ファイナンス理論 · 第19回 · 動画1 · インタラクティブ教材

ポートフォリオでCAPMを検定する：ノイズ、規模効果、そしてより平坦な直線

I重要な公式

公式名称説明
E[Ri]=Rf+βi(E[Rm]−Rf)\text{E}[R_i] = R_f + \beta_i(\text{E}[R_m] - R_f)CAPM：証券市場線あらゆるポートフォリオと証券に対する予測です。検定するとは、実現した平均リターンをこの直線と比べることです
R2R^2当てはまりの良さリターンの変動のうち、市場で説明できる割合です。個別の株では低く（バイオジェン 17.5%17.5\%、モトローラ 33.4%33.4\%）、CAPM の検定にはなりません。CAPM が扱うのは期待リターンだからです
E[Ri]=E[Rz]+βi(E[Rm]−E[Rz])\text{E}[R_i] = \text{E}[R_z] + \beta_i(\text{E}[R_m] - \text{E}[R_z])ブラックのゼロベータ版CAPM市場と無相関なリスク資産のポートフォリオの期待リターン E[Rz]\text{E}[R_z] が、RfR_f の位置を占めます
E[Rz]>Rf  ⇒  E[Rm]−E[Rz]<E[Rm]−Rf\text{E}[R_z] > R_f \;\Rightarrow\; \text{E}[R_m] - \text{E}[R_z] < \text{E}[R_m] - R_fより平坦な直線どちらの直線も β=1\beta = 1 で市場を通ります。ゼロベータの直線は高いところから始まり、ゆっくり上がります

ポイント：個別の株はノイズが大きすぎてモデルを判定できないので、ポートフォリオで検定します。1960年から2000年の規模別の十分位は証券市場線（SML）の近くにあり、最小規模の十分位だけがその上にあります。ベータで並べたポートフォリオは SML より平坦な直線を描き、ゼロベータ版のモデルがそれに当てはまります。

IIポートフォリオではノイズが平均されて消える

ポートフォリオでは銘柄固有のノイズが平均されて消えるので、市場が説明できる変動の割合は、個別の株よりはるかに大きくなります。

III規模別の十分位と証券市場線

CAPM によれば、規模別の10の十分位はすべて、月 0.47%+β×0.49%0.47\% + \beta \times 0.49\% という一本の直線の上に乗ります。

💡 これほど近い当てはまりは、1960〜2000年について動画が示した結果です。ファイナンスの研究では普通のことではありません。

IVブラックのゼロベータの直線

ブラックの直線は市場の点 MM を軸に回転します。E[Rz]\text{E}[R_z] を RfR_f より上げると、直線は平坦になります。

💡 点と標準的な直線は、ベータで並べたポートフォリオについての動画の図から読み取ったものです（年次リターン、Rf≈3.6%R_f \approx 3.6\%、MM は 11.2%11.2\%）。したがって、ここで最もよく当てはまる E[Rz]\text{E}[R_z] は考え方を示すためのもので、公表された推定値ではありません。

V確認クイズ

問1 · ポートフォリオに対するCAPMの予測

条件：ある検定期間で、Tビル金利の平均は月 Rf=0.40%R_f = 0.40\%、市場リスクプレミアムは月 E[Rm]−Rf=0.55%\text{E}[R_m] - R_f = 0.55\% です。規模で並べたあるポートフォリオのベータは β=1.30\beta = 1.30 です。このポートフォリオについて、CAPM が予測する月次の期待リターンを求めてください。

✅ 正解です！ 0.40%+1.30×0.55%=0.40%+0.715%=1.115%0.40\% + 1.30 \times 0.55\% = 0.40\% + 0.715\% = 1.115\%（月次）。無リスク金利に、ベータとプレミアムの積を足したものです。
❌ 惜しい！ 1.30×0.55%=0.715%1.30 \times 0.55\% = 0.715\% は、このポートフォリオがベータに応じて得るリスクプレミアムにすぎません。予測は、これを Rf=0.40%R_f = 0.40\% に足したものです。
❌ 惜しい！ 1.30×(0.40%+0.55%)=1.235%1.30 \times (0.40\% + 0.55\%) = 1.235\% は、市場リターン全体をベータ倍しています。ベータがかかるのはプレミアムだけで、無リスクの部分は一度だけ得られます。
❌ 惜しい！ 0.95%0.95\% は市場の期待リターンで、β=1\beta = 1 に対する予測です。β=1.30\beta = 1.30 のポートフォリオはより多くの市場リスクを負うので、より多く稼ぐと予測されます。
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証券市場線を使います。単位はすべて月次です。

E[Rp]=Rf+βp(E[Rm]−Rf)=0.40%+1.30×0.55%\text{E}[R_p] = R_f + \beta_p(\text{E}[R_m] - R_f) = 0.40\% + 1.30 \times 0.55\% =0.40%+0.715%=1.115%（月次）= 0.40\% + 0.715\% = 1.115\% \text{（月次）}

このポートフォリオで CAPM を検定するとは、実現した平均月次リターンを 1.115%1.115\% と比べることです。実現した平均がそれを上回れば、ポートフォリオは SML の上にきます。動画の最小規模の十分位がそうでした。

問2 · 低い決定係数が意味すること

条件：株 SS の、市場に対する月次の CAPM 回帰では R2=12%R^2 = 12\% です。

R2=12%R^2 = 12\% から何がわかりますか？

ある均等加重ポートフォリオが、SS のような株を40銘柄保有しています。ベータは似ていて、銘柄固有のノイズは銘柄どうしで無関係です。このポートフォリオの R2R^2 として最も妥当なのはどれですか？

✅ 正解です！ R2R^2 が測るのは当てはまりで、モデルの正しさではありません。ポートフォリオでは銘柄固有のノイズの大半が平均されて消えるので、残る変動の大部分を市場が説明します。ただし、すべてではありません。
❌ 惜しい！ R2R^2 は、リターンの変動のうち、市場の動きで説明できる割合です。
❌ 惜しい！ 互いに無関係な銘柄固有のノイズは、40銘柄を平均するとどうなるでしょうか。
❌ 惜しい！ CAPM が予測するのは期待リターンで、R2R^2 については何も主張しません。低い R2R^2 は個別の株では普通のことで（バイオジェンは 17.5%17.5\%）、モデルの棄却にはなりません。
❌ 惜しい！ R2R^2 とベータは別の数字です。バイオジェンとモトローラのベータはほぼ同じ、およそ 1.41.4 でしたが、R2R^2 は 17.5%17.5\% と 33.4%33.4\% でした。
❌ 惜しい！ R2R^2 は期待リターンの水準については何も語りません。それを決めるのは、ベータに基づく SML です。R2R^2 が測るのは、リターンがどれだけぴったり市場に沿って動くかだけです。
❌ 惜しい！ R2R^2 は銘柄によって決まった値ではありません。40銘柄を平均すると、互いに無関係な銘柄固有のノイズは縮み、市場との共通の動きは残るので、市場が説明する割合ははるかに大きくなります。
❌ 惜しい！ ノイズが互いに無関係な銘柄を加えても、ポートフォリオのノイズは増えません。ノイズは部分的に打ち消し合うので、R2R^2 は上がります。
❌ 惜しい！ 40銘柄でノイズは縮みますが、なくなりはしません。また、共通のファクターは市場だけではありません。ポートフォリオの R2R^2 は高くなりますが、ちょうど 100%100\% にはなりません。
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前半の問い：R2R^2 は、SS のリターンの変動のうち、市場の動きで説明できる割合で、12%12\% です。残りの 88%88\% は銘柄固有のノイズ（固有リスク）です。CAPM は期待リターンについての主張で、当てはまりについての主張ではないので、低い R2R^2 はモデルの棄却になりません。とはいえ、これほどノイズの大きいリターンでは、1銘柄の回帰でモデルを鋭く検定することもできません。

後半の問い：各銘柄のリターンは、（市場が動かす）共通の部分と、その銘柄自身のノイズの和です。40銘柄を平均すると、共通の部分はどの銘柄も共有しているので残り、互いに無関係なノイズの項は大部分が打ち消し合います。そのため、ポートフォリオの変動の大部分を市場が説明し、85%85\% が妥当です。12%12\% のままだったり下がったりすることはありません。また、40銘柄ではノイズがいくらか残り、ほかの共通のファクターもあるので、100%100\% に届くこともありません。

動画が個別の株ではなくポートフォリオで CAPM を検定するのは、このためです。

問3 · 標準的なモデルとゼロベータ版の予測

条件：月次の Rf=0.40%R_f = 0.40\%、市場リスクプレミアムは 0.55%0.55\% なので、E[Rm]=0.95%\text{E}[R_m] = 0.95\% です。データから推定すると、ゼロベータ・ポートフォリオの期待リターンは月 E[Rz]=0.70%\text{E}[R_z] = 0.70\% です。ベータで並べたあるポートフォリオのベータは β=1.60\beta = 1.60 です。

標準的な CAPM の予測（月次）

ゼロベータ版 CAPM の予測（月次）

✅ 正解です！ 標準的なモデル：0.40%+1.60×0.55%=1.28%0.40\% + 1.60 \times 0.55\% = 1.28\%。ゼロベータ版：0.70%+1.60×0.25%=1.10%0.70\% + 1.60 \times 0.25\% = 1.10\%。ベータの高いポートフォリオでは、平坦な直線のほうが低く予測します。
❌ 標準的なモデルの予測を確かめましょう。 E[Rp]=Rf+βp(E[Rm]−Rf)\text{E}[R_p] = R_f + \beta_p(\text{E}[R_m] - R_f) です。
❌ ゼロベータ版の予測を確かめましょう。 E[Rp]=E[Rz]+βp(E[Rm]−E[Rz])\text{E}[R_p] = \text{E}[R_z] + \beta_p(\text{E}[R_m] - \text{E}[R_z]) です。
❌ 惜しい！ 1.60×0.55%=0.88%1.60 \times 0.55\% = 0.88\% は、このポートフォリオのベータに対するプレミアムです。Rf=0.40%R_f = 0.40\% を足しましょう。
❌ 惜しい！ 1.60×0.95%=1.52%1.60 \times 0.95\% = 1.52\% は、市場リターン全体をベータ倍しています。ベータがかかるのは、RfR_f を上回るプレミアムだけです。
❌ 惜しい！ 0.95%0.95\% は市場の期待リターンで、β=1\beta = 1 のときだけの予測です。
❌ 惜しい！ 0.70%+1.60×0.55%0.70\% + 1.60 \times 0.55\% は、切片を入れ替えただけで、プレミアムが古いままです。ブラックのモデルでは、プレミアムは E[Rm]−E[Rz]=0.95%−0.70%=0.25%\text{E}[R_m] - \text{E}[R_z] = 0.95\% - 0.70\% = 0.25\% になります。
❌ 惜しい！ 0.40%+1.60×0.25%0.40\% + 1.60 \times 0.25\% は、新しいプレミアムを使っていますが、切片が古いままです。ブラックのモデルでは、E[Rz]\text{E}[R_z] が両方の場所で RfR_f に置き換わります。
❌ 惜しい！ 0.70%+0.25%0.70\% + 0.25\% はプレミアムを一度足しただけで、β=1\beta = 1 のときの答えです。プレミアムを β=1.60\beta = 1.60 倍しましょう。
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標準的な CAPM：

E[Rp]=0.40%+1.60×0.55%=0.40%+0.88%=1.28%\text{E}[R_p] = 0.40\% + 1.60 \times 0.55\% = 0.40\% + 0.88\% = 1.28\%

ゼロベータ版 CAPM：プレミアムは E[Rz]\text{E}[R_z] を基準に測ります（RfR_f ではありません）。

E[Rm]−E[Rz]=0.95%−0.70%=0.25%\text{E}[R_m] - \text{E}[R_z] = 0.95\% - 0.70\% = 0.25\% E[Rp]=0.70%+1.60×0.25%=0.70%+0.40%=1.10%\text{E}[R_p] = 0.70\% + 1.60 \times 0.25\% = 0.70\% + 0.40\% = 1.10\%

E[Rz]>Rf\text{E}[R_z] > R_f なので、ゼロベータの直線は高いところから始まり、傾きは小さくなります（ベータ1単位あたり 0.25%0.25\%。標準的なモデルでは 0.55%0.55\%）。どちらの直線も 0.95%0.95\% になるのは β=1\beta = 1 のときです。β=1\beta = 1 より上ではゼロベータの直線のほうが低く予測し、そのおかげで、標準的な SML より稼ぎが少なかった高ベータのポートフォリオに当てはまるのです。

問4 · 平坦な直線に沿ったアルファ

条件：あるサンプルでは、ベータで並べたポートフォリオが、月 E[Rz]=0.70%\text{E}[R_z] = 0.70\% のブラックのゼロベータの直線の上にぴったり乗っています。一方、Rf=0.40%R_f = 0.40\%、E[Rm]=0.95%\text{E}[R_m] = 0.95\% です（どちらも月次）。標準的な SML に対して測った各ポートフォリオのアルファを、月あたりのパーセントポイントで求めてください。

β=0.75\beta = 0.75 のポートフォリオ

β=1.10\beta = 1.10 のポートフォリオ

✅ 正解です！ 標準的な SML に対するアルファは (E[Rz]−Rf)(1−β)=0.30%×(1−β)(\text{E}[R_z] - R_f)(1 - \beta) = 0.30\% \times (1 - \beta) で、β=1\beta = 1 より下では正、上では負になります。これが平坦な直線のパターンです。ベータの低いポートフォリオは SML を上回り、高いポートフォリオは下回ります。
❌ β=0.75\beta = 0.75 のアルファを確かめましょう。 アルファ ＝ ゼロベータの直線上のリターン − 同じベータでの標準的な SML の予測、です。
❌ β=1.10\beta = 1.10 のアルファを確かめましょう。 アルファ ＝ ゼロベータの直線上のリターン − 同じベータでの標準的な SML の予測、です。
❌ 符号の誤りです。 ゼロベータの直線では 0.8875%0.8875\%、SML では 0.8125%0.8125\% です。実現リターンが SML より上にあるので、アルファは正です。
❌ 惜しい！ 2本の直線が交わるのは β=1\beta = 1 だけです。β=0.75\beta = 0.75 では、ゼロベータの直線が SML より上にあります。
❌ 惜しい！ 0.30×0.750.30 \times 0.75 は、切片の差を β\beta 倍しています。差は 0.300.30（β=0\beta = 0 のとき）から 00（β=1\beta = 1 のとき）まで縮むので、かかるのは 1−β1 - \beta です。
❌ 符号の誤りです。 β=1\beta = 1 より上では、平坦なゼロベータの直線は SML より下にあります。0.975%0.975\% 対 1.005%1.005\% です。
❌ 惜しい！ β=1.10\beta = 1.10 は 11 に近いものの、等しくはありません。直線が交わるのは市場、つまり β=1\beta = 1 だけです。
❌ 惜しい！ 0.30×1.100.30 \times 1.10 は、切片の差を β\beta 倍していて、符号も逆です。差にかかるのは 1−β=−0.101 - \beta = -0.10 です。
解答を見る

ゼロベータ版のプレミアム：E[Rm]−E[Rz]=0.95%−0.70%=0.25%\text{E}[R_m] - \text{E}[R_z] = 0.95\% - 0.70\% = 0.25\%。標準的なプレミアム：0.55%0.55\%。

β=0.75\beta = 0.75 のとき：

ゼロベータの直線：0.70%+0.75×0.25%=0.8875%\text{ゼロベータの直線：} 0.70\% + 0.75 \times 0.25\% = 0.8875\% SML：0.40%+0.75×0.55%=0.8125%\text{SML：} 0.40\% + 0.75 \times 0.55\% = 0.8125\% α=0.8875%−0.8125%=+0.075 ポイント\alpha = 0.8875\% - 0.8125\% = +0.075 \text{ ポイント}

β=1.10\beta = 1.10 のとき：

ゼロベータの直線：0.70%+1.10×0.25%=0.975%\text{ゼロベータの直線：} 0.70\% + 1.10 \times 0.25\% = 0.975\% SML：0.40%+1.10×0.55%=1.005%\text{SML：} 0.40\% + 1.10 \times 0.55\% = 1.005\% α=0.975%−1.005%=−0.03 ポイント\alpha = 0.975\% - 1.005\% = -0.03 \text{ ポイント}

一般に、2本の直線の差をとると α=(E[Rz]−Rf)(1−β)=0.30%×(1−β)\alpha = (\text{E}[R_z] - R_f)(1 - \beta) = 0.30\% \times (1 - \beta) となります。ゼロベータ版のモデルが正しければ、標準的な SML に対する検定では、ベータの低いポートフォリオに正のアルファ、高いポートフォリオに負のアルファが見つかります。動画で見た、平坦な直線です。

正解数：0 / 4