 のプットを $1.25 のプレミアムで買います（プレミアムにかかる金利は無視します）。満期までに起こりうる1株あたりの最大の損失と、この守られたポジションが、価格 $54 の先物の売りでヘッジした株を上回る満期の株価を求めてください（キャリーコストは無視します）。

プレミアムを含めた、1株あたりの最大の損失は？

守られたポジションが先物によるヘッジを上回るのは、満期の株価が：

✅ 正解です！ 最悪の場合は、$5 の免責額と $1.25 のプレミアムの合計です。そしてプットによるヘッジが先物を上回るには、先物で固定される $54 を、プレミアムを取り戻せるだけ超える必要があります。
❌ それは免責額だけです。 プレミアムも何が起きても戻ってこないので、最悪の場合の損失に加わります。
❌ プットが補償するのは、権利行使価格より下への下落だけです。 $54 から $49 までの最初の $5 の下落は免責額で、プレミアムに上乗せされます。
❌ プレミアムは費用で、受取ではありません。 免責額を打ち消すのではなく、免責額に加わります。
❌ 比べる相手は権利行使価格ではなく、先物によるヘッジです。 先物によるヘッジはどの株価でも $54 の価値があるので、プットのポジションは、プレミアムを差し引いたうえで $54 を超えなければなりません。
❌ プレミアムを忘れています。 権利行使価格より上では、守られたポジションの価値は STS_T から、すでに払った $1.25 を引いたものです。
❌ プレミアムは損益分岐点を下げるのではなく、上げます。 プットのポジションの価値は株だけの場合より $1.25 低いので、より高い株価が必要です。
❌ 惜しい！ 満期における株とプットの合計の最悪の値を求め、プレミアムを引いて、株に払った $54 と比べてください。
❌ 惜しい！ 権利行使価格より上でのプットのポジションの正味の価値 ST−1.25S_T - 1.25 を、先物によるヘッジの $54 と比べてください。
解答を見る

最悪の場合。株とプットの合計の価値は max⁡[ST, 49]\max[S_T,\ 49] ドルで、$49 を下回ることはありません。$1.25 のプレミアムを差し引くと、最悪の値は $49 − $1.25 = $47.75 で、1株あたりの損失は $54 − $47.75 = $6.25 です。これは免責額（$54 − $49 = $5）とプレミアムの合計です。

先物によるヘッジとの比較。株と価格 $54 の先物の売りの組み合わせは、どの株価でも $54 の価値があります。権利行使価格より下では、プットのポジションの価値は $47.75 で、これより小さくなります。権利行使価格より上では、その価値は ST−1.25S_T - 1.25 ドルで、

ST−1.25>54  ⟺  ST>55.25S_T - 1.25 > 54 \iff S_T > 55.25

したがって、守られたポジションが上回るのは、株価が $55.25 より上で終わったときだけです。上値を残すための代償は、プレミアムと、下落時の免責額です。

問4 · 指数に保険をかける

条件： ある投資家が、S&P500に連動するポートフォリオを持っていて、指数は1,250です（説明用の数字）。この投資家は、満期にしか権利行使できない、権利行使価格1,125の1か月物の指数のヨーロピアン・プットを買います。その後、指数は950まで下がります。守られたポジション（ポートフォリオ＋プット、プレミアム控除前）の下落率を求め、買った日にこのプットにどれだけの価値があったかを判断してください。

プレミアム控除前の、ポートフォリオ＋プットの下落率は？

買った日のヨーロピアン・プットの価値は：

✅ 正解です！ 権利行使価格は最初の水準より10%下にあるので、指数がどれだけ下がっても、守られたポジションの下落は10%です。そして満期に選べる権利は本物の保護なので、値段がつきます。
❌ それは保護のない場合の下落です。 1,250から950への下落は24%ですが、それに加えてプットが 1,125 − 950 = 175 ポイントを支払います。
❌ プットは単に下落率から10ポイントを差し引くわけではありません。 権利行使価格より下では、ポートフォリオ＋プットの価値はちょうど権利行使価格の1,125です。
❌ 権利行使価格は今日の水準より下にあります。 最初の125ポイントの下落は免責額で、投資家の負担です。
❌ 違いは権利行使日ではありません。 先物契約は、その日に双方に取引を義務づけます。プットの保有者は権利行使しなくてもかまわないので、保護を持っていることになり、その代金を払わなければなりません。
❌ 価値の源は早期の権利行使ではありません。 満期のペイオフ max⁡[0, K−ST]\max[0,\ K - S_T] は決してマイナスにならず、指数が権利行使価格より下で終われば必ずプラスになります。
❌ ヨーロピアン・プットも保護を与えます。 権利行使日は1日だけでも、その日に行使するかどうかは選択で、義務ではありません。
❌ 惜しい！ 権利行使価格より下では、ポートフォリオ＋プットの価値は権利行使価格に等しくなります。1,125と1,250を比べてください。
❌ 惜しい！ プットを持っていることで、満期に保有者が損をすることがありうるかを考えてください。
解答を見る

守られたポジション。950では、プットは max⁡[0, 1125−950]=175\max[0,\ 1125 - 950] = 175 ポイントを支払うので、ポートフォリオ＋プットの価値は 950+175=1125950 + 175 = 1125 ポイントです。下落率は

1250−11251250=1251250=10%\frac{1250 - 1125}{1250} = \frac{125}{1250} = 10\%

で、これは免責額 St−KS_t - K = 125 ポイントの、今日の水準に対する割合です。保護のないポートフォリオは 1250−9501250=24%\tfrac{1250 - 950}{1250} = 24\% 下がりました。

初日の価値。先物契約は、双方が取引を約束しているので、結んだ時点の価値はゼロです。ヨーロピアン・プットの保有者には、権利行使してもよい日が1日あります。指数が権利行使価格より下のときだけ権利行使するので、ペイオフは決してマイナスにならず、プラスになることもあります。売り手は本物の保護を提供しているので、プットにはプラスの価格がつき、それを前払いします。

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