ファイナンス理論 · 第16回 · 動画6 · インタラクティブ教材

大きなポートフォリオのリスクは平均共分散：それが一夜で跳ね上がる理由

I重要な公式

公式名称説明
E[Rp]=ω1μ1+⋯+ωnμnE[R_p] = \omega_1\mu_1 + \cdots + \omega_n\mu_nポートフォリオの期待リターン平均の加重平均です
Var[Rp]=∑i=1nωi2σi2+∑i≠jωiωj Cov[Ri,Rj]\mathrm{Var}[R_p] = \sum_{i=1}^{n}\omega_i^2\sigma_i^2 + \sum_{i \neq j}\omega_i\omega_j\,\mathrm{Cov}[R_i, R_j]ポートフォリオの分散（資産 nn 個）対角には nn 個の分散が、その外には n2−nn^2 - n 個の共分散が並びます
Var[Rp]=1n σ2‾+n−1n Cov‾\mathrm{Var}[R_p] = \tfrac{1}{n}\,\overline{\sigma^2} + \tfrac{n-1}{n}\,\overline{\mathrm{Cov}}等ウェイト、ωi=1n\omega_i = \tfrac{1}{n}σ2‾\overline{\sigma^2} は平均分散、Cov‾\overline{\mathrm{Cov}} は n2−nn^2 - n 個の共分散の平均です
Var[Rp]≈Cov‾\mathrm{Var}[R_p] \approx \overline{\mathrm{Cov}}大きな等ウェイト・ポートフォリオ1n→0\tfrac{1}{n} \to 0、n−1n→1\tfrac{n-1}{n} \to 1 となります

ポイント：分散は nn 個しかないのに、共分散は n2−nn^2 - n 個あります。ですから、大きく均等に分散したポートフォリオでは共分散がリスクを決め、その共分散を決めるのは人々の行動です。

IIマスを数える

ウェイトが 1n\tfrac{1}{n} なら、対角の nn 個の分散は薄れていき、n2−nn^2 - n 個の共分散が合計のほとんどを占めるようになります。

III安全に見えたプール

1,000件のローンからなるプールのリスクは平均共分散なので、相関が跳ね上がると、プールのリスクも一緒に跳ね上がります。

💡 個々のローンについては何も変わっていません。どのローンも σ\sigma はずっと 15%15\% のままで、動いたのは ρ\rho だけです。全国的な住宅価格の下落で、あらゆる地域の借り手が一斉にデフォルトに追い込まれたからです。

IV1%の出来事か、パターンか

混雑した水曜日が1回だけならランダムな誤差に見えますが、毎年同じ週が混雑するなら、それはみんなが足並みを揃えた行動です。

💡 カレンダーを知っている人には、データはまったくいりません。分布は私たちが知らないことを測るものであり、それに取って代わるのが、行動についての経済的な理解なのです。

V確認クイズ

問1 · 共分散の項を数える

条件：n=100n = 100 銘柄の株からなるポートフォリオがあります。和 ∑i≠jωiωj Cov[Ri,Rj]\sum_{i \neq j}\omega_i\omega_j\,\mathrm{Cov}[R_i, R_j] の項の数と、推定しなければならない異なる共分散の値の数を求めてください。

i ≠ j にわたる和には、いくつの項がありますか？

異なる共分散の値を、いくつ推定しなければなりませんか？

✅ 正解です！ 表には対角の外のマスが n2−n=9,900n^2 - n = 9{,}900 個ありますが、Cov[Ri,Rj]=Cov[Rj,Ri]\mathrm{Cov}[R_i, R_j] = \mathrm{Cov}[R_j, R_i] なので、異なる値は 4,9504{,}950 個しかありません。
❌ 惜しい！ 4,9504{,}950 は株の組を1回ずつ数えた数です。i≠ji \neq j にわたる和は (i,j)(i, j) と (j,i)(j, i) の両方を通るので、どの組も2回現れます。
❌ 惜しい！ n2=10,000n^2 = 10{,}000 はすべてのマスを数えていて、対角の 100100 個の分散も含んでいます。これは条件 i≠ji \neq j で除かれます。
❌ 惜しい！ 100×100100 \times 100 の表で、対角の外のマスを数えてください。すべてのマスから対角を引きます。
❌ 惜しい！ 9,9009{,}900 はマスの数で、マス (i,j)(i, j) と (j,i)(j, i) には同じ共分散が入っているので、どの値も2回数えられています。
❌ 惜しい！ 5,050=100×10125{,}050 = \tfrac{100 \times 101}{2} は 100100 個の分散も数えています。問われているのは共分散だけです。
❌ 惜しい！ 異なる共分散はそれぞれ、鏡に映したような2つのマスに入っています。対角の外のマスの数を半分にしてください。
解答を見る

n×nn \times n の表には n2=10,000n^2 = 10{,}000 個のマスがあります。対角には n=100n = 100 個の分散が入っているので、i≠ji \neq j にわたる和の項の数は

n2−n=10,000−100=9,900 個です。n^2 - n = 10{,}000 - 100 = 9{,}900 \text{ 個です。}

Cov[Ri,Rj]=Cov[Rj,Ri]\mathrm{Cov}[R_i, R_j] = \mathrm{Cov}[R_j, R_i] なので、対角より上のマスは下のマスを鏡に映したものです。よって、異なる共分散の数は

9,9002=4,950.\frac{9{,}900}{2} = 4{,}950.

共分散のマスは表の 9,90010,000=99%\tfrac{9{,}900}{10{,}000} = 99\% を占めます。だからこそ、大きなポートフォリオのリスクを左右するのは、分散ではなく共分散なのです。

問2 · 5銘柄は「大きい」とはいえない

条件：n=5n = 5 銘柄の株からなる等ウェイト・ポートフォリオ（説明用）があり、どの株も標準偏差は月 12%12\%、どの組も相関は 0.350.35 です。ポートフォリオの分散を小数で求めてください。

✅ 正解です！ 15(0.0144)+45(0.00504)=0.006912\tfrac{1}{5}(0.0144) + \tfrac{4}{5}(0.00504) = 0.006912 で、標準偏差はおよそ月 8.31%8.31\% です。
❌ 惜しい！ 0.005040.00504 は平均共分散だけです。近似 Var[Rp]≈Cov‾\mathrm{Var}[R_p] \approx \overline{\mathrm{Cov}} が使えるのは nn が大きいときです。n=5n = 5 では、項 15 σ2‾\tfrac{1}{5}\,\overline{\sigma^2} はとても無視できません。
❌ 惜しい！ 平均共分散にかけるのは n−1n=45\tfrac{n-1}{n} = \tfrac{4}{5} で、11 ではありません。
❌ 惜しい！ 0.002880.00288 は分散の部分 15(0.0144)\tfrac{1}{5}(0.0144) だけです。共分散の部分が抜けています。
解答を見る

どの株も分散は 0.122=0.01440.12^2 = 0.0144 なので、σ2‾=0.0144\overline{\sigma^2} = 0.0144 です。どの組も共分散は ρ σiσj=0.35×0.12×0.12=0.00504\rho\,\sigma_i\sigma_j = 0.35 \times 0.12 \times 0.12 = 0.00504 なので、Cov‾=0.00504\overline{\mathrm{Cov}} = 0.00504 です。

Var[Rp]=15(0.0144)+45(0.00504)=0.00288+0.004032=0.006912\mathrm{Var}[R_p] = \tfrac{1}{5}(0.0144) + \tfrac{4}{5}(0.00504) = 0.00288 + 0.004032 = 0.006912

標準偏差は 0.006912≈0.0831\sqrt{0.006912} \approx 0.0831、およそ月 8.31%8.31\% です。nn が大きいときの近道を使うと 0.005040.00504 となり、分散をおよそ 27%27\% 過小評価します。5銘柄では、分散はまだ効いているのです。

問3 · ローンが一斉にデフォルトするとき

条件：1,0001{,}000 件のローンからなる等ウェイトのプール（説明用）があります。各ローンのリターンの標準偏差は 12%12\% で、過去のデータではローンどうしの平均相関は 0.050.05 です。全国的な景気後退で、各ローンの標準偏差は 12%12\% のまま、平均相関が 0.60.6 に上がります。前と後のプールの標準偏差を求めてください。

ρ = 0.05 でのプールの標準偏差

ρ = 0.6 でのプールの標準偏差

✅ 正解です！ プールの標準偏差はおよそ 2.71%2.71\% からおよそ 9.30%9.30\% へ、約 3.43.4 倍に上がります。個々のローンは何も変わっていないのにです。
❌ 惜しい！ 0.38%0.38\% は、ローンが本当に無相関（ρ=0\rho = 0）だった場合のプールの標準偏差です。そのときに残るのはごく小さな 11000 σ2‾\tfrac{1}{1000}\,\overline{\sigma^2} の項だけです。ρ=0.05\rho = 0.05 では共分散の項が大部分を占めます。
❌ 惜しい！ それは分散をパーセントで書いたものです。平方根をとって標準偏差を求めてください。
❌ 惜しい！ ρ×σ\rho \times \sigma はプールの標準偏差ではありません。平均共分散は ρ σ2\rho\,\sigma^2 で、標準偏差は分散の平方根です。
❌ 惜しい！ 12%12\% はローン1件の標準偏差です。プールがそこまでリスクを持つのは ρ=1\rho = 1 のときだけです。
❌ 惜しい！ Var=11000(0.0144)+9991000(0.05)(0.0144)\mathrm{Var} = \tfrac{1}{1000}(0.0144) + \tfrac{999}{1000}(0.05)(0.0144) を計算し、平方根をとってください。
❌ 惜しい！ Var=11000(0.0144)+9991000(0.6)(0.0144)\mathrm{Var} = \tfrac{1}{1000}(0.0144) + \tfrac{999}{1000}(0.6)(0.0144) を計算し、平方根をとってください。
解答を見る

各ローンの分散は 0.122=0.01440.12^2 = 0.0144 で、平均共分散は ρ×0.0144\rho \times 0.0144 です。

前（ρ=0.05\rho = 0.05、平均共分散 0.000720.00072）：

Var=11000(0.0144)+9991000(0.00072)=0.0000144+0.00071928=0.00073368\mathrm{Var} = \tfrac{1}{1000}(0.0144) + \tfrac{999}{1000}(0.00072) = 0.0000144 + 0.00071928 = 0.00073368 SD=0.00073368≈0.0271=2.71%\mathrm{SD} = \sqrt{0.00073368} \approx 0.0271 = 2.71\%

後（ρ=0.6\rho = 0.6、平均共分散 0.008640.00864）：

Var=0.0000144+9991000(0.00864)=0.0000144+0.00863136=0.00864576\mathrm{Var} = 0.0000144 + \tfrac{999}{1000}(0.00864) = 0.0000144 + 0.00863136 = 0.00864576 SD=0.00864576≈0.0930=9.30%\mathrm{SD} = \sqrt{0.00864576} \approx 0.0930 = 9.30\%

比は 9.30/2.71≈3.49.30 / 2.71 \approx 3.4 です。どちらの場合も分散はほぼ平均共分散そのものなので、プールの安全性は相関の仮定しだいです。借り手が一斉にデフォルトしはじめると、「分散された」プールのリスクは3倍を超えて跳ね上がります。

問4 · リスクを動かすのはどちらのレバーか

条件：n=25n = 25 銘柄の株からなる等ウェイト・ポートフォリオ（説明用）があり、平均分散は σ2‾=0.0144\overline{\sigma^2} = 0.0144、平均共分散は Cov‾=0.00504\overline{\mathrm{Cov}} = 0.00504 なので、Var[Rp]=0.0054144\mathrm{Var}[R_p] = 0.0054144 です。マネージャーは、すべての株の分散を半分にする（共分散は変わらない）か、すべての共分散を半分にする（分散は変わらない）か、どちらかができます。それぞれの場合の新しいポートフォリオの分散を求めてください。

すべての分散を半分にした場合

すべての共分散を半分にした場合

✅ 正解です！ 分散を半分にするとポートフォリオの分散はおよそ 5%5\% 減り、共分散を半分にするとおよそ 45%45\% 減ります。
❌ 惜しい！ 0.002710.00271 は分散全体を半分にしています。そうなるには、分散と共分散の両方を半分にする必要があります。
❌ 惜しい！ その値はもう一方のレバーのものです。分散を半分にして変わるのは 125 σ2‾\tfrac{1}{25}\,\overline{\sigma^2} の項だけで、共分散を半分にして変わるのは 2425 Cov‾\tfrac{24}{25}\,\overline{\mathrm{Cov}} の項だけです。
❌ 惜しい！ それは変わった項だけです。変わらなかった項を足し戻してください。
❌ 惜しい！ 125(0.0072)+2425(0.00504)\tfrac{1}{25}(0.0072) + \tfrac{24}{25}(0.00504) を計算し直してください。
❌ 惜しい！ 125(0.0144)+2425(0.00252)\tfrac{1}{25}(0.0144) + \tfrac{24}{25}(0.00252) を計算し直してください。
解答を見る

出発点は Var[Rp]=125(0.0144)+2425(0.00504)=0.000576+0.0048384=0.0054144\mathrm{Var}[R_p] = \tfrac{1}{25}(0.0144) + \tfrac{24}{25}(0.00504) = 0.000576 + 0.0048384 = 0.0054144 です。

分散を半分にした場合（σ2‾=0.0072\overline{\sigma^2} = 0.0072）：

125(0.0072)+0.0048384=0.000288+0.0048384=0.0051264\tfrac{1}{25}(0.0072) + 0.0048384 = 0.000288 + 0.0048384 = 0.0051264

共分散を半分にした場合（Cov‾=0.00252\overline{\mathrm{Cov}} = 0.00252）：

0.000576+2425(0.00252)=0.000576+0.0024192=0.00299520.000576 + \tfrac{24}{25}(0.00252) = 0.000576 + 0.0024192 = 0.0029952

1つめのレバーで減るのは 0.0002880.000288、分散のおよそ 5.3%5.3\% で、2つめのレバーで減るのは 0.00241920.0024192、およそ 44.7%44.7\% です。分散のマス 2525 個に対して共分散のマスは 600600 個あるので、ポートフォリオのリスクを決めるのは、個々の保有銘柄の変動の大きさではなく、銘柄どうしがどう一緒に動くかなのです。

正解数：0 / 4