ファイナンス理論 · 第13回 · 動画2 · インタラクティブ教材

コールを複製して価格を求める：複製ポートフォリオと消える確率

I重要な公式

公式名称説明
V0=S0Δ+BV_0 = S_0\Delta + B今日のポートフォリオのコスト株式 Δ\Delta 株と、BB ドル分の無リスク債です。Δ<0\Delta < 0 は空売り、B<0B < 0 は借入を表します
uS0Δ+rB=Cu,dS0Δ+rB=CduS_0\Delta + rB = C_u,\quad dS_0\Delta + rB = C_dペイオフを一致させる条件Δ\Delta と BB に関する2つの一次方程式です。債券の部分はどちらの状態でも rBrB を支払い、u>du > d なので解はただ1つに決まります
Δ∗=Cu−Cd(u−d)S0,B∗=uCd−dCu(u−d) r\Delta^* = \dfrac{C_u - C_d}{(u-d)S_0},\quad B^* = \dfrac{uC_d - dC_u}{(u-d)\,r}複製ポートフォリオΔ∗\Delta^* は、コールのペイオフの差を株価の差で割ったものです。コールでは Δ∗≥0\Delta^* \ge 0 です
C0=S0Δ∗+B∗=1r(r−du−d Cu+u−ru−d Cd)C_0 = S_0\Delta^* + B^* = \dfrac{1}{r}\left(\dfrac{r-d}{u-d}\,C_u + \dfrac{u-r}{u-d}\,C_d\right)無裁定によるコール価格使うのは S0S_0、KK（CuC_u、CdC_d を通じて）、uu、dd、rr で、pp は使いません

ポイント：rr はグロスの無リスク収益率です（3%の金利なら r=1.03r = 1.03）。今日の1ドル分の債券は明日 rr ドルを支払うので、割り引くときは rr で割り、1+r1 + r で割ることはありません。ポートフォリオは上昇状態でも下落状態でもコールと一致するので、それぞれの状態がどれだけ起こりやすいかは、そのコストにまったく入ってきません。

IIコールの2つのペイオフを通る1本の直線

ポートフォリオが明日支払う ΔS1+rB\Delta S_1 + rB は、S1S_1 について直線になります。複製とは、この直線をコールの2つのペイオフの両方に通すことです。

IIIp で意見が分かれても、価格では一致する

pp について意見が違っても、uu と dd について意見が一致している2人の投資家は、コールの価格でも一致するはずです。

IV確認クイズ

問1 · 何株持てばよいか

条件： ある株式の今日の株価は $25 で、明日は uS0u S_0 か dS0d S_0 のどちらかになります。ここで u=1.4u = 1.4、d=0.8d = 0.8 です。この株式に対するコールの権利行使価格は $26 で、明日満期を迎えます。グロスの無リスク収益率は r=1.05r = 1.05 です。コールを複製するポートフォリオの株数 Δ∗\Delta^* を求めてください。

✅ 正解です！ コールのペイオフの差は $9、株価の差は $15 なので、5分の3株がちょうどコールと同じだけ動きます。
❌ S0S_0 の因子が抜けています。 $9 を u−d=0.6u - d = 0.6 で割るだけでは、S0S_0 が抜けています。株価の差は (u−d)S0(u - d)S_0 = $15 です。
❌ 分母が違います。 S0S_0 で割ると、コールの差を今日の株価と比べることになります。Δ∗\Delta^* は、それを2つの状態のあいだの株価の差 uS0−dS0uS_0 - dS_0 と比べたものです。
❌ それは上昇時の株価だけで割っています。 Cu/(uS0)C_u / (uS_0) は下落状態を無視しています。複製では、2つの状態のあいだの差を一致させなければなりません。
❌ 惜しい！ Δ∗=(Cu−Cd)/((u−d)S0)\Delta^* = (C_u - C_d)/((u-d)S_0) を使ってください。
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明日の株価は uS0uS_0 = $35 と dS0dS_0 = $20 なので、コールは Cu=max⁡[35−26, 0]=9C_u = \max[35 - 26,\ 0] = 9 ドルと Cd=max⁡[20−26, 0]=0C_d = \max[20 - 26,\ 0] = 0 を支払います。

Δ∗=Cu−Cd(u−d)S0=9−0(1.4−0.8)⋅25=915=0.6\Delta^* = \frac{C_u - C_d}{(u-d)S_0} = \frac{9 - 0}{(1.4 - 0.8)\cdot 25} = \frac{9}{15} = 0.6

コールの差を株価の差で割るので、$9 ÷ $15 です。金利 rr は Δ∗\Delta^* に入ってきません。2つの一致条件を引き算すると、債券の項が打ち消し合うからです。

問2 · 債券の部分とグロスの金利

条件： ある株式の株価は $48 で、明日は uS0uS_0 か dS0dS_0 になります。ここで u=1.25u = 1.25、d=0.75d = 0.75 です。権利行使価格 $48 のコールが明日満期を迎えるので、Δ∗=0.5\Delta^* = 0.5 です。グロスの無リスク収益率は r=1.02r = 1.02（金利2%）です。債券のポジション B∗B^* とコールの価格 C0C_0 を求めてください。

B∗B^* はいくらですか？

C0C_0 はいくらですか？

✅ 正解です！ 今日約 $17.65 を借り（明日 $18 を返済）、半株を $24 で買います。ポートフォリオのコストは約 $6.35 で、それがコールの価格です。
❌ 符号を確かめてください。 下落状態ではコールは何も支払いませんが、半株にはまだ $18 の価値があります。債券はその $18 を打ち消さなければならないので、借入になります：B∗<0B^* < 0。
❌ それは明日の返済額 rB∗rB^* です。 グロスの収益率で割ってください：B∗=−18/1.02B^* = -18/1.02。
❌ rr はすでにグロスです。 1+r=2.021 + r = 2.02 で割ると、1を二重に数えることになります。公式では r=1.02r = 1.02 で割ります。
❌ B∗B^* はマイナスです。 コストは S0Δ∗+B∗S_0\Delta^* + B^* = $24 + (−$17.65) で、$24 + $17.65 ではありません。
❌ それは B=−18B = -18 を使っています。 $18 は明日の返済額です。今日借りる額は、$18 を r=1.02r = 1.02 で割ったものです。
❌ それは株式の部分だけです。 半株のコストは $24 ですが、ポートフォリオは借入もするので、そのぶんコストが下がります。
❌ 惜しい！ B∗=(uCd−dCu)/((u−d) r)B^* = (uC_d - dC_u)/((u-d)\,r) に r=1.02r = 1.02 を入れて計算してください。
❌ 惜しい！ コールの価格は、ポートフォリオのコスト S0Δ∗+B∗S_0\Delta^* + B^* です。
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明日の株価は $60 と $36 なので、CuC_u = 12 ドル、CdC_d = 0 です。すると

B∗=uCd−dCu(u−d) r=1.25⋅0−0.75⋅120.5⋅1.02=−90.51≈−17.65B^* = \frac{uC_d - dC_u}{(u-d)\,r} = \frac{1.25\cdot 0 - 0.75\cdot 12}{0.5 \cdot 1.02} = \frac{-9}{0.51} \approx -17.65

となり、ポートフォリオは今日約 $17.65 を借りて、明日 rB∗rB^* = $18 を返済します。下落状態を確かめると、半株の価値 $18 から返済の $18 を引いて $0 = CdC_d です。上昇状態では $30 − $18 = $12 = CuC_u です。

C0=S0Δ∗+B∗=48⋅0.5−90.51≈24−17.65=6.35C_0 = S_0\Delta^* + B^* = 48 \cdot 0.5 - \frac{9}{0.51} \approx 24 - 17.65 = 6.35

閉じた形の公式でも同じになります：11.02(1.02−0.750.5⋅12+1.25−1.020.5⋅0)=6.481.02≈6.35\frac{1}{1.02}\left(\frac{1.02 - 0.75}{0.5}\cdot 12 + \frac{1.25 - 1.02}{0.5}\cdot 0\right) = \frac{6.48}{1.02} \approx 6.35

問3 · 価格を求め、予想は無視する

条件： ある株式の株価は $60 で、明日は uS0uS_0 か dS0dS_0 になります。ここで u=1.2u = 1.2、d=0.9d = 0.9 です。アナリストは、上昇の確率を p=0.7p = 0.7 と見ています。権利行使価格 $50 のコールが明日満期を迎え、グロスの無リスク収益率は r=1.04r = 1.04 です。Δ∗\Delta^* とコールの価格 C0C_0 を求めてください。

Δ∗\Delta^* はいくつですか？

C0C_0 はいくらですか？

✅ 正解です！ コールはどちらの状態でもイン・ザ・マネーで終わるので、ちょうど1株と、$50 を返済する借入で複製できます：C0=60−50/1.04≈11.92C_0 = 60 - 50/1.04 \approx 11.92 ドルで、これは pp がいくつであっても変わりません。
❌ 分母が違います。 株価の差は uS0−dS0uS_0 - dS_0 = $18 で、S0S_0 = $60 ではありません。
❌ それは Cu/S0C_u / S_0 です。 複製では、状態間の差を一致させます：(Cu−Cd)/(uS0−dS0)(C_u - C_d)/(uS_0 - dS_0)。
❌ S0S_0 の因子が抜けています。 (Cu−Cd)/(u−d)=18/0.3(C_u - C_d)/(u - d) = 18/0.3 を、さらに S0S_0 = 60 で割る必要があります。
❌ それはペイオフに p=0.7p = 0.7 でウェイトをかけています。 複製ポートフォリオは、どちらの状態になっても CuC_u と CdC_d をそのとおりに支払うので、そのコストに pp は関係ありません。この予想は、惑わせるための情報です。
❌ 割り引いていません。 12.40は、閉じた形の公式のかっこの中の値です。さらに r=1.04r = 1.04 で割る必要があります。
❌ それは S0−KS_0 - K です。 借入は明日 KK を返済するので、今日の価値は K/rK/r にすぎません。ここでのコールの価値は S0−K/rS_0 - K/r です。
❌ 惜しい！ Δ∗=(Cu−Cd)/((u−d)S0)\Delta^* = (C_u - C_d)/((u-d)S_0) を使ってください。
❌ 惜しい！ C0=S0Δ∗+B∗C_0 = S_0\Delta^* + B^* か、閉じた形の公式を使ってください。どちらにも pp は入っていません。
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明日の株価は $72 と $54 なので、CuC_u = 22 ドル、CdC_d = 4 ドルです。コールはどちらの状態でもペイオフがあります。

Δ∗=22−4(1.2−0.9)⋅60=1818=1,B∗=1.2⋅4−0.9⋅220.3⋅1.04=−150.312≈−48.08\Delta^* = \frac{22 - 4}{(1.2 - 0.9)\cdot 60} = \frac{18}{18} = 1, \qquad B^* = \frac{1.2\cdot 4 - 0.9\cdot 22}{0.3\cdot 1.04} = \frac{-15}{0.312} \approx -48.08

1株と、明日 rB∗=−15/0.3=−50rB^* = -15/0.3 = -50 ドルを返済する借入の組み合わせです。上昇時は $72 − $50 = $22、下落時は $54 − $50 = $4 で、どちらも一致します。

C0=60⋅1−150.312≈60−48.08=11.92,11.04(1.04−0.90.3⋅22+1.2−1.040.3⋅4)=12.41.04≈11.92C_0 = 60 \cdot 1 - \frac{15}{0.312} \approx 60 - 48.08 = 11.92, \qquad \frac{1}{1.04}\left(\frac{1.04 - 0.9}{0.3}\cdot 22 + \frac{1.2 - 1.04}{0.3}\cdot 4\right) = \frac{12.4}{1.04} \approx 11.92

アナリストの p=0.7p = 0.7 は、どこにも使われていません。

問4 · プットを複製する

条件： ある株式の株価は $30 で、明日は uS0uS_0 か dS0dS_0 になります。ここで u=1.3u = 1.3、d=0.9d = 0.9 で、グロスの無リスク収益率は r=1.02r = 1.02 です。権利行使価格 $30 のプットが明日満期を迎え、max⁡[K−S1, 0]\max[K - S_1,\ 0] を支払います。同じ2つの一致条件が、プットのペイオフ PuP_u、PdP_d を CuC_u、CdC_d の代わりに使って成り立ちます。複製ポートフォリオとプットの価格 P0P_0 を求めてください。

プットを複製するポートフォリオはどれですか？

P0P_0 はいくらですか？

✅ 正解です！ プットは株価が下がったときに支払うので、その複製は株式の売りポジションと債券の買いポジションになります：Δ∗=−0.25\Delta^* = -0.25、B∗≈9.56B^* \approx 9.56 ドルで、コストは約 $2.06 です。
❌ それはコールの場合の符号です。 ここでは Pu−Pd=0−3<0P_u - P_d = 0 - 3 < 0 なので、Δ∗\Delta^* はマイナスです。複製ポートフォリオは、株価が下がると利益が出ます。
❌ B∗B^* を確かめてください。 B∗=(uPd−dPu)/((u−d) r)=(1.3⋅3−0)/(0.4⋅1.02)>0B^* = (uP_d - dP_u)/((u-d)\,r) = (1.3\cdot 3 - 0)/(0.4\cdot 1.02) > 0 なので、複製ポートフォリオは貸付をします。
❌ Δ∗\Delta^* を確かめてください。 買いポジションは株価が上がると利益が出ますが、プットが支払うのは下落状態だけです。Δ∗=(Pu−Pd)/((u−d)S0)<0\Delta^* = (P_u - P_d)/((u-d)S_0) < 0 です。
❌ 割り引いていません。 閉じた形の公式のかっこの中は2.10です。それを r=1.02r = 1.02 で割ってください。
❌ Δ∗\Delta^* はマイナスです。 空売りで $7.50 が入り、それが債券の $9.56 を一部打ち消します：30⋅(−0.25)+9.5630\cdot(-0.25) + 9.56 で、7.50+9.567.50 + 9.56 ではありません。
❌ それは2つの状態に同じウェイトをかけています。 ペイオフを確率2分の1で平均して割り引くのは、複製ではありません。閉じた形の公式のウェイトは (r−d)/(u−d)(r-d)/(u-d) と (u−r)/(u−d)(u-r)/(u-d) です。
❌ 惜しい！ プットのペイオフから、Δ∗\Delta^* と B∗B^* の符号を求めてください。
❌ 惜しい！ 価格は、複製ポートフォリオのコスト S0Δ∗+B∗S_0\Delta^* + B^* です。
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明日の株価は $39 と $27 なので、プットは Pu=max⁡[30−39, 0]=0P_u = \max[30 - 39,\ 0] = 0 と Pd=max⁡[30−27, 0]=3P_d = \max[30 - 27,\ 0] = 3 ドルを支払います。

Δ∗=Pu−Pd(u−d)S0=0−30.4⋅30=−312=−0.25\Delta^* = \frac{P_u - P_d}{(u-d)S_0} = \frac{0 - 3}{0.4\cdot 30} = -\frac{3}{12} = -0.25 B∗=uPd−dPu(u−d) r=1.3⋅3−0.9⋅00.4⋅1.02=3.90.408≈9.56B^* = \frac{uP_d - dP_u}{(u-d)\,r} = \frac{1.3\cdot 3 - 0.9\cdot 0}{0.4\cdot 1.02} = \frac{3.9}{0.408} \approx 9.56

4分の1株を空売りし、約 $9.56 を貸し付けます。この貸付は、明日 rB∗=3.9/0.4=9.75rB^* = 3.9/0.4 = 9.75 ドルを返済します。上昇時：−0.25⋅39+9.75=0-0.25\cdot 39 + 9.75 = 0、下落時：−0.25⋅27+9.75=3-0.25\cdot 27 + 9.75 = 3 で、どちらも一致します。

P0=S0Δ∗+B∗=30⋅(−0.25)+3.90.408≈−7.50+9.56=2.06P_0 = S_0\Delta^* + B^* = 30\cdot(-0.25) + \frac{3.9}{0.408} \approx -7.50 + 9.56 = 2.06

閉じた形の公式では：11.02(1.02−0.90.4⋅0+1.3−1.020.4⋅3)=2.11.02≈2.06\frac{1}{1.02}\left(\frac{1.02 - 0.9}{0.4}\cdot 0 + \frac{1.3 - 1.02}{0.4}\cdot 3\right) = \frac{2.1}{1.02} \approx 2.06 です。

正解数：0 / 4