ファイナンス理論 · 第12回 · 動画5 · インタラクティブ教材

オプション価格が語ること：コール・スプレッド、スパニング、VIX

I重要な公式

公式名称説明
Max[0, ST−50]−Max[0, ST−60]\text{Max}[0,\, S_T - 50] - \text{Max}[0,\, S_T - 60]50/60 のコール・スプレッドのペイオフ50より下ではゼロ、そこから1対1で上がり、60−50=1060 - 50 = 10 で頭打ちになる
C(50)−C(60)<C(50)C(50) - C(60) \lt C(50)コール・スプレッドの費用売った60のコールで受け取るプレミアムが、費用を下げる
Max[0, ST−50]−2 Max[0, ST−55]+Max[0, ST−60]\text{Max}[0,\, S_T - 50] - 2\,\text{Max}[0,\, S_T - 55] + \text{Max}[0,\, S_T - 60]50/55/60 のバタフライ・スプレッドのペイオフテントの形：ST=55S_T = 55 で頂点の5になり、決してマイナスにならない
C市場=C(St,K,τ,r,σ)C_{\text{市場}} = C(S_t, K, \tau, r, \sigma) を σ\sigma について解くインプライド・ボラティリティσ\sigma 以外の入力はすべて観察できる。価格は σ\sigma とともに上がるので、1つの価格から1つの σ\sigma が決まる

ポイント：オプションを1つ加えるたびに、その権利行使価格のところに折れ曲がりが1つ加わり、そこで傾きは、買ったオプション1枚につき1だけ増え、売ったオプション1枚につき1だけ減ります。適切な権利行使価格に十分な数の折れ曲がりを置けば、どんなペイオフでも近似できます。

IIスプレッドを1本ずつ分解する

スプレッドのペイオフは、それを構成する各オプションのペイオフの合計なので、株価を1つずつ取って確かめられます。

IIIスパニング：折れ曲がりでどんな曲線もたどれる

オプションを1つ加えるたびに、その権利行使価格に折れ曲がりが1つ加わります。権利行使価格が十分にあれば、直線の部分はどんなペイオフの曲線でもたどれます。

IVインプライド・ボラティリティ：モデルを逆向きに使う

オプション価格はボラティリティとともに上がるので、観察された市場価格の1つ1つに、ちょうど1つのインプライド・ボラティリティが対応します。

💡 VIXは、幅広い権利行使価格にわたる S&P 500 のプットとコールにこの逆算を当てはめ、市場の30日間の予想ボラティリティを、年率換算した標準偏差として示します。過去のリターンから計算するボラティリティが過去を振り返るのに対し、VIXは先を見ています。

V確認クイズ

問1 · コール・スプレッドのペイオフ

条件： あなたは、同じ株式・同じ満期で、権利行使価格 K=40K = 40 のコールを買い、権利行使価格 K=50K = 50 のコールを売ります。満期に ST=58S_T = 58 です。このポジションのペイオフを求めてください。

✅ 正解です！ 高いほうの権利行使価格より上では、スプレッドは 50−40=1050 - 40 = 10 で頭打ちです。
❌ それは買った40のコールだけです。 売ったコールで 58−50=858 - 50 = 8 を支払う必要もあります。
❌ それは売ったコールで支払う額で、ポジション全体のペイオフではありません。
❌ 売ったコールの符号を確かめましょう。 売ったコールのペイオフはマイナスの符号で入ります。あなたは受け取るのではなく、支払うのです。
❌ 惜しい！ ST=58S_T = 58 でそれぞれのオプションを評価し、合わせてください。
解答を見る
ペイオフ=Max[0, ST−40]−Max[0, ST−50]\text{ペイオフ} = \text{Max}[0,\, S_T - 40] - \text{Max}[0,\, S_T - 50] =Max[0, 58−40]−Max[0, 58−50]=18−8=10= \text{Max}[0,\, 58 - 40] - \text{Max}[0,\, 58 - 50] = 18 - 8 = 10

50より上では、買った40のコールで増えた1ドルが、そのまま売った50のコールで出ていくので、株価がどれだけ上がっても、ペイオフは最大値 50−40=1050 - 40 = 10 のままです。

問2 · 安いが、上限がある

条件： 権利行使価格70のコールは $5.40、権利行使価格85のコールは $1.90 です（同じ株式・同じ満期）。あなたは70のコールを買い、85のコールを売ります。純損益 = ペイオフ − 今日の費用 とし、プレミアムにかかる金利は無視します。

ST=80S_T = 80 でのコール・スプレッドの純損益は？

株価がいくらを超えると、70のコール単体のほうが、スプレッドより純損益が大きくなりますか？

✅ 正解です！ スプレッドの費用は $5.40 ではなく $3.50 です。その節約の代償は85より上の利益のすべてで、コール単体が上回るのは、株価が 85 + 1.90 = 86.90 を超えてからです。
❌ それは損益ではなく、ペイオフです。 ポジションの費用の分だけ、ペイオフを下にずらしてください。
❌ それは70のコールのプレミアムをまるごと引いています。 85のコールを売って受け取る $1.90 で、費用は $3.50 に下がります。
❌ 85のコールのプレミアムは、支払うのではなく受け取るものです。 両方のプレミアムを引いて 10 − 5.40 − 1.90 としています。オプションを売ると、今日お金が入ってきます。
❌ 85では、どちらのポジションもペイオフは同じ（15）ですが、コール単体は費用が $1.90 多くかかっているので、そこではまだ負けています。
❌ 埋めるべき差は85のコールのプレミアム（$1.90）で、スプレッドの費用 $3.50 ではありません。
❌ $75.40 は、コール単体の損益分岐点（70 + 5.40）で、スプレッドを追い越す点ではありません。
❌ 純損益を確かめましょう。 80でのペイオフは10、スプレッドの費用は 5.40 − 1.90 です。
❌ 交差する点を確かめましょう。 85より上で平らになるスプレッドの損益と、上がり続けるコール単体の損益を比べてください。
解答を見る

スプレッドの費用：$5.40 を支払い、$1.90 を受け取るので、正味の費用は $3.50 です。

ST=80S_T = 80 のとき：ペイオフ =Max[0, 80−70]−Max[0, 80−85]=10−0=10= \text{Max}[0,\, 80 - 70] - \text{Max}[0,\, 80 - 85] = 10 - 0 = 10 なので、純損益は 10 − 3.50 = $6.50 です。70のコール単体なら、ここでは 10 − 5.40 = $4.60 にしかなりません。

交差する点：85より上では、スプレッドの損益は 15 − 3.50 = 11.50 で平らです。コール単体の損益は ST−70−5.4S_T - 70 - 5.4 で、これが11.50を超えるのは ST>86.9S_T > 86.9、つまり $86.90 より上のときです。これは、85に、85のコールで受け取ったプレミアムを足したものです。

問3 · 折れ曲がりからバタフライを読み取る

条件： ある株式のコールで作ったペイオフは、40より下では0、傾き1で上がって ST=45S_T = 45 で5になり、傾き −1-1 で下がって ST=50S_T = 50 で0になり、50より上では0です。このポジションは $1.20 のプレミアムで買われます。

権利行使価格45には、どんなポジションがありますか？

ST=48S_T = 48 でのペイオフは？

純損益の最大値は？

✅ 正解です！ 40のコールを1枚買い、45のコールを2枚売り、50のコールを1枚買います。このテントは落ち着いた相場で支払い、ペイオフが決してマイナスにならないので、失いうるのはせいぜいプレミアムの $1.20 です。
❌ コールを1枚売るだけでは、傾きは平らになるだけです（+1+1 から 00 へ）。−1-1 にするには、傾きが2だけ下がらなければなりません。
❌ 45では傾きが下がっています。傾きが下がるのは、オプションを買ったときではなく、売ったときです。
❌ それは買った40のコールだけを数えています。 売った45のコール2枚は、それぞれ 48−45=348 - 45 = 3 かかります。
❌ 45ではコールを2枚売っているので、33 ではなく 2×32 \times 3 を引きます。
❌ 売ったコールはマイナスの符号で入ります。 それらで 2×3=62 \times 3 = 6 を支払うので、それを引いて 8−6=28 - 6 = 2 です。
❌ それはペイオフの頂点です。 純損益では $1.20 のプレミアムを引きます。
❌ プレミアムは受け取ったのではなく、支払ったものです。 頂点のペイオフ5から $1.20 を引いてください。
❌ $1.20 のプレミアムは、ポジション全体に対して1回だけ支払います。 5 − 1.20 です。
❌ 45での傾きの変化を確かめましょう。 +1+1 から −1-1 に変わります。
❌ 48でのペイオフを確かめましょう。 売ったコールを2回数えて、すべてのオプションを評価してください。
❌ 純損益を確かめましょう。 頂点のペイオフから、プレミアムを1回だけ引いてください。
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折れ曲がりから権利行使価格を読む。40では傾きが 0→10 \to 1 と上がるので、コールを1枚買います。45では 1→−11 \to -1 と下がるので、コールを2枚売ります。50では −1→0-1 \to 0 と上がるので、コールを1枚買います。

ペイオフ=Max[0, ST−40]−2 Max[0, ST−45]+Max[0, ST−50]\text{ペイオフ} = \text{Max}[0,\, S_T - 40] - 2\,\text{Max}[0,\, S_T - 45] + \text{Max}[0,\, S_T - 50]

ST=48S_T = 48 のとき：8−2×3+0=28 - 2 \times 3 + 0 = 2（下がっていく側で見ても 50−48=250 - 48 = 2 ✓）。

純損益の最大値：ペイオフの頂点は ST=45S_T = 45 での5なので、5 − 1.20 = $3.80 です。40より下や50より上ではペイオフは0なので、最悪の結果は $1.20 のプレミアムを失うことです。

問4 · オプション価格からボラティリティを読む

条件： あるコールの市場価格が $4.10 から $4.60 に上がりました。株価 StS_t、権利行使価格 KK、満期までの期間 τ\tau、金利 rr は変わっていません。これとは別に、2008年10月下旬のVIXは約 71%71\% で、S&P 500 の過去のボラティリティはおよそ 15%15\% から 20%20\% でした。

このコールのインプライド・ボラティリティはどうなりましたか？

VIXの71%という値は、何を示していましたか？

✅ 正解です！ 価格はボラティリティとともに上がるので、ほかの入力がすべて同じまま価格が上がれば、インプライド・ボラティリティも上がっています。VIXは、S&P 500 のオプションについて、この先を見た読み取りをまとめたものです。
❌ 逆です。 ボラティリティが高いほど、オプション価格は必ず高くなるので、価格の上昇が σ\sigma の低下から生じることはありえません。
❌ 何かが変わったはずです。 StS_t、KK、τ\tau、rr が固定なら、価格の上昇を説明できる入力は σ\sigma しか残っていません。
❌ 方向を知るのに公式はいりません。 価格は σ\sigma について増加するので、価格が高ければ σ\sigma も高いのです。モデルが必要なのは、正確な数値を求めるときだけです。
❌ それはヒストリカル・ボラティリティの説明で、過去を振り返るものです。VIXはオプション価格から逆算され、先を見ています。
❌ ボラティリティは標準偏差で、方向の予想ではありません。上下どちらであれ、指数がどれくらい動くと予想されているかを測るものです。
❌ 1年物のインプライド・ボラティリティは、ずっと低いものでした。市場は、1年のあいだにボラティリティが下がっていくと予想していたからです。
❌ 方向を確かめましょう。 オプション価格は σ\sigma について増加します。
❌ VIXが何を測っているかを確かめましょう。
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インプライド・ボラティリティ。価格モデルでは C=C(St,K,τ,r,σ)C = C(S_t, K, \tau, r, \sigma) で、σ\sigma が高いほど価格は必ず高くなります。StS_t、KK、τ\tau、rr が変わらないなら、$4.10 から $4.60 に上がった市場価格にモデルを合わせる方法は、σ\sigma を大きくすることしかありません。インプライド・ボラティリティは上がったのです。

VIX。VIXは、S&P 500 のオプション価格から逆算した、S&P 500 の30日間の予想ボラティリティを、年率換算した標準偏差で表したものです。71%という値を過去の範囲と比べると、次のようになります。

7120=3.55,7115≈4.73\frac{71}{20} = 3.55, \qquad \frac{71}{15} \approx 4.73

つまり市場は、これからの1か月に、ふだんよりはるかに激しい荒れ模様を覚悟していました。VIXは方向については何も語りませんし、1年物のインプライド・ボラティリティはずっと低いものでした。

正解数：0 / 4