報われるのはベータ、ボラティリティではない：複数のファクターとCAPMを支える均衡
I 重要な公式ポイント： ボラティリティ σ \sigma σ β \beta β
II 可視化1 — 同じ株の2通りの並べ方1926〜2004年について、ベータで並べた10のポートフォリオはリターンの順に並びますが、ボラティリティ全体で並べた10のポートフォリオは並びません。
💡 棒は動画の図から読み取った実現平均なので、期待リターンを測ったものではなく、推定したものです。ベータで並べた棒は全体として上がっていますが、一直線にではありません。
III 可視化2 — 報酬は同じ、ボラティリティは大違いCAPM が報酬を払うのは β = ρ i m σ i / σ m \beta = \rho_{im}\,\sigma_i / \sigma_m β = ρ im σ i / σ m
IV 可視化3 — 資本市場線と証券市場線：一致するところCML はプレミアムに σ p / σ m \sigma_p / \sigma_m σ p / σ m β i \beta_i β i ρ = 1 \rho = 1 ρ = 1
💡 この講座でのこれまでの価格（債券、株式、先物、先渡、オプション）は、どれもフリーランチは存在しないという原則だけで決まりました。CAPM はそれに加えて、均衡、つまり需要と供給の一致を必要とします。それによって、接点ポートフォリオを、両方のパネルで使っているマーケット・ポートフォリオ M M M
V 確認クイズ
問1 · 相関からベータを求める
条件： 年次の R f = 3 % R_f = 3\% R f = 3% E [ R m ] − R f = 7 % \text{E}[R_m] - R_f = 7\% E [ R m ] − R f = 7% σ m = 18 % \sigma_m = 18\% σ m = 18% σ K = 40 % \sigma_K = 40\% σ K = 40% ρ = 0.45 \rho = 0.45 ρ = 0.45
a ≈ 18.56 % \approx 18.56\% ≈ 18.56% b 6.15 % 6.15\% 6.15% c 10 % 10\% 10% d 7 % 7\% 7%
✅ 正解です！ β K = 0.45 × 40 / 18 = 1 \beta_K = 0.45 \times 40 / 18 = 1 β K = 0.45 × 40/18 = 1 なので、CAPM は K に市場とまったく同じ期待リターン
3 % + 7 % = 10 % 3\% + 7\% = 10\% 3% + 7% = 10% を与えます。K のボラティリティは市場の2倍を超えるにもかかわらず、です。
❌ それは σ K / σ m \sigma_K / \sigma_m σ K / σ m 40 / 18 ≈ 2.22 40/18 \approx 2.22 40/18 ≈ 2.22 は CML の倍率で、効率的ポートフォリオ（
ρ = 1 \rho = 1 ρ = 1 ）にしか使えません。個別の株では
β K = ρ σ K / σ m \beta_K = \rho\,\sigma_K / \sigma_m β K = ρ σ K / σ m です。
❌ それは相関をベータとして扱っています。 ρ = 0.45 \rho = 0.45 ρ = 0.45 を
σ K / σ m = 40 / 18 \sigma_K / \sigma_m = 40/18 σ K / σ m = 40/18 倍して、はじめて共分散 ÷ 分散になります。
❌ それはリスクプレミアムだけです。 β K ( E [ R m ] − R f ) = 7 % \beta_K(\text{E}[R_m] - R_f) = 7\% β K ( E [ R m ] − R f ) = 7% は、K が
R f R_f R f を上回って稼ぐ分です。
R f = 3 % R_f = 3\% R f = 3% を足しましょう。
解答を見る
ベータは共分散 ÷ 分散で、β K = ρ σ K / σ m \beta_K = \rho\,\sigma_K / \sigma_m β K = ρ σ K / σ m
β K = 0.45 × 40 % 18 % = 18 18 = 1 \beta_K = 0.45 \times \frac{40\%}{18\%} = \frac{18}{18} = 1 β K = 0.45 × 18% 40% = 18 18 = 1 これを SML に入れると、次のようになります。
E [ R K ] = 3 % + 1 × 7 % = 10 % \text{E}[R_K] = 3\% + 1 \times 7\% = 10\% E [ R K ] = 3% + 1 × 7% = 10% K のボラティリティは 40 % 40\% 40% 18 % 18\% 18%
問2 · ボラティリティの高いほうの株
条件： 市場は同じです（R f = 3 % R_f = 3\% R f = 3% 7 % 7\% 7% σ m = 18 % \sigma_m = 18\% σ m = 18% σ X = 55 % \sigma_X = 55\% σ X = 55% ρ X = 0.20 \rho_X = 0.20 ρ X = 0.20 σ Y = 22 % \sigma_Y = 22\% σ Y = 22% ρ Y = 0.90 \rho_Y = 0.90 ρ Y = 0.90
a X が約 12.83 12.83 12.83 b Y が約 4.90 4.90 4.90 c X が約 3.42 3.42 3.42 d Y が約 3.42 3.42 3.42
✅ 正解です！ X のボラティリティは Y の2.5倍ですが、ベータはおよそ
0.61 0.61 0.61 しかなく、Y は
1.10 1.10 1.10 です。そのため、Y のほうが約
3.42 3.42 3.42 ポイント多く稼ぎます。
❌ それはボラティリティで順位づけています。 σ i / σ m \sigma_i / \sigma_m σ i / σ m をベータとして使うと、X は約
24.39 % 24.39\% 24.39% 、Y は約
11.56 % 11.56\% 11.56% になります。市場が報酬を払うのは
β = ρ σ i / σ m \beta = \rho\,\sigma_i / \sigma_m β = ρ σ i / σ m に対してで、X は相関が低いためにベータが小さくなります。
❌ それは相関をベータとして使っています。 7 % × ( 0.90 − 0.20 ) = 4.90 % 7\% \times (0.90 - 0.20) = 4.90\% 7% × ( 0.90 − 0.20 ) = 4.90% は、各株の
σ i / σ m \sigma_i / \sigma_m σ i / σ m を無視しています。ベータは
0.20 × 55 / 18 0.20 \times 55/18 0.20 × 55/18 と
0.90 × 22 / 18 0.90 \times 22/18 0.90 × 22/18 です。
❌ 大きさは合っていますが、向きが逆です。 ボラティリティが高くても、CAPM のリターンが高いとは限りません。X のベータはおよそ
0.61 0.61 0.61 で、Y の
1.10 1.10 1.10 を下回ります。
解答を見る
それぞれのベータを ρ σ i / σ m \rho\,\sigma_i / \sigma_m ρ σ i / σ m
β X = 0.20 × 55 18 = 11 18 ≈ 0.611 β Y = 0.90 × 22 18 = 19.8 18 = 1.10 \beta_X = 0.20 \times \frac{55}{18} = \frac{11}{18} \approx 0.611 \qquad \beta_Y = 0.90 \times \frac{22}{18} = \frac{19.8}{18} = 1.10 β X = 0.20 × 18 55 = 18 11 ≈ 0.611 β Y = 0.90 × 18 22 = 18 19.8 = 1.10 次に SML を使います。
E [ R X ] = 3 % + 11 18 × 7 % ≈ 7.28 % E [ R Y ] = 3 % + 1.10 × 7 % = 10.7 % \text{E}[R_X] = 3\% + \tfrac{11}{18} \times 7\% \approx 7.28\% \qquad \text{E}[R_Y] = 3\% + 1.10 \times 7\% = 10.7\% E [ R X ] = 3% + 18 11 × 7% ≈ 7.28% E [ R Y ] = 3% + 1.10 × 7% = 10.7% 差は 7 % × ( 1.10 − 11 18 ) = 7 % × 8.8 18 ≈ 3.42 7\% \times \left(1.10 - \tfrac{11}{18}\right) = 7\% \times \tfrac{8.8}{18} \approx 3.42 7% × ( 1.10 − 18 11 ) = 7% × 18 8.8 ≈ 3.42
問3 · 同じボラティリティ、2本の直線
条件： 市場は同じです（R f = 3 % R_f = 3\% R f = 3% 7 % 7\% 7% σ m = 18 % \sigma_m = 18\% σ m = 18% σ P = 22 % \sigma_P = 22\% σ P = 22% σ Z = 22 % \sigma_Z = 22\% σ Z = 22% ρ Z = 0.45 \rho_Z = 0.45 ρ Z = 0.45
効率的ポートフォリオ P の期待リターン
a ≈ 8.56 % \approx 8.56\% ≈ 8.56% b ≈ 11.56 % \approx 11.56\% ≈ 11.56% c ≈ 13.46 % \approx 13.46\% ≈ 13.46% d 6.85 % 6.85\% 6.85%
株 Z の期待リターン
a 6.85 % 6.85\% 6.85% b ≈ 11.56 % \approx 11.56\% ≈ 11.56% c 6.15 % 6.15\% 6.15% d 3.85 % 3.85\% 3.85%
✅ 正解です！ ボラティリティは同じでも、報酬は違います。P の倍率は
σ P / σ m ≈ 1.22 \sigma_P / \sigma_m \approx 1.22 σ P / σ m ≈ 1.22 、Z のベータはわずか
0.55 0.55 0.55 なので、Z の期待リターンは約
4.71 4.71 4.71 ポイント低くなります。
❌ それは P のリスクプレミアムだけです。 22 18 × 7 % ≈ 8.56 % \tfrac{22}{18} \times 7\% \approx 8.56\% 18 22 × 7% ≈ 8.56% は、
R f = 3 % R_f = 3\% R f = 3% の上に乗る分です。
❌ それは比を2乗しています。 ( 22 / 18 ) 2 (22/18)^2 ( 22/18 ) 2 は分散の比です。CML の倍率は標準偏差の比、
σ P / σ m = 22 / 18 \sigma_P / \sigma_m = 22/18 σ P / σ m = 22/18 です。
❌ それは株 Z のリターンです。 P は効率的なので、市場との相関は
1 1 1 で、倍率は
σ P / σ m \sigma_P / \sigma_m σ P / σ m です。
0.45 × σ P / σ m 0.45 \times \sigma_P / \sigma_m 0.45 × σ P / σ m ではありません。
❌ CML は個別の株の価格を決めません。 その倍率
σ / σ m \sigma / \sigma_m σ / σ m が使えるのは効率的ポートフォリオだけです。Z は
ρ = 0.45 \rho = 0.45 ρ = 0.45 なので、
β Z = 0.45 × 22 / 18 \beta_Z = 0.45 \times 22/18 β Z = 0.45 × 22/18 で SML 上に価格づけされます。
❌ それは ρ = 0.45 \rho = 0.45 ρ = 0.45 σ Z / σ m = 22 / 18 \sigma_Z / \sigma_m = 22/18 σ Z / σ m = 22/18 倍しましょう。
β Z = 0.55 \beta_Z = 0.55 β Z = 0.55 です。
❌ それは Z のリスクプレミアムだけです。 0.55 × 7 % = 3.85 % 0.55 \times 7\% = 3.85\% 0.55 × 7% = 3.85% は、
R f = 3 % R_f = 3\% R f = 3% に上乗せして稼ぐ分です。
解答を見る
P（効率的、CML 上）：
E [ R P ] = 3 % + 22 18 × 7 % = 3 % + 154 18 % ≈ 3 % + 8.56 % ≈ 11.56 % \text{E}[R_P] = 3\% + \frac{22}{18} \times 7\% = 3\% + \frac{154}{18}\% \approx 3\% + 8.56\% \approx 11.56\% E [ R P ] = 3% + 18 22 × 7% = 3% + 18 154 % ≈ 3% + 8.56% ≈ 11.56% Z（個別の株、SML 上）：
β Z = 0.45 × 22 18 = 9.9 18 = 0.55 E [ R Z ] = 3 % + 0.55 × 7 % = 6.85 % \beta_Z = 0.45 \times \frac{22}{18} = \frac{9.9}{18} = 0.55 \qquad \text{E}[R_Z] = 3\% + 0.55 \times 7\% = 6.85\% β Z = 0.45 × 18 22 = 18 9.9 = 0.55 E [ R Z ] = 3% + 0.55 × 7% = 6.85% どちらも σ = 22 % \sigma = 22\% σ = 22% 11.56 % − 6.85 % ≈ 4.71 11.56\% - 6.85\% \approx 4.71 11.56% − 6.85% ≈ 4.71
問4 · CAPM を支えるもの
条件： これまでの回で扱った債券、先物、二項モデルによるオプションの価格は、フリーランチは存在しないという原則だけで決まりました。いま、あるファンド・マネージャーが割引率を決めるために CAPM を使っていて、彼女のファンドの市場ベータは目標より大きくなっています。CAPM に必要な追加の条件と、彼女が取引によって直接減らせるエクスポージャーを答えてください。
接点ポートフォリオを市場と同一視するために、CAPM が必要とする追加の条件
a 投資家は少ないお金より多いお金を好む b どの証券についても需要と供給が一致する（均衡） c 異なる株のリターンは無相関である d どの証券もボラティリティが同じである
彼女が取引によって直接減らせるエクスポージャー
a 失業率に対するエクスポージャー b 消費者信頼感指数に対するエクスポージャー c GDP成長率に対するエクスポージャー d 市場ベータ（S&P500先物を売って減らす）
✅ 正解です！ CAPM には均衡が必要です。これは、フリーランチは存在しないという原則より強い仮定です。そして市場ベータは、金融的に意味のあるファクターです。彼女が売買できる証券に結びついているからです。
❌ それは、フリーランチは存在しないという仮定そのものです。 これまでの価格づけの議論はすべて、すでにそれを使っていました。CAPM にはもっと強いものが必要です。
❌ CAPM はそのような仮定をしていません。 株は市場リスクを共有していて、その共通のリスクこそが、ベータの測るものです。
❌ CAPM では、ボラティリティはいくらでもかまいません。 CAPM は、証券ごとの期待リターンがベータを通してどう違うかを述べます。CAPM が付け加えるのは、どの証券の市場でも需給が一致しなければならない、という条件です。
❌ 経済的に意味はあっても、金融的に意味のあるファクターではありません。 失業率には株のリターンをある程度説明する力がありますが、売れる流動的な契約がありません。売買できないものは、管理できないのです。
❌ 意見を集めた指数は証券ではありません。 リターンと関係があるかもしれませんが、彼女には、そのエクスポージャーを取り除くために売れるものがありません。
❌ これもマクロ経済のファクターです。 GDP成長率はリターンの説明に役立つかもしれませんが、彼女が売買できる証券のポートフォリオではありません。
解答を見る
必要な条件： 債券、株式、先物、先渡、オプションの価格は、フリーランチは存在しないという原則、つまり人は少ないお金より多いお金を好むという仮定だけから決まりました。CAPM は均衡、つまり需要と供給の一致を持ち込みます。接点ポートフォリオをマーケット・ポートフォリオ M M M
取引： 金融への応用で使うファクターは、証券のポートフォリオか、何らかの形で売買できるものです。S&P500先物を売れば、ファンドの市場ベータを直接下げられます。失業率、消費者信頼感、GDP成長率は経済的には意味があるかもしれませんが、どれもそれほど簡単には売買できず、この方法では管理できません。
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