ファイナンス理論 · 第17回 · 動画1 · インタラクティブ教材

一銘柄だけ持つのはなぜ損か：三銘柄のフロンティアと、株価が連動する理由

I重要な公式

公式	名称	説明
$\mathsf{E}[R_p] = \sum_{i} \omega_i\,\mathsf{E}[R_i]$ , $\sum_i \omega_i = 1$	ポートフォリオの平均	ウェイトの組1つが、ポートフォリオ1つ、つまり $(\sigma_p, \mathsf{E}[R_p])$ 平面上の1点を決めます
$\sigma_p^2 = \sum_{i}\sum_{j} \omega_i\,\omega_j\,\sigma_{ij}$ , $\sigma_{ij} = \rho_{ij}\,\sigma_i\,\sigma_j$	ポートフォリオの分散	共分散行列のマスはすべて効きます。 $\sigma_p$ は、 $\sigma_i$ の加重平均にはなりません（すべての $\rho_{ij} = 1$ の場合を除く）
$p$ が $q$ に優越する： $\mathsf{E}[R_p] \ge \mathsf{E}[R_q]$ かつ $\sigma_p \le \sigma_q$ （少なくとも一方は厳密）	優越	$p$ は $q$ の北西の象限にあります
$\omega = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots, 0)$	個別の株	実現可能なポートフォリオであることに変わりはありません。3銘柄以上なら弾丸の内側にあるので、優越されます

ポイント：証券を1つ増やしても、損をすることはありえません。そのウェイトを0にすれば、それまでのポートフォリオはすべて選べるので、効率的フロンティアは北西に動くか、悪くてもそのままです。

IIどの組み合わせも1つの点

ウェイトの組1つが、ポートフォリオ1つです。動画と同じく空売りを認めて描いた弾丸型の曲線では、その内側の点にはどれも、真上と真左により良いポートフォリオがあります。

III証券をもう1つ

モトローラを加えても、GMとIBMだけのポートフォリオはすべて（ウェイト0で）選べるので、上側の枝は北西にしか動きません。

リスク水準 σ（%、月次） 6.34

IV株価が連動する理由

共通の景気循環と、株式をいっせいに売らせるパニックが相関を高め、分散投資で取り除けるリスクを小さくします。

各銘柄の分散に占める景気循環の割合 40%

💡 パニックがなければ、この説明用のモデルでは、景気循環の割合がどの2銘柄のあいだでも真の相関になります。48か月分のシミュレーションは、それを推定するにすぎません。割合が100%、つまり $\rho = 1$ の場合に達するまでは、分散投資はリスクを下げます。

V確認クイズ

問1 · どれがどれに優越するか

条件（説明用）：架空の3銘柄（年次リターン）。

銘柄	平均	σ	相関
アスター (A)	$6\%$	$14\%$	$\rho_{AB} = 0.3$
バーチ (B)	$9\%$	$20\%$	$\rho_{AC} = 0.2$
シダー (C)	$13\%$	$30\%$	$\rho_{BC} = 0.4$

1銘柄ずつ比べたとき、3銘柄のどれかがほかの銘柄に優越していますか？

ポートフォリオ $Q$ のウェイトは $(0.4,\ 0.3,\ 0.3)$ で、 $\mathsf{E}[R_Q] = 9\%$ 、 $\sigma_Q \approx 15.2\%$ です。 $Q$ はどの個別銘柄に優越しますか？

✅ 正解です！ どの銘柄もほかの銘柄に優越しませんが、

Q

はバーチと同じ平均で、リスクが約

4.8

ポイント低くなっています。ですから、バーチ100%は優越されます。動画のIBM 100%とまったく同じです。

❌ リスクが低いのは、優越の半分にすぎません。 アスターは

\sigma

が低い代わりに、平均も低い（

6\%

対

9\%

）ので、バーチの北西ではなく南西にあります。

❌ 平均が高いのは、優越の半分にすぎません。 シダーは稼ぎが多いものの、

30\%

のリスクを負うので、ほかの銘柄の北東にあります。良くも悪くもありません。

❌ 惜しい！ 優越するには、平均が同じかより高く、かつ、

\sigma

が同じかより低いことが必要です。

❌ アスターを確かめましょう。

Q

は平均ではアスターに勝ちますが、

15.2\% > 14\%

なので、

Q

はアスターの北東にあります。優越はしません。

❌ それこそが、動画が覆した直感です。

\rho < 1

なので、組み合わせの

\sigma

は、3つの

\sigma

の加重平均を下回ります。

Q

とバーチを比べてみましょう。

❌ 惜しい！

Q

の

(15.2\%,\ 9\%)

を、各銘柄の

(\sigma, \text{平均})

と1つずつ比べましょう。

解答を見る

銘柄どうしの比較。リスクの順に $14\% < 20\% < 30\%$ と並べると、平均も $6\% < 9\% < 13\%$ と上がっていきます。右へ進むたびに上へも進むので、どの2銘柄も互いに北東と南西の関係にあり、どの銘柄もほかの銘柄に優越しません（動画のGMとIBMと同じです）。

$Q$ と各銘柄の比較。

バーチ $(20\%, 9\%)$ ：平均が同じで $15.2\% < 20\%$ なので、 $Q$ はバーチに優越します。
アスター $(14\%, 6\%)$ ： $Q$ は平均が高いものの $\sigma$ も高いので、優越しません。
シダー $(30\%, 13\%)$ ： $Q$ はリスクが低いものの平均も低いので、優越しません。

$Q$ が優越するのはバーチだけです。

問2 · 加重平均の落とし穴

条件：問1の銘柄です。あるポートフォリオは、アスターを $70\%$ 、バーチを $30\%$ 持ちます（シダーはなし）。

その標準偏差 $\sigma_p$ はいくつですか？

このポートフォリオは、アスター100%に優越しますか？

✅ 正解です！ リスクの高い銘柄に

30\%

を移したのに、リスクは下がりました。

\rho_{AB} = 0.3

が

1

を大きく下回っているからです。アスター100%は、2銘柄の組み合わせにさえ優越されます。

❌ それは $\sigma$ の加重平均です。

0.7(14) + 0.3(20)

が正しいのは、

\rho_{AB} = 1

のときだけです。

\rho_{AB} = 0.3

なら、分散の公式はもっと小さい値を与えます。

❌ 共分散の項が抜けています。

\rho_{AB} = 0.3 \ne 0

なので、

2\,\omega_A\,\omega_B\,\sigma_{AB}

を加えます（

\sigma_{AB} = 84

）。

❌ あと一歩：交差項は2回現れます。 分散の表には、非対角のマスが

\sigma_{AB}

と

\sigma_{BA}

の2つあるので、係数

2

がつきます。

❌ 惜しい！

\sigma_p^2 = \omega_A^2\sigma_A^2 + \omega_B^2\sigma_B^2 + 2\,\omega_A\omega_B\,\rho_{AB}\,\sigma_A\sigma_B

を使い、平方根をとりましょう。

❌ 数字を確かめましょう。 その推論は、

\sigma

を加重平均として扱っています。分散の公式では、約

12.9\% < 14\%

になります。

❌ 比べる相手が違います。 問われているのはアスター

(14\%, 6\%)

です。ここでの比較の基準はバーチではありません。

❌ 負の相関は必要ありません。

\rho

が

1

を十分に下回っていれば、どの値でもそうなりえます。ここでは

\rho_{AB} = 0.3

で足ります。

❌ 惜しい！

(\sigma_p, \mathsf{E}[R_p])

を、アスターの

(14\%, 6\%)

と比べましょう。

解答を見る

平均： $\mathsf{E}[R_p] = 0.7(6\%) + 0.3(9\%) = 4.2\% + 2.7\% = 6.9\%$ .

共分散： $\sigma_{AB} = \rho_{AB}\,\sigma_A\sigma_B = 0.3 \times 14 \times 20 = 84$ （単位は $\%^2$ ）。

分散：

\sigma_p^2 = 0.7^2(196) + 0.3^2(400) + 2(0.7)(0.3)(84) = 96.04 + 36 + 35.28 = 167.32

\sigma_p = \sqrt{167.32} \approx 12.9\%

アスターと比べると、 $6.9\% > 6\%$ かつ $12.9\% < 14\%$ なので、この組み合わせはアスターの北西にあり、アスターに優越します。

問3 · 3銘柄の組み合わせとバーチ

条件：問1の銘柄です。あるポートフォリオは、アスター、バーチ、シダーに $\omega = (0.3,\ 0.3,\ 0.4)$ のウェイトを置きます。

その標準偏差 $\sigma_p$ はいくつですか？

このポートフォリオは、バーチ100%、つまり $(20\%, 9\%)$ から見てどこにありますか？

✅ 正解です！

(17.0\%,\ 9.7\%)

は

(20\%,\ 9\%)

の北西にあります。全額をバーチに投じるよりも、リターンが高く、リスクが低いのです。

❌ それは $\sigma$ の加重平均です。

0.3(14) + 0.3(20) + 0.4(30)

が正しいのは、すべての相関が

1

の場合だけです。

❌ あと一歩：交差項はそれぞれ2回現れます。 非対角の3つのペアが、それぞれ

2\,\omega_i\omega_j\sigma_{ij}

ずつ寄与します。

❌ 共分散が抜けています。 相関が正なので、3つの交差項が分散に

92.88

を加えます。

❌ 惜しい！ ウェイトをかけた3つの分散と、ウェイトをかけて2倍した3つの共分散を足し、平方根をとりましょう。

❌ リスクを確かめましょう。

17.0\% < 20\%

なので、この組み合わせはバーチの右ではなく左にあります。

❌ 惜しい！ 平均は

0.3(6) + 0.3(9) + 0.4(13) = 9.7\%

です。両方の座標をバーチと比べましょう。

解答を見る

共分散（単位は $\%^2$ ）： $\sigma_{AB} = 0.3(14)(20) = 84$ 、 $\sigma_{AC} = 0.2(14)(30) = 84$ 、 $\sigma_{BC} = 0.4(20)(30) = 240$ 。

平均： $\mathsf{E}[R_p] = 0.3(6) + 0.3(9) + 0.4(13) = 1.8 + 2.7 + 5.2 = 9.7\%$ .

分散：まず対角の項、次に2倍した交差項です。

0.09(196) + 0.09(400) + 0.16(900) = 17.64 + 36 + 144 = 197.64

2(0.3)(0.3)(84) + 2(0.3)(0.4)(84) + 2(0.3)(0.4)(240) = 15.12 + 20.16 + 57.6 = 92.88

\sigma_p^2 = 197.64 + 92.88 = 290.52, \qquad \sigma_p = \sqrt{290.52} \approx 17.0\%

バーチと比べると、 $9.7\% > 9\%$ かつ $17.0\% < 20\%$ なので、この組み合わせはバーチの北西にあり、バーチに優越します。

問4 · 単独では誰も持たない4つ目の銘柄

条件：4つ目の架空の銘柄、ドッグウッドが選択肢に加わります。平均 $5\%$ 、 $\sigma = 40\%$ で、アスター、バーチ、シダーのどれとも無相関です。単独では、アスターに優越されます。効率的フロンティアはどうなりますか？

✅ 正解です！

\omega_D = 0

とすれば、それまでのポートフォリオはすべて選べます。ここでは、フロンティアは実際に改善します。無相関のドッグウッドを少し買い持ちすると、最小分散の

\sigma

が約

12.8\%

から約

12.2\%

に下がります。

❌ 単独で優越されるからといって、組み合わせの中で役に立たないわけではありません。 GM、IBM、モトローラもそれぞれ優越されていますが、フロンティア上のポートフォリオは3つすべてを持ちます。ドッグウッドは相関が0なので、分散投資に役立ちます。

❌ それを持つ義務はありません。

\omega_D = 0

なら、それまでのポートフォリオはすべて実現可能なので、フロンティアのどの部分も悪くなりえません。

❌ 含める義務はありません。 それまでの最小分散ポートフォリオは、今も選べます。新しい最小分散ポートフォリオは少なくとも同じだけ良く、ここでは実際により良くなります。

❌ 惜しい！ ドッグウッドのウェイトが0のとき、それまでのポートフォリオがどうなるかを考えましょう。

解答を見る

失うものはありません。アスター、バーチ、シダーのどんなポートフォリオも、 $\omega_D = 0$ の4銘柄のポートフォリオであり、平均も $\sigma$ も変わりません。ですから、どのリスク水準でも達成できる最高の平均は下がりえず、どの平均でも達成できる最小の $\sigma$ は上がりえません。フロンティアは北西に動くか、そのままです。

たいていは得るものがあります。単独で優越されることは、その銘柄が組み合わせの中でもつ価値については何も語りません。ドッグウッドはほかの3銘柄と無相関なので、少しのウェイトなら、それ自身の分散をほとんど加えずにリスクを分散できます。フロンティアを数値的に解くと（空売りあり）、最小分散の $\sigma$ は約 $12.8\%$ から約 $12.2\%$ に下がり、ドッグウッドには約 $9\%$ が置かれます。

正解数：0 / 4