ファイナンス理論 · 第13回 · 動画1 · インタラクティブ教材

一回のコイン投げと六つの入力：二項オプション・モデルの設定

I重要な公式

公式	名称	説明
$S_1 = uS_0$ （確率 $p$ ） $S_1 = dS_0$ （確率 $1-p$ ） $u > d$	一期間の株価の動き	明日の株価はベルヌーイ試行で決まります。 $u$ と $d$ はグロスの倍率なので、10%の上昇は $u = 1.1$ 、10%の下落は $d = 0.9$ です。大きい方の倍率を $u$ と呼ぶのは、名前の付け方の約束にすぎません。
$C_u = \text{Max}[uS_0 - K,\ 0]$ $C_d = \text{Max}[dS_0 - K,\ 0]$	明日のコールのペイオフ	コールは明日満期を迎えるので、明日の価値はそのままペイオフです。それぞれのペイオフは、それを生む株価の動きと同じ確率、 $p$ または $1-p$ で実現します。
$\dfrac{E[S_1]}{S_0} = pu + (1-p)d$	グロスの期待収益率	$u = 1.1$ 、 $d = 0.99$ のグロース株では $0.99 + 0.11p$ となり、 $p > \tfrac{1}{11}$ なら1を上回ります。
$C_0 = f(S_0,\ K,\ u,\ d,\ p,\ r)$	今日のコール価格	入力の候補は6つです。 $r$ は今日から明日までのグロスの無リスク金利で、 $r = 1 + \text{ネットの金利}$ です。6つのうち1つは、余分であることがわかります。

ポイント：明日の株価が2つの値しかとらないなら、オプションも2つの値しかとりません。確率 $p$ と $1-p$ の和は1でなければなりませんが、 $u$ と $d$ の和には何の制約もなく、1をはさんでいる必要さえありません。

II2つの株価、2つのコールのペイオフ

明日の2つの株価 $uS_0$ と $dS_0$ が、コールの2つのペイオフ $C_u$ と $C_d$ を決めます。

IIIコイン投げのグロスの期待収益率

$u$ と $d$ に $p$ と $1-p$ でウェイトをかけると株式のグロスの期待収益率が求まり、そこからドリフトの向きがわかります。

株式

IV確認クイズ

問1 · コールの2つのペイオフ

条件： ある株式の今日の株価は $30 で、明日は $uS_0$ か $dS_0$ になります。ここで $u = 1.2$ 、 $d = 0.8$ です。この株式に対する権利行使価格 $27 のコールが、明日満期を迎えます。コールのペイオフ $C_u$ と $C_d$ を求めてください。

✅ 正解です！ コールがイン・ザ・マネーになるのは上昇状態だけです。上昇状態では $9 を支払い、下落状態では何も支払いません。

❌ それは株式の2つの価格です。 コールが支払うのは株価から権利行使価格を引いた額で、それもプラスのときだけです。

❌ 惜しいですが、コールのペイオフがマイナスになることはありません。 下落状態では株価は $24 で、権利行使価格の $27 を下回るので、保有者はコールを行使せずに満期を迎えさせます：

C_d = \text{Max}[dS_0 - K,\ 0] = 0

。

❌ 惜しい！ $3 は今日の株価から権利行使価格を引いた額です。ペイオフに使うのは明日の株価

uS_0

で、

S_0

ではありません。

❌ 惜しい！ まず

uS_0

と

dS_0

を計算し、それぞれに

\text{Max}[S_1 - K,\ 0]

を当てはめてください。

解答を見る

明日の2つの株価は、 $uS_0 = 1.2 \times 30 = 36$ ドルと $dS_0 = 0.8 \times 30 = 24$ ドルです。

C_u = \text{Max}[36 - 27,\ 0] = 9, \qquad C_d = \text{Max}[24 - 27,\ 0] = \text{Max}[-3,\ 0] = 0

したがって、コールは株価が上がれば $9、下がれば $0 を支払います。

問2 · ネットの変化率ではなくグロスの倍率

条件： 今日 $120 の株式が、明日までに35%上がるか15%下がるかのどちらかになります。この株式に対する権利行使価格 $90 のコールが、明日満期を迎えます。倍率 $u$ 、 $d$ と、下落状態のペイオフ $C_d$ を求めてください。

u と d はいくつですか？

下落状態のペイオフはいくらですか？

✅ 正解です！ 15%の下落は株価を

d = 0.85

倍にするので $102 が残り、まだ権利行使価格を $12 上回ります。

❌ それはネットの変化率です。 このモデルでは、今日の株価にグロスの倍率を掛けます：

u = 1 + 0.35

、

d = 1 - 0.15

です。

❌ 惜しいですが、 $d$ もグロスの倍率です。 15%下がっても株価の85%は残るので、

d = 1 - 0.15 = 0.85

で、

0.15

ではありません。

❌ 名前が逆です。 約束として

u > d

なので、大きい方の倍率1.35が

u

です。

❌ $d$ を確かめてください。

d = 0.15

なら株価は $18 まで下がり、コールは何も支払いません。しかし15%の下落なら、残るのは

dS_0 = 0.85 \times 120 = 102

ドルです。

❌ 惜しい！ $30 は今日の株価から権利行使価格を引いた額です。下落状態のペイオフには

dS_0

を使います。

❌ それは $C_u$ です。 上昇状態では株価は $162 で、コールは $72 を支払います。下落状態の株価は $102 です。

❌ 倍率を確かめてください。

x

%の上昇なら

u = 1 + x/100

、

y

%の下落なら

d = 1 - y/100

です。

❌ ペイオフを確かめてください。

\text{Max}[dS_0 - K,\ 0]

を、グロスの倍率

d

で計算してください。

解答を見る

倍率： $u = 1 + 0.35 = 1.35$ 、 $d = 1 - 0.15 = 0.85$ です。約束どおり $u > d$ となっています。

明日の株価： $uS_0 = 1.35 \times 120 = 162$ ドルと $dS_0 = 0.85 \times 120 = 102$ ドルです。

C_d = \text{Max}[102 - 90,\ 0] = 12, \qquad C_u = \text{Max}[162 - 90,\ 0] = 72

コールはどちらの状態でもイン・ザ・マネーです。下落後には $12、上昇後には $72 を支払います。

問3 · 期待収益率とドリフト

条件： ある株式のグロスの倍率は $u = 1.15$ と $d = 0.95$ で、上がる確率は $p = 0.4$ です。グロスの期待収益率 $E[S_1]/S_0$ と、株価が上向きにドリフトするために $p$ が上回らなければならない基準値を求めてください。

グロスの期待収益率はいくつですか？

株価が上向きにドリフトするのは、p が次の値を上回るときです

✅ 正解です！

E[S_1]/S_0 = 0.95 + 0.20p

は

p = 0.4

で1.03、つまり期待される上昇は3%です。そしてこれが1を上回るのは、ちょうど

p > \tfrac{1}{4}

のときです。

❌ それは $u$ と $d$ の単純平均です。 それが正しいのは公正なコインのときだけです。ここでは上昇の確率は0.5ではなく0.4です。

❌ 確率が入れ替わっています。

p = 0.4

は上昇

u

に、

1 - p = 0.6

は下落

d

に対応します。

❌ それは上昇状態の項だけです。

pu = 0.46

には下落が入っていません。

(1-p)d = 0.6 \times 0.95 = 0.57

を足してください。

❌ 惜しい！ 倍率は1を中心に対称である必要はありません。ここでは15%の上昇に対して下落は5%しかないので、もっと小さい

p

でもう釣り合いが上向きに傾きます。

❌ 惜しいですが、それは $(u-1)/(u-d)$ です。

0.95 + 0.20p > 1

を

p

について解いてください。基準値は

(1-d)/(u-d)

です。

❌ 惜しい！

1 - d = 0.05

を、さらに

u - d = 0.20

で割る必要があります。

❌ 期待値を確かめてください。 それぞれのグロスの倍率に、その確率でウェイトをかけます：

pu + (1-p)d

。

❌ 基準値を確かめてください。

d + (u-d)p = 1

とおいて、

p

について解いてください。

解答を見る

グロスの期待収益率：

\frac{E[S_1]}{S_0} = pu + (1-p)d = 0.4 \times 1.15 + 0.6 \times 0.95 = 0.46 + 0.57 = 1.03

期待される上昇は3%です。

ドリフトの基準値：期待値を $d + (u - d)p = 0.95 + 0.20p$ と書き直します。これが1を上回るのは、次のときです。

0.20p > 0.05 \quad\Longleftrightarrow\quad p > \frac{1-d}{u-d} = \frac{0.05}{0.20} = \frac{1}{4}

$p = 0.4 > \tfrac{1}{4}$ なので株価は上向きにドリフトし、上で求めた3%と整合します。

問4 · 同じツリー、違うペイオフ

条件： 今日 $60 の株式が、明日は $uS_0$ か $dS_0$ になります。ここで $u = 1.15$ 、 $d = 0.75$ です。権利行使価格 $63 のプットが明日満期を迎え、 $\text{Max}[K - S_1,\ 0]$ を支払います。上昇状態と下落状態でのペイオフ $P_u$ と $P_d$ を求めてください。

✅ 正解です！ 同じ2つの株価 $69 と $45 を、別のペイオフのルールに入れています。プットが支払うのは下落状態だけです。

❌ それはコールのペイオフです。 この権利行使価格のコールは、株価が $69 に上がると $6 を支払います。プットが支払うのは、株価が権利行使価格を下回って終わるときです。

❌ 惜しいですが、プットのペイオフもマイナスになることはありません。 株価が $69 で権利行使価格の $63 を上回るなら、プットは行使されずに満期を迎えます：

P_u = 0

。

❌ 惜しい！ $3 は権利行使価格から今日の株価を引いた額です。下落状態のペイオフには

dS_0 = 45

ドルを使います。

❌ 惜しい！

uS_0

と

dS_0

を計算し、それぞれに

\text{Max}[K - S_1,\ 0]

を当てはめてください。

解答を見る

明日の株価は、 $uS_0 = 1.15 \times 60 = 69$ ドルと $dS_0 = 0.75 \times 60 = 45$ ドルです。

P_u = \text{Max}[63 - 69,\ 0] = 0, \qquad P_d = \text{Max}[63 - 45,\ 0] = 18

ここでも、明日の株価が2通りなら明日のオプションの値も2通りで、それぞれはその背後にある株価の動きと同じ確率で実現します：$0 は確率 $p$ で、$18 は確率 $1 - p$ で実現します。

正解数：0 / 4