ファイナンス理論 · 第18回 · 動画2 · インタラクティブ教材

接線からベータへ：効率的でない資産の価格づけ

I重要な公式

公式名称対象
E[Rp]=Rf+σpσm(E[Rm]−Rf)\mathsf{E}[R_p] = R_f + \dfrac{\sigma_p}{\sigma_m}\left(\mathsf{E}[R_m] - R_f\right)接線（資本市場線）効率的ポートフォリオだけ：Tビルとマーケット・ポートフォリオ MM の組み合わせ
βi=Cov⁡[Ri,Rm]Var⁡[Rm]=ρim σiσm\beta_i = \dfrac{\operatorname{Cov}[R_i, R_m]}{\operatorname{Var}[R_m]} = \dfrac{\rho_{im}\,\sigma_i}{\sigma_m}市場ベータどんな資産にも使える。2つ目の形は Cov⁡[Ri,Rm]=ρimσiσm\operatorname{Cov}[R_i, R_m] = \rho_{im}\sigma_i\sigma_m を使う
E[Ri]=Rf+βi(E[Rm]−Rf)\mathsf{E}[R_i] = R_f + \beta_i\left(\mathsf{E}[R_m] - R_f\right)シャープ＝リントナーのCAPMどんな資産にも成り立つ：株式、プロジェクト、ポートフォリオ。効率的かどうかは問わない
βp=σpσm\beta_p = \dfrac{\sigma_p}{\sigma_m}効率的な特殊ケース接線上のポートフォリオ。このときCAPMは直線の式に帰着する

ポイント：接線はリスクを σp/σm\sigma_p/\sigma_m で価格づけしますが、これが正しいのは直線上のポートフォリオだけです。どんな資産でも、市場リスクプレミアムにかかる係数は βi\beta_i で、これはリスクのうち市場と連動する部分だけを数えます。ですから資本コストを決めるのは、シグマではなくベータです。

II接線の式

直線に沿って、ボラティリティが1ポイント増えるごとに、傾き (E[Rm]−Rf)/σm(\mathsf{E}[R_m] - R_f)/\sigma_m の分だけ、RfR_f を上回る期待リターンが増えます。

IIIシグマで価格づけできないものを、ベータが価格づけする

株式が接線上にあることはまずありません。代わりにCAPMは、ベータ βi=ρimσi/σm\beta_i = \rho_{im}\sigma_i/\sigma_m によって株式の位置を決めます。

IV効率的な特殊ケース

Tビルと MM の組み合わせでは、ベータは σp/σm\sigma_p/\sigma_m に等しくなるので、CAPMは接線の式に戻ります。

ステップ1 — 効率的ポートフォリオ

Rp=ωRm+(1−ω)RfR_p = \omega R_m + (1 - \omega) R_f

💡 シグマが正しいリスクの尺度になるのは、この特殊ケースだけです。ほかのすべての資産では、CAPMの率 Rf+βi(E[Rm]−Rf)R_f + \beta_i(\mathsf{E}[R_m] - R_f) が、NPVの計算に必要な割引率です。

V確認クイズ

問1 · 効率的ポートフォリオの期待リターン

条件：Rf=3%R_f = 3\%、市場リスクプレミアム E[Rm]−Rf=8%\mathsf{E}[R_m] - R_f = 8\%、σm=20%\sigma_m = 20\% で、いずれも年率です。ある効率的ポートフォリオ（Tビルと MM）は、年率 σp=25%\sigma_p = 25\% です。その年率の期待リターンを求めてください。

✅ 正解です！ このポートフォリオのリスクは市場の 1.251.25 倍なので、市場プレミアムの 1.251.25 倍を RfR_f に上乗せして稼ぎます。
❌ 惜しい！ 11%11\% は E[Rm]\mathsf{E}[R_m]、つまり σp=σm\sigma_p = \sigma_m のときのリターンです。ここでは σp/σm=1.25\sigma_p/\sigma_m = 1.25 で1を超えるので、ポートフォリオは市場より多く稼ぎます。
❌ 惜しい！ 1.25×8%=10%1.25 \times 8\% = 10\% はリスクプレミアムだけです。基本となるリターン Rf=3%R_f = 3\% をまだ足す必要があります。
❌ 惜しい！ 係数がかかるのは市場の超過リターン 8%8\% で、E[Rm]=11%\mathsf{E}[R_m] = 11\% ではありません。3%+1.25×11%=16.75%3\% + 1.25 \times 11\% = 16.75\% では、RfR_f を二重に数えています。
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Tビルと MM からなるポートフォリオは接線上にあるので、その期待リターンは直線の式から求まります：

E[Rp]=Rf+σpσm(E[Rm]−Rf)=3%+25%20%×8%=3%+1.25×8%=3%+10%=13%\mathsf{E}[R_p] = R_f + \frac{\sigma_p}{\sigma_m}\left(\mathsf{E}[R_m] - R_f\right) = 3\% + \frac{25\%}{20\%}\times 8\% = 3\% + 1.25 \times 8\% = 3\% + 10\% = 13\%

傾きは 8%/20%=0.48\%/20\% = 0.4 です。ボラティリティが1パーセントポイント増えるごとに期待リターンが 0.40.4 ポイント増えるので、25×0.4=1025 \times 0.4 = 10 ポイントだけ RfR_f を上回ります。

問2 · 株式は直線上にない

条件：年率で Rf=3%R_f = 3\%、E[Rm]−Rf=8%\mathsf{E}[R_m] - R_f = 8\%、σm=20%\sigma_m = 20\% です。ある株式は、年率のボラティリティが σi=36%\sigma_i = 36\% で、市場との相関が ρim=0.5\rho_{im} = 0.5 です。CAPMのもとでの、その年率の期待リターンを求めてください。

✅ 正解です！ 価格づけされるのは、株式のボラティリティのうち市場と連動する部分 ρimσi=18%\rho_{im}\sigma_i = 18\% だけです：βi=0.9\beta_i = 0.9。
❌ それは接線による答えです。3%+(36/20)×8%=17.4%3\% + (36/20) \times 8\% = 17.4\% は、株式を効率的なものとして扱っています。個別の株式は直線上にないので、係数は βi\beta_i であって、σi/σm\sigma_i/\sigma_m ではありません。
❌ 惜しい！ ベータは正しいのですが、ベータがかかるのはプレミアム 8%8\% で、E[Rm]=11%\mathsf{E}[R_m] = 11\% ではありません。
❌ 惜しい！ それは ρimσm/σi≈0.28\rho_{im}\sigma_m/\sigma_i \approx 0.28 を使っています。ベータは、資産のボラティリティを市場のボラティリティで割って尺度をそろえたものです：ρimσi/σm\rho_{im}\sigma_i/\sigma_m。
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相関とボラティリティからベータを求めます：

βi=ρim σiσm=0.5×36%20%=18%20%=0.9\beta_i = \frac{\rho_{im}\,\sigma_i}{\sigma_m} = \frac{0.5 \times 36\%}{20\%} = \frac{18\%}{20\%} = 0.9

次に、どんな資産にも成り立つCAPMを使います：

E[Ri]=Rf+βi(E[Rm]−Rf)=3%+0.9×8%=3%+7.2%=10.2%\mathsf{E}[R_i] = R_f + \beta_i\left(\mathsf{E}[R_m] - R_f\right) = 3\% + 0.9 \times 8\% = 3\% + 7.2\% = 10.2\%

接線によれば、要求される期待リターンは 17.4%17.4\% です（σ=36%\sigma = 36\% の場合）。株式はそれより 7.27.2 ポイント下にあります。相関が2分の1なので、ボラティリティのうち市場リスクとして数えられるのは半分だけだからです。

問3 · 共分散からベータを求める

条件：リターンを年率の小数で表すと、Cov⁡[Ri,Rm]=0.012\operatorname{Cov}[R_i, R_m] = 0.012、σm=20%\sigma_m = 20\%、σi=45%\sigma_i = 45\% です。ここでも年率で Rf=3%R_f = 3\%、E[Rm]−Rf=8%\mathsf{E}[R_m] - R_f = 8\% とします。この株式のベータと、CAPMによる期待リターンを求めてください。

βi\beta_i はいくつですか？

年率の E[Ri]\mathsf{E}[R_i] はいくつですか？

✅ 正解です！ ボラティリティはとても高いのに、ベータは低い株式です。45%45\% のボラティリティの大部分は市場と連動せず、CAPMが報酬を払うのは、連動する部分に対してだけです。
❌ 惜しい！ 0.012/0.20=0.060.012/0.20 = 0.06 は σm\sigma_m で割っています。ベータは、市場の分散 σm2=0.04\sigma_m^2 = 0.04 で割ります。
❌ 惜しい！ 0.012/(0.45×0.20)≈0.130.012/(0.45 \times 0.20) \approx 0.13 は、ベータではなく相関 ρim\rho_{im} です。ベータは、共分散を Var⁡[Rm]\operatorname{Var}[R_m] だけで割ります。
❌ 惜しい！ σi/σm=2.25\sigma_i/\sigma_m = 2.25 は接線の係数で、効率的ポートフォリオにしか使えません。Cov⁡[Ri,Rm]/Var⁡[Rm]\operatorname{Cov}[R_i, R_m]/\operatorname{Var}[R_m] を使いましょう。
❌ ベータを確認しましょう。βi=Cov⁡[Ri,Rm]/Var⁡[Rm]\beta_i = \operatorname{Cov}[R_i, R_m]/\operatorname{Var}[R_m] で、Var⁡[Rm]=0.202\operatorname{Var}[R_m] = 0.20^2 です。
❌ それは接線による答えです。3%+2.25×8%=21%3\% + 2.25 \times 8\% = 21\% は、株式が効率的であるかのように価格づけしています。βi=0.3\beta_i = 0.3 を使いましょう。
❌ 惜しい！ 3%+0.3×11%=6.3%3\% + 0.3 \times 11\% = 6.3\% は E[Rm]\mathsf{E}[R_m] にかけています。ベータがかかるのはプレミアム 8%8\% です。
❌ 惜しい！ 3%+0.06×8%=3.48%3\% + 0.06 \times 8\% = 3.48\% は βi=0.012/0.20=0.06\beta_i = 0.012/0.20 = 0.06 を使っています。これは共分散を σm\sigma_m で割っています。正しくは Var⁡[Rm]=0.04\operatorname{Var}[R_m] = 0.04 で割ります。
❌ 期待リターンを確認しましょう。E[Ri]=Rf+βi×8%\mathsf{E}[R_i] = R_f + \beta_i \times 8\% に βi=0.3\beta_i = 0.3 を使いましょう。
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ステップ1：ベータ。市場の分散は Var⁡[Rm]=0.202=0.04\operatorname{Var}[R_m] = 0.20^2 = 0.04 なので、

βi=Cov⁡[Ri,Rm]Var⁡[Rm]=0.0120.04=0.3\beta_i = \frac{\operatorname{Cov}[R_i, R_m]}{\operatorname{Var}[R_m]} = \frac{0.012}{0.04} = 0.3

ステップ2：CAPM。

E[Ri]=3%+0.3×8%=3%+2.4%=5.4%\mathsf{E}[R_i] = 3\% + 0.3 \times 8\% = 3\% + 2.4\% = 5.4\%

検算：相関は ρim=0.012/(0.45×0.20)≈0.133\rho_{im} = 0.012/(0.45 \times 0.20) \approx 0.133 で、ρimσi/σm=0.012/0.04=0.3\rho_{im}\sigma_i/\sigma_m = 0.012/0.04 = 0.3 と、同じベータになります。接線なら、この株式に 21%21\% を求めるところでした。CAPMの率のほぼ4倍です。

問4 · 同じベータなら同じ率

条件：年率で Rf=3%R_f = 3\%、E[Rm]−Rf=8%\mathsf{E}[R_m] - R_f = 8\%、σm=20%\sigma_m = 20\% です。ポートフォリオ PP はTビルと MM の組み合わせで、σp=14%\sigma_p = 14\% です。ある企業は、年率で β=0.7\beta = 0.7、σ=35%\sigma = 35\% のプロジェクトの価格づけもしています。PP の期待リターンと、プロジェクトの割引率（資本コスト）を求めてください。

PP の期待リターン

プロジェクトの割引率

✅ 正解です！ PP は βp=σp/σm=0.7\beta_p = \sigma_p/\sigma_m = 0.7 で、プロジェクトのベータと同じです。ですから、どちらも 8.6%8.6\% を稼ぎます。プロジェクトのボラティリティが 2.52.5 倍であってもです。
❌ 惜しい！ σp=σm\sigma_p = \sigma_m の効率的ポートフォリオだけが、E[Rm]=11%\mathsf{E}[R_m] = 11\% を稼ぎます。PP は ω=14/20=0.7\omega = 14/20 = 0.7 を MM に、残りをTビルに置いています。
❌ 惜しい！ 0.7×8%=5.6%0.7 \times 8\% = 5.6\% はリスクプレミアムだけです。基本となるリターン Rf=3%R_f = 3\% をまだ足す必要があります。
❌ 惜しい！ 3%+0.7×11%=10.7%3\% + 0.7 \times 11\% = 10.7\% は E[Rm]\mathsf{E}[R_m] にかけています。係数（σp/σm\sigma_p/\sigma_m：PP の場合、β\beta：プロジェクトの場合）がかかるのは、プレミアム 8%8\% です。
❌ PP を確認しましょう。接線上では E[Rp]=Rf+(σp/σm)×8%\mathsf{E}[R_p] = R_f + (\sigma_p/\sigma_m) \times 8\% です。RfR_f を残し、係数を E[Rm]\mathsf{E}[R_m] ではなくプレミアムにかけましょう。
❌ それはプロジェクトをシグマで価格づけしています。3%+(35/20)×8%=17%3\% + (35/20) \times 8\% = 17\% は接線による率で、効率的ポートフォリオにしか使えません。プロジェクトは、そのベータで価格づけします。
❌ 率を確認しましょう。資本コストはCAPMのリターン Rf+β(E[Rm]−Rf)R_f + \beta(\mathsf{E}[R_m] - R_f) です。基本の 3%3\% を含め、係数はプレミアム 8%8\% にかけます。
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ポートフォリオ PP は効率的なので、接線が使えます：

E[Rp]=3%+14%20%×8%=3%+0.7×8%=3%+5.6%=8.6%\mathsf{E}[R_p] = 3\% + \frac{14\%}{20\%} \times 8\% = 3\% + 0.7 \times 8\% = 3\% + 5.6\% = 8.6\%

プロジェクトは効率的ポートフォリオではないので、その割引率はCAPMから求めます：

r=Rf+β(E[Rm]−Rf)=3%+0.7×8%=8.6%r = R_f + \beta\left(\mathsf{E}[R_m] - R_f\right) = 3\% + 0.7 \times 8\% = 8.6\%

2つの答えが一致するのは、βp=σp/σm=0.7\beta_p = \sigma_p/\sigma_m = 0.7 だからです。ベータが同じなので、ボラティリティがどうであれ、CAPMは両者に同じ率を与えます。代わりに σ\sigma でプロジェクトを価格づけすると 17%17\% を求めることになり、本当の資本コストを稼ぐプロジェクトまで棄却してしまいます。

正解数：0 / 4