ファイナンス理論 · 第17回 · 動画2 · インタラクティブ教材

誰もが同じ株を持つべき理由：接点ポートフォリオ

I重要な公式

公式	名称	説明
$q$ が $p$ に優越する： $\mathsf{E}[R_q] \ge \mathsf{E}[R_p]$ かつ $\sigma_q \le \sigma_p$ （少なくとも一方は厳密）	優越の判定	$q$ は $p$ の北西の象限にあります。真上か、真西か、そのあいだです
$\mathsf{E}[R] = r_f + \omega\,(\mathsf{E}[R_p] - r_f)$	Tビルとの組み合わせの期待リターン	ウェイト $\omega$ をポートフォリオ $p$ に置き、残りの $1 - \omega$ をTビルに置きます
$\sigma = \omega\,\sigma_p$	Tビルとの組み合わせのリスク	Tビルにはリスクがないので、 $p$ に投じた分だけが効きます（ここでは $0 \le \omega \le 1$ ）
$\dfrac{\mathsf{E}[R_p] - r_f}{\sigma_p}$	$p$ を通る直線の傾き	リスク1単位あたりの追加の期待リターン。リスクが0より大きければ、どの水準でも、傾きの急な直線ほど多くを支払います

ポイント：どちらの座標も $\omega$ の一次式なので、Tビルとの組み合わせはどれも、 $r_f$ から $p$ への直線の上にあります。そうした直線のうち、実現可能なポートフォリオにまだ届く最も急なものは、効率的フロンティアに接します。期待リターンを好み、リスクを嫌う投資家は誰もが、その接点、つまり接点ポートフォリオを持ち、Tビルにどれだけ置くかだけを選びます。

II北西の象限

あるポートフォリオが別のポートフォリオに勝つのは、その北西の象限にあるとき、つまりリスクが大きくなく、期待リターンが小さくないときだけです。

テスト点の σ（%） 24 テスト点の E[R]（%） 9

IIITビルとどんなポートフォリオでも

Tビルとどんなポートフォリオ $p$ を組み合わせても、 $r_f$ から $p$ への線分の上を動くことになります。

リスクのあるポートフォリオ p p へのウェイト ω 3/4

IV直線を接線まで回転させる

$r_f$ を軸に直線を回すと、実現可能なポートフォリオにまだ届く最も急な直線は、フロンティアにちょうど1点で接します。

直線の傾き 0.31

💡 慎重な退職者もヘッジファンド・マネージャーも、同じ $T$ を持ちます。違うのは $\omega$ 、つまりお金のうちTビルではなく $T$ に置く割合だけです。

V確認クイズ

問1 · Tビルとポートフォリオを組み合わせる

条件：ポートフォリオ $C$ は年率で $\mathsf{E}[R_C] = 14\%$ 、 $\sigma_C = 30\%$ で、Tビルの利回りは $r_f = 3\%$ です。お金の $\tfrac{1}{5}$ をTビルに、残りを $C$ に投じます。この組み合わせの期待リターンと標準偏差を求めてください。

✅ 正解です！

\omega = \tfrac{4}{5}

なので、この組み合わせは、

r_f

から

C

への線分を5分の4進んだところにあります。

❌ 惜しい！ それは

\omega = \tfrac{1}{5}

を使っていますが、

\tfrac{1}{5}

はTビルの割合です。

C

へのウェイトは

\omega = 1 - \tfrac{1}{5} = \tfrac{4}{5}

です。

❌ 惜しい！

\tfrac{4}{5} \times 14\% = 11.2\%

ではTビルが抜けています。Tビルも、その5分の1の分で

3\%

を稼ぎます：

11.2\% + \tfrac{1}{5} \times 3\% = 11.8\%

。

❌ 惜しいですが… 期待リターンは正しいものの、

\sqrt{\tfrac{4}{5}} \times 30\%

は分散を

\omega

倍しています。Tビルにはリスクがないので、比例して変わるのは標準偏差そのものです：

\sigma = \omega\,\sigma_C

。

解答を見る

$C$ へのウェイトは $\omega = 1 - \tfrac{1}{5} = \tfrac{4}{5}$ です。

\mathsf{E}[R] = r_f + \omega\,(\mathsf{E}[R_C] - r_f) = 3\% + \tfrac{4}{5}\,(14\% - 3\%) = 3\% + 8.8\% = 11.8\%

\sigma = \omega\,\sigma_C = \tfrac{4}{5} \times 30\% = 24\%

この組み合わせは、（リスク, リターン）平面で $(0\%, 3\%)$ から $C = (30\%, 14\%)$ への直線の上にあり、 $C$ に向かって5分の4進んだところです。

問2 · どれが優越するか

条件：ポートフォリオ $B$ は年率で $\mathsf{E}[R_B] = 11\%$ 、 $\sigma_B = 20\%$ で、Tビルの利回りは $r_f = 3\%$ です。期待リターンを好み、リスクを嫌うすべての投資家にとって、 $B$ より厳密に選好されるのは次のどれですか？

✅ 正解です！ どの候補も、リターンが増える代わりにリスクが増えるか、リスクが減る代わりにリターンが減っています。ですから、

B

の北西の象限にあるものはありません。

❌ 惜しい！

C

は期待リターンが高いものの、リスクも高くなっています。

B

の北東にあり、選好される象限の外です。

❌ 惜しい！

A

はリスクが低いものの、稼ぎも少なくなっています。

B

の南西にあり、選好される象限の外です。

❌ 惜しい！ 組み合わせを計算しましょう：

\mathsf{E}[R] = 3\% + \tfrac{3}{5}(14\% - 3\%) = 9.6\%

、

\sigma = \tfrac{3}{5}(30\%) = 18\%

。

B

よりリスクは低いものの、期待リターンも低くなります。

解答を見る

$q$ が $B$ より厳密に選好されるのは、 $\mathsf{E}[R_q] \ge 11\%$ かつ $\sigma_q \le 20\%$ で、少なくとも一方の不等号が厳密なときだけです。各候補を確かめます。

$C$ ： $14\% \ge 11\%$ ですが、 $30\% > 20\%$ です。リスクの条件を満たしません（北東）。
$A$ ： $12\% \le 20\%$ ですが、 $8\% < 11\%$ です。リターンの条件を満たしません（南西）。
組み合わせ（ $\omega = \tfrac{3}{5}$ ）： $\mathsf{E}[R] = 3\% + \tfrac{3}{5}(14\% - 3\%) = 9.6\%$ 、 $\sigma = \tfrac{3}{5}(30\%) = 18\%$ 。これも南西です。

どれも $B$ に優越せず、 $B$ もどれにも優越しません。リターンが高いだけ、あるいはリスクが低いだけでは足りないのです。

問3 · 同じリスクへの3つの道

条件：Tビルの利回りは $r_f = 3\%$ で、3つのポートフォリオは、 $A$ ： $\mathsf{E}[R_A] = 8\%$ 、 $\sigma_A = 12\%$ 、 $B$ ： $\mathsf{E}[R_B] = 11\%$ 、 $\sigma_B = 20\%$ 、 $C$ ： $\mathsf{E}[R_C] = 14\%$ 、 $\sigma_C = 30\%$ です（いずれも年率）。次の3つの投資は、どれも $\sigma = 12\%$ です： $A$ だけ、 $\tfrac{3}{5}$ を $B$ に $\tfrac{2}{5}$ をTビルに、 $\tfrac{2}{5}$ を $C$ に $\tfrac{3}{5}$ をTビルに。

3/5 を B に、2/5 をTビルに置いたときの期待リターンは？

σ = 12% で最も多く稼ぐのは、3つのうちどれですか？

✅ 正解です！

\sigma = 12\%

では、3つの稼ぎは

8\%

、

7.8\%

、

7.4\%

です。

A

を通る直線が最も急なので、このリスクでも、0より大きいほかのどのリスクでも、最も多くを支払います。

❌ 惜しい！

6.2\%

は、

\tfrac{2}{5}

を

B

に置いた場合です。ここでは

\omega = \tfrac{3}{5}

が

B

へのウェイトです。

❌ 惜しい！

\tfrac{3}{5} \times 11\% = 6.6\%

では、Tビルの分も

3\%

を稼ぐことを忘れています。

❌ 惜しい！

3\% + \tfrac{3}{5} \times 11\%

では、無リスク金利を二重に数えています。ウェイトをかけるのは差

\mathsf{E}[R_B] - r_f = 8\%

で、

11\%

ではありません。

❌ 期待リターンを確かめましょう。

\mathsf{E}[R] = r_f + \omega\,(\mathsf{E}[R_B] - r_f)

に

\omega = \tfrac{3}{5}

を代入します。

❌ 惜しい！

B

の組み合わせは

7.8\%

を稼ぎますが、

A

だけなら、稼ぎは

8\%

で、リスクは同じ

12\%

です。

A

を通る直線のほうが急なのです：

\tfrac{5}{12} > \tfrac{8}{20}

。

❌ 惜しい！

C

は単独では期待リターンが最も高いものの、

\sigma = 12\%

まで薄めると、

3\% + \tfrac{2}{5}(11\%) = 7.4\%

しか稼ぎません。その直線が最もゆるやかなのです。

❌ 惜しい！ リスクが同じでも、リターンが同じとは限りません。それぞれの組み合わせは

r_f

から出る別々の直線の上にあり、

\sigma = 12\%

での直線の高さは異なります。

❌ 惜しい！

\sigma = 12\%

での3つの期待リターンをすべて計算して、比べましょう。

解答を見る

どの投資も $\sigma = 12\%$ に達します。 $\sigma = \omega\,\sigma_p$ だからです： $1 \times 12\%$ 、 $\tfrac{3}{5} \times 20\%$ 、 $\tfrac{2}{5} \times 30\%$ 。期待リターンは次のとおりです。

A:\ 8\%, \qquad B \text{ の組み合わせ}:\ 3\% + \tfrac{3}{5}(11\% - 3\%) = 7.8\%, \qquad C \text{ の組み合わせ}:\ 3\% + \tfrac{2}{5}(14\% - 3\%) = 7.4\%

リスクが同じでリターンが最も高い、 $A$ だけのポートフォリオが、2つの組み合わせの両方に優越します（それらの真上にあります）。理由は、 $r_f$ から出るそれぞれの直線の傾きです。

\frac{8 - 3}{12} = \frac{5}{12} \approx 0.417, \qquad \frac{11 - 3}{20} = 0.4, \qquad \frac{14 - 3}{30} = \frac{11}{30} \approx 0.367

3本のうち $A$ を通る直線が最も急なので、0より大きいどのリスク水準でも、期待リターンが最も高くなります。

問4 · 退職者のポートフォリオ

条件：接点ポートフォリオが $A$ だとします。年率で $\mathsf{E}[R_A] = 8\%$ 、 $\sigma_A = 12\%$ で、オスプレイ、プローバー、ロビンの3銘柄を $\tfrac{1}{2}$ 、 $\tfrac{3}{10}$ 、 $\tfrac{1}{5}$ のウェイトで持ちます。Tビルの利回りは $r_f = 3\%$ です。$150,000 を持つ慎重な退職者が、その $\tfrac{4}{5}$ をTビルに置き、残りを $A$ に投じます。

プローバーにはいくら投じていますか？

彼女のポートフォリオの期待リターンとリスクは？

✅ 正解です！ 彼女はプローバーとロビンを

\tfrac{3}{10} : \tfrac{1}{5} = 3 : 2

の比率で持ちます。

A

を持つヘッジファンド・マネージャーとまったく同じです。違うのはTビルの割合だけで、そのため彼女は直線の下のほう、

r_f

の近くに位置します。

❌ 惜しい！

\tfrac{3}{10} \times \text{\textdollar}150{,}000

では、お金の全額を

A

に投じたものとして扱っています。投じたのは、その

\tfrac{1}{5}

だけです。

❌ 惜しい！ それは、Tビルに置いた

\tfrac{4}{5}

にプローバーのウェイトをかけています。Tビルには株は含まれません。

❌ 惜しい！ $30,000 は

A

の保有額全体です。プローバーはその

\tfrac{3}{10}

にすぎません。

❌ プローバーの保有額を確かめましょう。 資産額に

A

の割合をかけ、さらに

A

の中でのプローバーのウェイトをかけます。

❌ 惜しい！ それは、Tビルの割合である

\omega = \tfrac{4}{5}

を使っています。

A

へのウェイトは

\omega = \tfrac{1}{5}

です。

❌ 惜しいですが… 期待リターンは正しいものの、Tビルにはリスクがないので、リスクは

A

へのウェイトに比例して小さくなります：

\sigma = \tfrac{1}{5} \times 12\%

。

❌ 惜しい！

\tfrac{1}{5} \times 8\% = 1.6\%

では、Tビルが稼ぐ

3\%

（残りの

\tfrac{4}{5}

の分）を忘れています。

❌ 組み合わせを確かめましょう。 両方の公式で

\omega = \tfrac{1}{5}

を使います。

解答を見る

$A$ へのウェイトは $\omega = 1 - \tfrac{4}{5} = \tfrac{1}{5}$ なので、 $\tfrac{1}{5} \times \text{\textdollar}150{,}000 = \text{\textdollar}30{,}000$ を $A$ に投じていて、プローバーはその $\tfrac{3}{10}$ です。

\tfrac{3}{10} \times \text{\textdollar}30{,}000 = \text{\textdollar}9{,}000

期待リターンとリスクは次のとおりです。

\mathsf{E}[R] = 3\% + \tfrac{1}{5}\,(8\% - 3\%) = 4\%, \qquad \sigma = \tfrac{1}{5} \times 12\% = 2.4\%

株式の保有額は、オスプレイに $15,000、プローバーに $9,000、ロビンに $6,000 で、接点ポートフォリオの比率 $\tfrac{1}{2} : \tfrac{3}{10} : \tfrac{1}{5}$ になっています。どの投資家も同じ株を同じ比率で持ちます。リスク許容度が決めるのは $\omega$ だけです。

正解数：0 / 4