ファイナンス理論 · 第16回 · 動画8 · インタラクティブ教材

三銘柄でつくる弾丸型：長期の視点と均衡への道

I重要な公式

公式	名称	説明
$\omega_1 + \omega_2 + \omega_3 = 1$	ポートフォリオ・ウェイト	ポートフォリオに占める割合。負のウェイトは空売り
$E[R_P] = \omega_1\mu_1 + \omega_2\mu_2 + \omega_3\mu_3$	ポートフォリオの平均	3つの平均の加重平均
$\mathrm{var}(R_P) = \sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\omega_i\omega_j\sigma_{ij}$	ポートフォリオの分散	$3 \times 3$ の行列のすべてのマスに、その行と列のウェイトをかけて足したもの
$= \omega_1^2\sigma_1^2 + \omega_2^2\sigma_2^2 + \omega_3^2\sigma_3^2$ $+ 2\omega_1\omega_2\sigma_{12} + 2\omega_1\omega_3\sigma_{13} + 2\omega_2\omega_3\sigma_{23}$	マスをまとめる	対角の3つの分散と、対角の外の6つの共分散を2つずつ組にした3つの項

ポイント：株が3つ以上あると、どの株も最小分散境界の上にあるとは限りません。ゼネラル・モーターズ（GM）、IBM、モトローラ（MOT）では、弾丸型は3つすべてのはっきり北西を通ります。そしてその入力は長い投資期間（15〜20年）に向けた推定値であって、明日の予測ではありません。

II12年の保有期間と月々の変動

$h$ か月のあいだに、平均は $h$ に比例して増えますが、標準偏差は $\sqrt{h}$ に比例してしか増えません。

保有月数（

h

） 12

💡 説明用の保有銘柄（架空の株ニンバス：月次の平均 $0.8\%$ 、標準偏差 $5\%$ ）。各月は独立で毎月同じ分散をもつとし、複利は無視します。年率換算のルール（平均 $\times 12$ 、標準偏差 $\times \sqrt{12}$ ）を $h$ か月に当てはめたものです。2008年9月にバフェットがゴールドマン・サックスに投じた50億ドルは、数週間のうちに含み損を抱えましたが、投資期間は15〜20年でした。

III行列のすべてのマス

ポートフォリオの分散は9つのマスすべての和です。各マスは、ウェイトの組 × その分散または共分散です。

ω_GM 0.60 ω_IBM 0.20 ω_MOT = 1 − ω_GM − ω_IBM 0.20

IV弾丸型は3つすべての北西を通る

どの株も3銘柄の弾丸型の内側にあります。リターンでその株に勝るポートフォリオも、リスクで勝るポートフォリオもあります（空売り可：ウェイトは負でもかまいません）。

銘柄

💡 すべての投資家がこの上側の枝のポートフォリオを持っても、理論が自滅することはありません。誰もが理論に従うことで均衡が生まれます。それが資本資産価格モデル（CAPM）で、これからのユニットで組み立てていきます。

V確認クイズ

問1 · 3銘柄の組み合わせの期待リターン

条件（説明用）： 3つの架空の株。リターンは月次で、%で表します。

株	平均	標準偏差	ニンバス	オーラリー	パイロン
ニンバス	$0.8$	$5$	$25$	$10.5$	$15.0$
オーラリー	$1.1$	$7$	$10.5$	$49$	$28.0$
パイロン	$1.6$	$10$	$15.0$	$28.0$	$100$

ウェイトが $\omega_N = 0.5$ 、 $\omega_O = 0.3$ 、 $\omega_P = 0.2$ のとき、ポートフォリオの月次の期待リターンを求めてください。

✅ 正解です！

0.5 \times 0.8 + 0.3 \times 1.1 + 0.2 \times 1.6 = 0.40 + 0.33 + 0.32 = 1.05

（月次、%）。

❌ それは等ウェイトの平均です。

(0.8 + 1.1 + 1.6)/3 \approx 1.17

はウェイトを無視しています。ニンバスはポートフォリオの半分を占めます。

❌ ウェイトをかける株が違います。

0.2 \times 0.8 + 0.3 \times 1.1 + 0.5 \times 1.6 = 1.29

では、お金の半分をニンバスではなくパイロンに入れています。

❌ 惜しい！

0.8 + 1.1 + 1.6 = 3.5

は平均をウェイトなしで足しています。ウェイトの合計は1なので、答えは

0.8

と

1.6

のあいだにあるはずです。

解答を見る

ポートフォリオの平均は、3つの平均の加重平均です：

E[R_P] = \omega_N\mu_N + \omega_O\mu_O + \omega_P\mu_P = 0.5(0.8) + 0.3(1.1) + 0.2(1.6)

= 0.40 + 0.33 + 0.32 = 1.05

期待リターンは月1.05%です。入ってくるのは平均とウェイトだけです。共分散が効くのは分散であって、平均ではありません。

問2 · 9つのマスを足し合わせる

条件： 同じ3つの株とウェイト $\omega_N = 0.5$ 、 $\omega_O = 0.3$ 、 $\omega_P = 0.2$ （分散と共分散は問1の表の値、単位は $\%^2$ ）。ポートフォリオの分散を求め、このポートフォリオをニンバス単独と比べてください。

$\mathrm{var}(R_P)$ はいくつですか？

ニンバスだけを保有する場合（平均 $0.8\%$ 、標準偏差 $5\%$ ）と比べて、このポートフォリオは…

✅ 正解です！

\mathrm{var}(R_P) = 24.17

なので

\sigma_P = \sqrt{24.17} \approx 4.92\%

で、ニンバスの

5\%

を下回り、しかも平均

1.05\%

はニンバスの

0.8\%

を上回ります。ニンバスは最小分散境界の上にはありません。

❌ 係数2が抜けています。 各共分散は行列の2つのマス（

\sigma_{NO}

と

\sigma_{ON}

）に現れるので、組ごとの項は

2\omega_i\omega_j\sigma_{ij}

です。

❌ 対角のウェイトは二乗します。 対角のマスは

\omega_i \cdot \omega_i \cdot \sigma_i^2

、つまり行のウェイト × 列のウェイトなので、

0.5^2 \times 25 = 6.25

であって

0.5 \times 25

ではありません。

❌ それは対角だけです。

6.25 + 4.41 + 4.00 = 14.66

には、合わせて

9.51

になる6つの共分散のマスが入っていません。

❌ 分散を確かめてください。 9つのマスをすべて足します。ウェイトを二乗した3つの分散の項と、2倍した3つの共分散の項です。

❌ リスクの高い株を混ぜても、リスクは下がりえます。 相関が

0.3

や

0.4

なら共分散のマスは十分に小さく、

\sigma_P \approx 4.92\%

とニンバスの

5\%

を下回ります。

❌ 標準偏差は平均されません。 ポートフォリオの標準偏差は9つのマスすべてから決まり、

\sigma_P = \sqrt{24.17} \approx 4.92\%

です。

5\%

ではありません。

❌ 必要なものはすべて表にあります。 共分散（

10.5

、

15.0

、

28.0

）が与えられているので、

\sigma_P \approx 4.92\%

をそのままニンバスの

5\%

と比べられます。

❌ 数字を比べてください。

\sigma_P = \sqrt{\mathrm{var}(R_P)}

を求め、平均どうし、標準偏差どうしを比べます。

解答を見る

対角のマス（ウェイトの二乗 × 分散）：

0.5^2(25) + 0.3^2(49) + 0.2^2(100) = 6.25 + 4.41 + 4.00 = 14.66

対角の外のマス（2つずつ組にして、2 × ウェイト × ウェイト × 共分散）：

2(0.5)(0.3)(10.5) + 2(0.5)(0.2)(15.0) + 2(0.3)(0.2)(28.0) = 3.15 + 3.00 + 3.36 = 9.51

\mathrm{var}(R_P) = 14.66 + 9.51 = 24.17\ (\%^2), \qquad \sigma_P = \sqrt{24.17} \approx 4.92\%

問1より、平均は $1.05\%$ です。ニンバス（ $0.8\%$ 、 $5\%$ ）と比べて、このポートフォリオは平均が高く、しかも標準偏差が低いので、ニンバスに優越します。

問3 · オーラリーと同じ平均で、より低いリスク

条件： 同じ3つの株。ニンバスとパイロンだけ（ $\omega_O = 0$ ）で、期待リターンがオーラリーの月 $1.1\%$ に等しいポートフォリオをつくります。パイロンのウェイトとポートフォリオの標準偏差を求めてください。

平均が $1.1\%$ になるパイロンのウェイトは？

ポートフォリオの標準偏差は？

✅ 正解です！ オーラリー自身の平均

1.1\%

で、この組み合わせの標準偏差は約

5.56\%

、オーラリーは

7\%

です。したがって、オーラリーも最小分散境界の上にはありません。

❌ 平均の比ではありません。

1.1/1.6 \approx 0.6875

はニンバスの

0.8\%

を無視しています。

0.8(1 - \omega_P) + 1.6\,\omega_P = 1.1

を解いてください。

❌ 平均の差で割ってください。

1.1 - 0.8 = 0.3

は必要な上乗せ分です。パイロンにウェイトを1単位移すごとに

1.6 - 0.8 = 0.8

増えるので、

\omega_P = 0.3/0.8

です。

❌ 半々では行き過ぎです。

0.5(0.8) + 0.5(1.6) = 1.2

はオーラリーの

1.1

を上回ります。

0.8(1 - \omega_P) + 1.6\,\omega_P = 1.1

を解いてください。

❌ ウェイトを確かめてください。

0.8(1 - \omega_P) + 1.6\,\omega_P = 1.1

とおいて、

\omega_P

について解きます。

❌ リスクは標準偏差の加重平均ではありません。

0.625(5) + 0.375(10) = 6.875

が成り立つのは相関が

+1

のときだけです。

\sigma_{NP} = 15.0

なら分散はもっと小さくなります。

❌ 共分散の項が抜けています。 平方根をとる前に、2つの対角の項に

2(0.625)(0.375)(15.0) \approx 7.03

を足してください。

❌ それは分散です。

30.86

の単位は

\%^2

で、標準偏差はその平方根です。

❌ 標準偏差を確かめてください。 共分散の項を含めて2銘柄の分散を計算し、その平方根をとります。

解答を見る

ステップ1：平均を合わせる。 $\omega_N = 1 - \omega_P$ として：

0.8(1 - \omega_P) + 1.6\,\omega_P = 0.8 + 0.8\,\omega_P = 1.1 \quad\Rightarrow\quad \omega_P = \frac{0.3}{0.8} = 0.375,\ \ \omega_N = 0.625

ステップ2：分散。 0でないのは、ニンバスとパイロンのマスだけです：

\mathrm{var}(R_P) = 0.625^2(25) + 0.375^2(100) + 2(0.625)(0.375)(15.0)

= 9.765625 + 14.0625 + 7.03125 = 30.859375\ (\%^2)

\sigma_P = \sqrt{30.859375} \approx 5.56\%

オーラリーと同じ平均で、標準偏差は約 $1.44$ %ポイント低くなります。オーラリーは境界の右側、弾丸型の内側にあります。

問4 · 4つ目の株

条件： ニンバス、オーラリー、パイロンの最小分散境界（空売り可）。4つ目の架空の株を加え、4つすべてから境界を計算し直します。必ず正しいといえる記述はどれですか。

✅ 正解です！ 新しい株のウェイトを

0

にすれば、3銘柄のポートフォリオはどれも引き続き選べます。ですから各平均での最小の分散は、下がるか変わらないかのどちらかです。

❌ 選択肢を加えても、選択肢が減ることはありません。 古いポートフォリオは引き続き選べる（新しい株のウェイトを

0

にする）ので、新しい株がどれほどリスクが高くても、どの平均でも最小の分散が上がることはありません。

❌ 株が3つ以上あれば、そうとは限りません。 GM、IBM、モトローラのように、個々の株は弾丸型のはっきり内側にありえます。新しい株が境界の上に来なければならない理由はありません。

❌ 範囲が狭すぎます。 新しい株はどのポートフォリオでも買い持ちにも売り持ちにもできるので、自分の平均より低い平均でも分散を下げられます。保証されているのは、何も悪くならないことだけです。

解答を見る

境界は期待リターンの水準ごとの最小の分散として定義されます。株が4つなら、候補のポートフォリオには3銘柄のポートフォリオがすべて含まれる（ $\omega_4 = 0$ とおく）ので、各平均での最小値はより大きな集合からとられます：

\sigma_{\text{4銘柄}}(\mu) \le \sigma_{\text{3銘柄}}(\mu) \quad \text{任意の平均 } \mu

境界は左に動くかそのままで、右に動くことはありません。だからこそ、株を加えるほどポートフォリオ理論を使う理由は強くなり、また個々の株は、古いものも新しいものも、境界の上にあるとは限らないのです。

正解数：0 / 4