ファイナンス理論 · 第16回 · 動画7 · インタラクティブ教材

分散投資にはなぜ底があるのか：平均共分散と効率的フロンティア

I重要な公式

公式	名称	説明
$\text{Var}[R_p] = \dfrac{1}{n}\,\overline{\sigma^2} + \dfrac{n-1}{n}\,\overline{\text{Cov}}$	等ウェイト $\omega_i = \tfrac{1}{n}$	$\overline{\sigma^2}$ は $n$ 個の分散の平均、 $\overline{\text{Cov}}$ は $n(n-1)$ 個の共分散の平均
$\text{Cov}[R_i, R_j] = \rho_{ij}\,\sigma_i\,\sigma_j$	相関から求める共分散	動画の例： $0.40 \times 0.10 \times 0.10 = 0.004$ （リターンは小数、月次）
$n \to \infty$ のとき $\text{Var}[R_p] \to \overline{\text{Cov}}$	底：システマティック・リスク（市場リスク）	$\tfrac{1}{n} \to 0$ 、 $\tfrac{n-1}{n} \to 1$ 。動画の例では $\sigma_p \to \sqrt{0.004} \approx 6.3\%$ （月次）
$\dfrac{\overline{\sigma^2} - \overline{\text{Cov}}}{\overline{\sigma^2}}$	分散投資が取り除く、1銘柄の分散の割合	動画の例： $(0.01 - 0.004)/0.01 = 0.6$ が取り除かれ、 $0.4$ がシステマティック・リスクとして残る

ポイント：株をいくつ加えても、等ウェイト・ポートフォリオの分散は平均共分散を下回れません。この底がシステマティック・リスクで、これを減らす唯一の方法は、株式から出て米国短期国債（Tビル）か現金に移ることです。

II銘柄を増やす：リスクは底まで下がる

等ウェイトでは、ポートフォリオのリスクは急速に下がったあと $\sqrt{\overline{\text{Cov}}}$ で平らになり、それより下には決して行きません。

平均標準偏差相関 ρ 0.30 銘柄数 n 1

💡 相関は自然界の定数ではありません。長い歴史から推定した相関には、過去の危機（1987年10月、1998年8月のロングターム・キャピタル・マネジメント（LTCM）、2000年3月）がすでに含まれていますが、いま進行中の危機は相関を押し上げ、底を引き上げることがあります。

III持つのは上側の枝だけ

境界上の各点は、その期待リターンで最小のリスクをもちます。効率的なのは、最小分散の点より上の枝だけです。

期待リターン 1.30%

💡 資産が $n$ 個あれば、ウェイトの選び方ひとつごとに点が1つ決まり、実現可能なポートフォリオは弾丸型の領域を埋めます。この曲線はその左端で、結論は同じです。上側の枝のどこにいるかは、より高い期待リターンのためにどれだけのリスクを受け入れるかで決まります。

IV確認クイズ

問1 · 25銘柄

条件： 説明用の株の集まりがあり、平均的な標準偏差は年 $20\%$ 、どの2つのあいだの平均的な相関も $0.15$ です。そのうち $25$ 銘柄を等ウェイトで保有します。ポートフォリオの年率の標準偏差を求めてください。

✅ 正解です！

\text{Var}[R_p] = 0.0016 + 0.00576 = 0.00736

なので

\sigma_p = \sqrt{0.00736} \approx 8.58\%

。すでに約

7.75\%

の底に近づいています。

❌ 惜しい！ 平均共分散

0.006

をそのまま足しています。等ウェイトでは

\tfrac{n-1}{n} = \tfrac{24}{25}

がかかり、

0.00576

になります。

❌ 惜しいですが、それは底です。

\sqrt{0.006} \approx 7.75\%

は

n \to \infty

のときの極限です。

25

銘柄では、

\tfrac{1}{25} \times 0.04 = 0.0016

の項はまだ消えていません。

❌ 惜しい！

20\%/\sqrt{25} = 4\%

が答えになるのは、相関が0のときだけです。ここではどの組も共分散

0.15 \times 0.20 \times 0.20 = 0.006

をもち、その

n(n-1)

個の項が支配的になります。

❌ 惜しい！ 小数で計算します。

\overline{\sigma^2} = 0.04

、

\overline{\text{Cov}} = 0.006

として、

n = 25

で等ウェイトの公式を使ってください。

解答を見る

平均分散と平均共分散（年率、小数）：

\overline{\sigma^2} = 0.20^2 = 0.04, \qquad \overline{\text{Cov}} = 0.15 \times 0.20 \times 0.20 = 0.006

$n = 25$ の等ウェイト：

\text{Var}[R_p] = \frac{1}{25}(0.04) + \frac{24}{25}(0.006) = 0.0016 + 0.00576 = 0.00736

\sigma_p = \sqrt{0.00736} \approx 0.0858 = 8.58\%

1銘柄なら $20\%$ のリスクを負いますが、25銘柄を等ウェイトで持てば約 $8.58\%$ で、底 $\sqrt{0.006} \approx 7.75\%$ より約 $0.83$ %ポイント高いだけです。

問2 · 割合は分散で測る

条件： 同じ説明用の株（平均的な標準偏差は年 $20\%$ ）で、非常に大きな等ウェイト・ポートフォリオの標準偏差は年 $\sqrt{0.006} \approx 7.75\%$ に落ち着きます。典型的な1銘柄のリスクを分散で測ったとき、分散投資によって取り除かれる割合を求めてください。

✅ 正解です！

(0.04 - 0.006)/0.04 = 0.85

。分散投資は分散の

85\%

を取り除き、システマティックな

15\%

が残ります。

❌ 惜しいですが、逆です。

0.006/0.04 = 15\%

はシステマティックな割合、つまり残る部分です。問われているのは取り除かれる部分です。

❌ それは標準偏差どうしの比較です。

1 - 7.75/20 \approx 61.3\%

は標準偏差を使っていますが、足し算で分解できるのは分散だけです。先に二乗して、

0.0775^2 \approx 0.006

と

0.20^2 = 0.04

を比べます。

❌ 惜しい！

7.75/20 \approx 38.7\%

は標準偏差の比で、しかも取り除かれる部分ではなく残る部分を表しています。分散どうし、

0.006

と

0.04

を比べてください。

❌ 惜しい！ 比べる前に、どちらのリスクも分散に直してください。

解答を見る

大きなポートフォリオの分散は底、つまり平均共分散です： $\left(\sqrt{0.006}\right)^2 = 0.006$ 。典型的な1銘柄の分散は $0.20^2 = 0.04$ です。

\text{システマティックな割合} = \frac{0.006}{0.04} = 0.15, \qquad \text{取り除かれる割合} = \frac{0.04 - 0.006}{0.04} = 0.85

したがって、1銘柄の分散の $85\%$ は分散可能です。代わりに標準偏差どうし（ $7.75\%$ と $20\%$ ）を比べると $61.3\%$ となり、過小評価になります。全体が「システマティック + 分散可能」に分かれるのは、分散で測ったときだけです。

問3 · 目標に何銘柄必要か

条件： 同じ説明用の株（平均的な標準偏差は年 $20\%$ 、平均的な相関は $0.15$ ）。等ウェイトで、ポートフォリオの標準偏差を年 $8\%$ まで下げる最小の銘柄数 $n$ を求めてください。

✅ 正解です！

\text{Var}[R_p] = 0.006 + 0.034/n

で、

0.034/n \le 0.0004

には

n \ge 85

が必要です。

n = 85

で分散はちょうど

0.0064

、標準偏差は

8\%

になります。

❌ 惜しい！

20\%/\sqrt{n} \le 8\%

は、株どうしを無相関として扱っています。

n = 7

でも共分散の項が

\tfrac{6}{7} \times 0.006

だけ残り、

\sigma_p \approx 10.4\%

です。

❌ 惜しい！ 標準偏差を「底 +

(20\% - 7.75\%)/n

」と分けています。この分け方が成り立つのは分散で、標準偏差ではありません。

n = 49

では

\sigma_p \approx 8.18\%

です。

❌ 惜しいですが、最小ではありません。

0.04/n + 0.006

と書くと、共分散にかかる

\tfrac{n-1}{n}

が抜けます。これを入れれば

85

銘柄ですでに

8\%

に届き、

100

銘柄では約

7.96\%

です。

❌ 惜しい！ 分散を「底 +

\tfrac{1}{n}

の項」の形に書き、

n

について解いてください。

解答を見る

$\overline{\sigma^2} = 0.04$ 、 $\overline{\text{Cov}} = 0.15 \times 0.20^2 = 0.006$ として、等ウェイトの公式をまとめ直します：

\text{Var}[R_p] = \frac{0.04}{n} + \frac{n-1}{n}(0.006) = 0.006 + \frac{0.04 - 0.006}{n} = 0.006 + \frac{0.034}{n}

目標の標準偏差 $8\%$ は、分散 $0.08^2 = 0.0064$ にあたります：

0.006 + \frac{0.034}{n} \le 0.0064 \;\Longrightarrow\; \frac{0.034}{n} \le 0.0004 \;\Longrightarrow\; n \ge 85

確認： $n = 85$ なら $0.006 + 0.0004 = 0.0064$ で $\sigma_p = 8\%$ 、 $n = 84$ なら約 $8.003\%$ です。最後の詰めに時間がかかるのは、底（ $\approx 7.75\%$ ）が目標より約0.25%ポイントしか低くないからです。

問4 · 安全なほうの株は効率的か

条件： 説明用の株ルーメン（月次の平均 $1.0\%$ 、標準偏差 $6\%$ ）とマーロウ（ $1.4\%$ 、 $9\%$ ）、相関 $0.1$ 。ある投資家は、2つのうちリスクが低いという理由でルーメンだけを保有しています。このポートフォリオが効率的フロンティア上にあるかを判断してください。

✅ 正解です！ 相関が

0.1

しかないので、マーロウを少し混ぜると平均が上がり、同時にリスクも下がります。ルーメン単独は最小分散の点より下、誰も持つべきでない枝の上にあります。

❌ 惜しい！ 最小分散ポートフォリオは組み合わせであって、いちばんリスクの低い単独の株ではありません。

50/50

でもすでに

\sigma_p \approx 5.65\% \lt 6\%

です。

❌ 惜しい！ ルーメンは境界の上にあります（株が2つなら、どの組み合わせもそうです）。しかし境界には2つの枝があり、効率的なのは最小分散の点から上の上側の枝だけです。

❌ 惜しい！ マーロウは上側の枝にあるので効率的ですが、最小分散の点とマーロウのあいだにある組み合わせもすべて効率的です。どれを持つかは、どれだけのリスクを受け入れるかで決まります。

解答を見る

$\omega_{\text{ルーメン}} = \omega_{\text{マーロウ}} = 0.5$ で試します（リターンは%、分散は $\%^2$ ）：

E[R_p] = 0.5(1.0) + 0.5(1.4) = 1.20\%

\text{Var}[R_p] = 0.5^2(36) + 0.5^2(81) + 2(0.5)(0.5)(0.1)(6)(9) = 9 + 20.25 + 2.7 = 31.95

\sigma_p = \sqrt{31.95} \approx 5.65\%

この組み合わせは、ルーメン単独より平均が高く（ $1.20\% \gt 1.0\%$ ）、標準偏差が低い（ $5.65\% \lt 6\%$ ）ので、ルーメンに優越します。優越されているポートフォリオは効率的フロンティア上にはありえません。ルーメンは最小分散境界の下側の枝、最小分散の点より下にあります。

正解数：0 / 4