ファイナンス理論 · 第18回 · 動画1 · インタラクティブ教材

全員が同じファンドを持つなら、それは市場だ：シャープの均衡の議論

I重要な公式

公式名称説明
ωiDj\omega_i D_j投資家 jj による株式 ii の保有額ウェイト ωi\omega_i は全員共通で、違うのは M に投じる金額 DjD_j だけ
∑jωiDj=ωiD=Vi\sum_j \omega_i D_j = \omega_i D = V_i市場クリア条件株式 ii への需要の合計は、その時価総額に等しい
D=∑kVkD = \sum_k V_kM への投資総額∑iωi=1\sum_i \omega_i = 1 から従う
ωi=Vi∑kVk\omega_i = \dfrac{V_i}{\sum_k V_k}マーケット・ポートフォリオのウェイト市場全体の時価総額に占める各株式の割合

ポイント：二基金分離によれば、どの投資家もTビルと同じファンドMを持ちます。すると、供給 == 需要という条件から、Mの候補はちょうど1つ、時価総額で加重したマーケット・ポートフォリオだけが残ります。

II二基金分離

どの投資家も、リスク資産として持つのは同じファンドMです。違うのは、そこに投じる金額だけです。

III供給と需要は一致しなければならない

Mに6,000億ドルが流れ込むとき、すべての株式で需要を供給に一致させるウェイトの組は、ただ1つしかありません。

IV記号による導出

保有額を投資家について足し、次に株式について足すと、どのウェイトも市場全体の時価総額に占める割合に決まります。

1 · 1人の投資家

株式 i のうち投資家 j が持つ額=ωiDj\text{株式 } i \text{ のうち投資家 } j \text{ が持つ額} = \omega_i D_j

D1D_1, D2D_2, D3D_3 = 900億ドル、2,400億ドル、2,700億ドル：各投資家がMに投じる金額です。貯蓄したお金でも、借りたお金でも構いません。

V確認クイズ

問1 · レバレッジをかけたポジションの中の1銘柄

条件：4つの株式、アトラス（3,000億ドル）、バーチ（1,500億ドル）、コバルト（900億ドル）、デューン（600億ドル）からなる架空の経済が均衡にあります。富が $250,000 のある投資家は、その130%をMに投じ、不足分をTビル金利で借りています。彼女が持つコバルトの金額を求めてください。

✅ 正解です！ コバルトはMの 15%15\% で、彼女はMに $325,000 を投じているので、コバルトの保有額は $48,750 です。
❌ 惜しい！ それは、コバルトのウェイトを彼女の富にかけています。彼女は富の130%をMに投じているので、もとになる金額は $250,000 ではなく $325,000 です。
❌ 惜しい！ それは、Mが4銘柄を均等に持つかのように、コバルトに 25%25\% のウェイトを与えています。均衡では、Mは各株式を時価総額で加重します：90/600=0.1590/600 = 0.15。
❌ 惜しい！ それは、コバルトのウェイトを借りた $75,000 にかけています。借りたお金も自分のお金と一緒にMに入るので、ウェイトは $325,000 全体にかかります。
❌ 惜しい！ Mの中でのコバルトのウェイトを求め、それに彼女がMに投じた総額をかけましょう。
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ステップ1：Mの中でのコバルトのウェイト。市場全体の時価総額は6,000億ドルなので、

ωコバルト=90600=0.15\omega_{\text{コバルト}} = \frac{90}{600} = 0.15

ステップ2：Mに投じる金額。$250,000 の130%は $325,000 で、そのうち $250,000 は自分のお金、$75,000 はTビル金利で借りたお金です。

ステップ3：コバルトの保有額（単位：ドル）：

ωコバルトDj=0.15×325,000=48,750\omega_{\text{コバルト}} D_j = 0.15 \times 325{,}000 = 48{,}750

彼女はコバルトを $48,750 持っています。Tビルのポジションは $75,000 の借入で、ほかの株式もすべて、Mと同じ比率で持っています。

問2 · 価格が変わればウェイトも動く

条件：同じ経済です：アトラス3,000億ドル、バーチ1,500億ドル、コバルト900億ドル、デューン600億ドル。アトラスの株価が 20%20\% 上がります。株式の発行や消却はなく、ほかの株価は変わりません。いまのマーケット・ポートフォリオの中でのアトラスのウェイトを求めてください。

✅ 正解です！ アトラスの価値は、合計6,600億ドルのうち3,600億ドルになったので、ωアトラス=360/660≈54.5%\omega_{\text{アトラス}} = 360/660 \approx 54.5\% です。
❌ 惜しい！ ウェイトは、時価総額を市場全体の時価総額で割ったもので、アトラスの時価総額はちょうど変わったところです。Mのウェイトは固定されたものではなく、価格に連動します。
❌ 惜しい！ 1.2×50%=60%1.2 \times 50\% = 60\% は分子だけを拡大しています。アトラスの600億ドルの値上がりは、合計も6,000億ドルから6,600億ドルに引き上げます。
❌ 惜しい！ それは、アトラスの古い価値3,000億ドルを、新しい合計で割っています。どちらも新しい価格で測らなければなりません。
❌ 惜しい！ アトラスの時価総額と市場全体の時価総額を計算し直してから、割りましょう。
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ステップ1：新しい時価総額（単位：10億ドル）。アトラス：1.2×300=3601.2 \times 300 = 360。ほかは変わらないので、合計は

∑kVk=360+150+90+60=660\sum_k V_k = 360 + 150 + 90 + 60 = 660

ステップ2：ウェイト。

ωアトラス=360660=611≈0.545\omega_{\text{アトラス}} = \frac{360}{660} = \frac{6}{11} \approx 0.545

したがって、いまアトラスはMの約54.5%です。ほかのウェイトはすべて下がります。たとえばデューンは、10%10\% から 60/660≈9.1%60/660 \approx 9.1\% になります。すでにMを持っている投資家は、売買する必要がありません。各保有額は株価と歩調を合わせて価値が変わるので、保有額は時価総額に比例したままだからです。

問3 · 3つの投資家グループで市場をクリアする

条件：同じ4つの株式（合計6,000億ドル）を、平均・分散投資家の3つのグループが持っています。グループ1は富が3,000億ドルで、その40%をMに投じます。グループ2は富が2,000億ドルで、その130%をMに投じ、不足分を借ります。グループ3も、TビルとMを持ちます。市場がクリアするためにグループ3がMに投じなければならない金額と、グループ2が持つデューン（600億ドル）の金額を求めてください。

グループ3がMに投じる金額

グループ2のデューンの保有額

✅ 正解です！ グループ1と2はMにそれぞれ1,200億ドルと2,600億ドルを投じるので、グループ3は6,000億ドルの残り2,200億ドルを出さなければなりません。グループ2は2,600億ドルの 10%10\%、つまり260億ドルをデューンで持ちます。
❌ 惜しい！ それは、各グループの富を引いています。市場クリア条件で問題になるのは、Mに投じる金額です。グループ1は3,000億ドルの40%、グループ2は2,000億ドルの130%をMに投じます。
❌ 惜しい！ 1,800億ドルはグループ1がTビルで貸し付ける金額で、Mに投じる金額ではありません。グループ1がMに投じるのは、3,000億ドルの40%、1,200億ドルです。
❌ 惜しい！ それは、グループ1を抜かしています。グループ1もMを持っているので、その1,200億ドルも6,000億ドルに含まれます。
❌ 惜しい！ それは、デューンのウェイトをグループ2の富にかけています。グループ2は富の130%、つまり2,600億ドルをMに投じています。
❌ 惜しい！ それは、均等に分けた 25%25\% のウェイトを使っています。Mの中でのデューンのウェイトは、その時価総額を合計で割ったもので、60/600=0.1060/600 = 0.10 です。
❌ 惜しい！ それは、デューンのウェイトをグループ2が借りる600億ドルにかけています。ウェイトは、グループ2がMに投じる2,600億ドル全体にかかります。
❌ グループ3を確認しましょう。均衡では、すべてのグループがMに投じる金額の合計が、市場全体の時価総額に等しくなければなりません。
❌ デューンの保有額を確認しましょう。保有額 = Mの中でのデューンのウェイト × グループ2がMに投じる金額 です。
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ステップ1：Mに投じる金額（単位：10億ドル）。グループ1：0.40×300=1200.40 \times 300 = 120。グループ2：1.30×200=2601.30 \times 200 = 260 で、そのうち 6060 は借りたお金です。

ステップ2：市場クリア条件。株式について足すと D=∑kVkD = \sum_k V_k が得られたので、Mに投じる金額の合計は時価総額に等しくなければなりません：

120+260+D3=600  ⇒  D3=220120 + 260 + D_3 = 600 \;\Rightarrow\; D_3 = 220

グループ3はMに2,200億ドルを投じます。

ステップ3：グループ2のデューンの保有額。ωデューン=60/600=0.10\omega_{\text{デューン}} = 60/600 = 0.10 なので、

ωデューンD2=0.10×260=26\omega_{\text{デューン}} D_2 = 0.10 \times 260 = 26

グループ2はデューンを260億ドル持ちます。検算：3つのグループの保有額の合計は 0.10×(120+260+220)=600.10 \times (120 + 260 + 220) = 60 で、デューンの600億ドルにぴったり一致します。

問4 · ポートフォリオを逆にたどる

条件：同じ均衡です（アトラス3,000億ドル、バーチ1,500億ドル、コバルト900億ドル、デューン600億ドル）。ある投資家のポートフォリオには、アトラスが $13,000 含まれています。彼女が持つデューンの金額と、彼女の富が $65,000 のとき、富のうちMに投じている割合を求めてください。

彼女のデューンの保有額

富のうちMに投じている割合

✅ 正解です！ 保有額は時価総額の比になっているので、デューンはアトラスの保有額の 60/300=1/560/300 = 1/5 です。ウェイト 50%50\% のアトラスが $13,000 なら、Mには $26,000 を投じていて、これは $65,000 の 40%40\% です。
❌ 惜しい！ それはアトラスの保有額の10%です。デューンのウェイト10%は、彼女がMに投じた総額にかかります。その総額は、アトラスの保有額より大きいはずです。
❌ 惜しい！ それは、アトラスにコバルトの比 90/30090/300 をかけています。デューンの時価総額は600億ドルです。
❌ 惜しい！ それは、アトラスにバーチの比 150/300150/300 をかけています。デューンの時価総額は600億ドルです。
❌ 惜しい！ $65,000 のうち $13,000 では、アトラスの保有額しか数えていません。アトラスはMの半分なので、Mに投じた金額はその2倍です。
❌ 惜しい！ 50%50\% は、Mの中でのアトラスのウェイトで、どの投資家でも同じです。彼女のポジションの大きさは、Mに投じた金額を富で割ったものです。
❌ 惜しい！ それは、富をMに投じた金額で割っています。Mに投じている割合は、Mに投じた金額を富で割ったものです。
❌ デューンの保有額を確認しましょう。均衡では、どの2つの株式の保有額も、その時価総額の比になっています。
❌ 割合を確認しましょう。まず、アトラスの保有額とアトラスのウェイトから、Mに投じた金額を求めましょう。
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ステップ1：保有額の比。どの投資家も ωiDj\omega_i D_j だけ株式 ii を持つので、どの2つの株式についても、保有額の比は ωi/ωk=Vi/Vk\omega_i / \omega_k = V_i / V_k です：

デューンの保有額アトラスの保有額=60300=15  ⇒  13,0005=2,600\frac{\text{デューンの保有額}}{\text{アトラスの保有額}} = \frac{60}{300} = \frac{1}{5} \;\Rightarrow\; \frac{13{,}000}{5} = 2{,}600

彼女はデューンを $2,600 持っています。

ステップ2：Mに投じる金額。アトラスのウェイトは 300/600=0.50300/600 = 0.50 なので、

Dj=13,0000.50=26,000D_j = \frac{13{,}000}{0.50} = 26{,}000

ステップ3：富に占める割合。26,000/65,000=0.4026{,}000 / 65{,}000 = 0.40 なので、彼女は富の40%をMに投じ、残りの $39,000 をTビルで持っています。

正解数：0 / 4