ファイナンス理論 · 第12回 · 動画8 · インタラクティブ教材

オプション価格はなぜリスク選好に左右されないのか

I重要な公式

公式名称説明
CT=max⁡[ST−K, 0]C_T = \max[S_T - K,\ 0]満期におけるコールのペイオフ株価が STS_T、権利行使価格が KK のとき、時点 TT にコールが支払う額
Et[max⁡[ST−K, 0]]E_t\big[\max[S_T - K,\ 0]\big]期待ペイオフSTS_T の確率法則が必要です。これはペイオフの期待値であって、まだ価格ではありません
12σ2S2∂2C∂S2+rS∂C∂S+∂C∂t=rC\tfrac{1}{2}\sigma^2 S^2 \dfrac{\partial^2 C}{\partial S^2} + rS\dfrac{\partial C}{\partial S} + \dfrac{\partial C}{\partial t} = rCブラック＝ショールズ＝マートンの方程式（1973年）株価、時間、金利 rr、ボラティリティ σ\sigma を含みます。株式の期待リターンとリスク選好は出てきません
C(S,T)=max⁡[S−K, 0],C(0,t)=0C(S,T) = \max[S - K,\ 0], \quad C(0,t) = 0境界条件満期にはコールの価値はそのペイオフに等しく、株価がゼロならコールの価値はどの時点でもゼロです

ポイント：ヘッジしてリスクのなくなったポジションは、無リスク金利を稼ぐしかなく、ペイオフがゼロならコストもゼロでなければなりません。そうでなければ裁定機会が生まれます。ですから、ボラティリティについて意見が一致する2人の投資家は、見通しやリスクに対する態度がどうであれ、価格でも一致します。

II期待ペイオフはまだ価格ではない

期待ペイオフを今日の価値に変えるには割引率が必要で、その割引率には投資家のリスクに対する態度が入り込みます。

III投資家ごとに異なる価値の70年

1961年から1969年まで、どのオプション価値にも投資家ごとに異なる材料が入っていました。1973年、それが取り除かれました。

IVリスクがなければ無リスク金利を稼ぐしかない

無リスク金利以外のリターンを生む価格がついた無リスクのポジションは、どの投資家にとっても元手なしの利益になります。

💡 1973年の方程式は、オプションと株式からなり、リスクがなくなるように比率を調整し続けるポートフォリオにこの条件を課すことで得られます。次の回では、この議論のいちばん単純な形、二項モデルをくわしく見ていきます。

V確認クイズ

問1 · コールの期待ペイオフ

条件： 権利行使価格$50の、満期1年のコールがあります（説明用の数値）。投資家たちは、1年後の株価 STS_T が$40、$50、$60、$70のいずれかで、それぞれの確率が 14\tfrac{1}{4} であることで一致しています。期待ペイオフ Et[max⁡[ST−K, 0]]E_t\big[\max[S_T - K,\ 0]\big] を求めてください。

✅ 正解です！ コールは4つの結果でそれぞれ$0、$0、$10、$20を支払い、その合計の4分の1が$7.50です。これは期待ペイオフであって、まだ価格ではありません。
❌ 惜しい！ それは平均株価でのペイオフ、$55 − $50 です。株価が低い結果では、コールはマイナスの額ではなく何も支払わないだけなので、平均すべきなのは株価ではなくペイオフです。
❌ 惜しい！ それはコールが支払う2つの結果だけを平均しています。$0を支払う結果にも、確率の半分があります。
❌ 惜しい！ それはペイオフを重みづけせずに足しています。各結果の確率は 14\tfrac{1}{4} です。
❌ 惜しい！ それぞれの結果でのペイオフを求め、それを確率で重みづけしましょう。
解答を見る

KK が$50のとき、4つの結果でのペイオフ max⁡[ST−K, 0]\max[S_T - K,\ 0] は、$0（株価$40）、$0（株価$50）、$10（株価$60）、$20（株価$70）です。

それぞれを 14\tfrac{1}{4} で重みづけすると、期待ペイオフ = ¼ × ($0 + $0 + $10 + $20) = $7.50 です。

平均株価でのペイオフ $55 − $50 = $5 の方が小さくなります。コールのペイオフはゼロより下がらないので、株価が低い結果でも保有者は何も失わないからです。

問2 · 期待ペイオフから価値へ

条件： 2人の投資家が、すべての確率と、1年後のオプションの期待ペイオフ$12について意見が一致しています。慎重な投資家は、オプションのリスクを負う見返りに25%のリターンを求め、大胆な投資家は10%を求めます。慎重な投資家がつけるオプションの今日の価値を求めてください。

✅ 正解です！ $12 ÷ 1.25 = $9.60 です。一方、大胆な投資家は $12 ÷ 1.10 ≈ $10.91 になります。確率は1組なのに価値は2つで、1つの市場価格は出てきません。
❌ 惜しい！ $12 × 1.25 はペイオフを1年先へ進めています。今日の価値は割り引いて求めます。1+k1 + k で割りましょう。
❌ 惜しい！ それは期待ペイオフを価格として扱っています。まだ割り引く必要があり、その割引率は、投資家がリスクの見返りにどれだけのリターンを求めるかで決まります。
❌ 惜しい！ それは大胆な投資家の10%で割り引いています。慎重な投資家は25%を求めるので、オプションをより低く評価します。
❌ 惜しい！ 期待ペイオフを、慎重な投資家の要求収益率で1年分割り引きましょう。
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今日の価値は、期待ペイオフを、投資家がオプションのリスクを負う見返りに求めるリターンで割り引いたものです：

V=Et[ペイオフ]1+kV = \frac{E_t[\text{ペイオフ}]}{1 + k}

慎重な投資家（k=25%k = 25\%）：$12 ÷ 1.25 = $9.60

大胆な投資家（k=10%k = 10\%）：$12 ÷ 1.10 ≈ $10.91

2人はすべての確率で一致しているのに、約$1.31離れた価値にたどり着きます。これが、スプレンクルも、サミュエルソンも、サミュエルソンとマートンも越えられなかった壁です。価値が投資家の選好に左右されていたのです。

問3 · 1973年の方程式に出てこないもの

条件： 投資家Aは株式のリターンを年15%と予想していて、慎重です。投資家Bは年3%と予想していて、大胆です。2人とも、ボラティリティが σ=30%\sigma = 30\%、金利が r=4%r = 4\% であることで一致していて、同じヨーロピアン・コールを見ています。

ブラック＝ショールズ＝マートンの方程式とその境界条件に出てこないのはどれですか？

2人の投資家がつけるコールの価格について、何が言えますか？

✅ 正解です！ 方程式とその境界条件に出てくるのは SS、KK、tt、rr、σ\sigma だけです。AとBはそのすべてで一致しているので、株価がどちらへ向かうと考えるか、リスクをどう感じるかにかかわらず、価格でも一致します。
❌ 惜しい！ rr と σ\sigma は方程式そのものに入っていて、KK は満期の境界条件を通じて入ってきます。1973年より前の試みにあった入力のうち、欠けているのはどれでしょうか？
❌ 惜しい！ それは1973年より前の見方です。株式の期待リターンは方程式に出てこないので、より楽観的な見通しを持っても価格は上がりません。
❌ 惜しい！ リスク選好が入っていたスプレンクルやサミュエルソンの価値なら、そう言えたでしょう。1973年の方程式には、リスク選好は何も入っていません。
❌ 惜しい！ リスク選好を必要としなくなったことこそが、1973年の成果です。方程式には、リスク選好を表すものは何も出てきません。
❌ 惜しい！ 方程式に必要なものを書き出し、そのうちどれについて2人の意見が分かれているかを確かめましょう。
解答を見る
12σ2S2∂2C∂S2+rS∂C∂S+∂C∂t=rC,C(S,T)=max⁡[S−K, 0],C(0,t)=0\tfrac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} + rS\frac{\partial C}{\partial S} + \frac{\partial C}{\partial t} = rC, \qquad C(S,T) = \max[S - K,\ 0], \quad C(0,t) = 0

入力は、方程式に出てくる株価 SS、時間 tt（と満期 TT）、金利 rr、ボラティリティ σ\sigma と、満期の境界条件に出てくる権利行使価格 KK です。株式の期待リターンは出てこず、リスク選好を表すものも何も出てきません。

AとBが違うのは、期待リターン（15%と3%）とリスクに対する態度だけで、σ\sigma と rr では一致しています。ですから、ボラティリティについて意見が一致している限り、オプションの価格でも一致しなければなりません。

問4 · 価格を誤った無リスクのポジション

条件： あるポジションはリスクがなく、1年後に確実に$52を支払います。無リスク金利は年4%で、その金利で借りることも貸すこともできます。このポジションは今日$53で取引されています。この問題では利息も計算に入れます。

どのような裁定取引ができますか？

1年後に確定する無リスクの利益はいくらですか？

✅ 正解です！ リスクがないので、このポジションの価格は $52 ÷ 1.04 = $50 のはずです。$53では4%より低いリターンしか生まないので、売って$53を貸し、$55.12を受け取って、支払うべき$52を払います。慎重な投資家にも大胆な投資家にも、$3.12が残ります。
❌ 惜しい！ 4%で借りた$53で買うと、受け取る$52に対して$55.12を返済することになり、確実に損をします。このポジションは割安ではなく割高です。
❌ 惜しい！ このポジションにはリスクがないので、リスク選好が価格に反映される余地はありません。お金は少ないより多い方がよいと考える投資家なら、誰でも同じ側に立ちます。
❌ 惜しい！ $53 − $52 は、貸した$53に4%でつく利息を無視しています。
❌ あと一歩！ $53 − $50 は今日の時点で測った利益です。1年後には4%で増えています。
❌ 惜しい！ $2.12は貸した$53につく利息で、利益の一部にすぎません。支払うべき$52を上回って受け取った分も数えます。
❌ 惜しい！ $53を、このポジションがちょうど4%を稼ぐ価格と比べましょう。
❌ 惜しい！ 受け取った$53を4%で増やし、満期に支払うべき$52を引きましょう。
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無裁定価格 リスクのないポジションは無リスク金利を稼ぐしかありません：$52 ÷ 1.04 = $50。$53でのリターンは $52 ÷ $53 − 1 ≈ −1.89% で4%より低いので、割高です。

取引 ポジションを売って（ショートして）$53を受け取り、その$53を4%で貸します。今日、自分のお金は何も投じていません。

1年後 貸したお金は $53 × 1.04 = $55.12 になって戻ってきます。ポジションが支払うべき$52を払います。利益は $55.12 − $52 = $3.12 で、これは今日の$3の差が4%で増えたものです（$3 × 1.04 = $3.12）。

この利益には、株式の期待リターンについての見方も、リスクに対する態度も必要ありません。これはマートンの議論の縮図です。リスクのないポジションは無リスク金利を稼ぐしかなく、ペイオフがゼロのポジションのコストはゼロでなければなりません。そうでなければ、どちらかの側が裁定機会になります。

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