ファイナンス理論 · 第2回 · 動画6 · インタラクティブ教材

円とポンドと来年のドル：正味現在価値はどこから来るのか

I重要な公式

公式	名称	説明
$\text{¥}150 + (\text{£}300)\times(153\ \text{¥}/\text{£}) = \text{¥}46{,}050$	換算してから足す	足す前に、二つの金額を一つのニューメレール（価値尺度財）にそろえます。英ポンドをニューメレールにすると、同じお金はペンスの単位まで £300.98 になります
$\left(\dfrac{\text{\textdollar}_t}{\text{\textdollar}_0}\right)$	時点 $t$ の為替レート	時点 $t$ のドルを今日の価値で表すレートです。時点 $t$ の1ドルが今日のドルで何ドル分に当たるかを示します
$V_0(\text{CF}_0, \text{CF}_1, \ldots) = \text{CF}_0 + \left(\tfrac{\text{\textdollar}_1}{\text{\textdollar}_0}\right)\times\text{CF}_1 + \left(\tfrac{\text{\textdollar}_2}{\text{\textdollar}_0}\right)\times\text{CF}_2 + \cdots$	正味現在価値の演算子	どの項も時点0のドルで表されています。 $\text{CF}_0$ には為替レートがつかず、 $\text{CF}_0 \lt 0$ は初期投資です

ポイント： 円と英ポンドが違う通貨であるのと同じように、日付の違うドルは違う通貨です。ニューメレールとする日付（普通は時点0、つまり今日のドル）を選び、各キャッシュフローをその日付の為替レートで換算してから、はじめて足します。レートさえ与えられれば、足し算は普通の算数です。難しさはすべてレートの中にあります。

IIまず換算する — 円、ポンド、ニューメレール

¥150と£300の和は、どちらかの通貨をニューメレールに選ぶまで単位を持ちません。どちらを選んでも、表しているお金は同じです。

ニューメレール

III日付ごとに別の通貨 — $V_0$ を組み立てる

日付のついた各キャッシュフローは、それぞれの為替レートで時点0のドルに換算されます。そうしてはじめて、各項を足して $V_0$ になります。

💡 この3つの為替レートは説明のための値です。動画のレートと同じく出来合いの数字で、こうした数字が実際にどこから来るのかが次の問いです。

IV確認クイズ

問1 · 換算してから足す

条件： あなたは¥600と£200を持っていて、市場レートは $153\ \text{¥}/\text{£}$ です。円をニューメレールとして、保有分の価値を求めてください。

✅ 正解です！ 換算が必要なのはポンドだけです。£200 × 153 ¥/£ = ¥30,600 で、手元の¥600と合わせて合計は¥31,200。一つの単位で表された一つの数です。

❌ 円とポンドをそのまま足しています。 600 + 200 = 800 は、つけるべき単位のない数です。まずポンドを円に換算しましょう。

❌ レートを掛ける金額を間違えています。 これは¥600に153を掛け、£200を換算せずに足したものです。153 ¥/£ というレートはポンドを円に変えるものです。¥600はすでにニューメレールで表されていて、掛けるべきなのは£200のほうです。

❌ ポンドをレートで割っています。 1ポンドあたり153円なら、1ポンドは153円の価値があるので、£200は 200 × 153 = ¥30,600 です。200 ÷ 153 ではありません。

解答を見る

円をニューメレールとすると、¥600はすでに基準通貨で表されているので、換算するのはポンドだけです。市場レートで換算します。

\text{¥}600 + (\text{£}200)\times(153\ \text{¥}/\text{£}) = \text{¥}600 + \text{¥}30{,}600 = \text{¥}31{,}200

ロンドンの机では、同じ保有分をポンドで読みます。ペンスの単位まで求めると $\text{¥}31{,}200 \div (153\ \text{¥}/\text{£}) \approx \text{£}203.92$ です（商は $203.9216\ldots$ と続きます）。数も単位も違いますが、同じお金です。何もつかない800はどちらでもありません。そもそも単位がないのです。

問2 · レートのつかない項

条件： あるプロジェクトは、今日50の費用がかかり、時点1に30、時点2に40をもたらします。つまり $\text{CF}_0 = -50$ 、 $\text{CF}_1 = 30$ 、 $\text{CF}_2 = 40$ です。為替レートは $\left(\tfrac{\text{\textdollar}_1}{\text{\textdollar}_0}\right) = 0.95$ と $\left(\tfrac{\text{\textdollar}_2}{\text{\textdollar}_0}\right) = 0.90$ です。時点0のドルで $V_0$ を求めてください。

✅ 正解です！

\text{CF}_0

はそのまま入ります。

0.95\times 30 = 28.50

と

0.90\times 40 = 36.00

は時点0のドルで表されているので、

V_0 = -50 + 28.50 + 36.00 = 14.50

です。

❌ キャッシュフローをそのまま足しています。

-50 + 30 + 40 = 20

は3つの通貨を足し合わせたものです。時点1と時点2の金額は、和に加わる前に換算しなければなりません。

❌ $\text{CF}_0$ に、つかないはずのレートを掛けています。 これはニューメレールとする日付にあり、もともと時点0のドルで表されているので、

-50

のまま入ります。

0.95\times(-50) = -47.50

ではありません。

❌ キャッシュフローをレートで割っています。

\left(\tfrac{\text{\textdollar}_1}{\text{\textdollar}_0}\right) = 0.95

は、時点1の1ドルが今日のドルで何ドル分に当たるかを表しているので、掛けるのです。

0.95\times 30 = 28.50

であって、

30 \div 0.95

ではありません。

解答を見る

時点0から2までの正味現在価値の演算子を書き、値を代入します。

V_0 = \text{CF}_0 + \left(\frac{\text{\textdollar}_1}{\text{\textdollar}_0}\right)\times\text{CF}_1 + \left(\frac{\text{\textdollar}_2}{\text{\textdollar}_0}\right)\times\text{CF}_2

V_0 = -50 + 0.95\times 30 + 0.90\times 40 = -50 + 28.50 + 36.00 = 14.50

最初の項に為替レートがつかないのは、もともと基準通貨で表されているからです。後の項はどれも和に加わる前に換算されていて、この足し算に意味があるのは、ひとえにそのためです。

問3 · 最後にかかる費用

条件： あるプロジェクトは、今日40の費用がかかり、時点1に70、時点2に30をもたらし、時点3には60の費用をかけて解体しなければなりません。つまり $\text{CF}_0 = -40$ 、 $\text{CF}_1 = 70$ 、 $\text{CF}_2 = 30$ 、 $\text{CF}_3 = -60$ です。時点1、2、3の為替レートは $0.95$ 、 $0.90$ 、 $0.85$ です。時点3の項を時点0のドルで求め、次に $V_0$ を求めてください。

時点3の項（時点0のドル）

価値 $V_0$

✅ 正解です！ 解体費用はそれ自身のレートで換算されて

0.85\times(-60) = -51.00

となり、時点0のドルで

V_0 = -40 + 66.50 + 27.00 - 51.00 = 2.50

です。

❌ マイナスの符号が落ちています。 将来の費用はマイナスのキャッシュフローで、ほかと同じように換算されます。

0.85\times(-60) = -51.00

です。

❌ レートで割っています。 各レートは、その日付の1ドルが今日のドルで何ドル分に当たるかを表しているので、そのキャッシュフローに掛けます。時点3の項は

0.85\times(-60) = -51.00

であって、

-60 \div 0.85

ではありません。

❌ 時点3のキャッシュフローが時点3のドルのままです。 時点0のドルに換算するには、それ自身のレート

0.85

を掛けます。

❌ 4つの通貨をそのまま足しています。

-40 + 70 + 30 - 60 = 0

は、単位がそろっていない数です。後のキャッシュフローはどれも、まずそれぞれのレートで換算しましょう。

❌ 解体費用をプラスの符号で入れています。 出ていくお金は、どの日付にあってもマイナスです。時点3の項は

-51.00

で、和を減らします。

解答を見る

一項ずつ換算します。時点0のキャッシュフローにはレートは要りません。

\begin{aligned} \text{CF}_0 &= -40.00 \\ 0.95\times 70 &= 66.50 \\ 0.90\times 30 &= 27.00 \\ 0.85\times(-60) &= -51.00 \end{aligned}

V_0 = -40.00 + 66.50 + 27.00 - 51.00 = 2.50

時点3の費用はマイナスのキャッシュフローで、受け取りとまったく同じように時点3のレートで換算されます。4つのキャッシュフローをそのまま足すと $0$ になりますが、これは単位がそろっていない数です。

問4 · 借り手の側

条件： 借り手は今日100を受け取り、時点1、2、3にそれぞれ36を返済します。貸し手のキャッシュフローは、同じ金額で符号が逆です。時点1、2、3の為替レートは $0.95$ 、 $0.90$ 、 $0.85$ です。それぞれの側の $V_0$ を求めてください。

借り手： $\text{CF}_0 = 100$ 、その後、時点1〜3に $-36$

貸し手： $\text{CF}_0 = -100$ 、その後、時点1〜3に $36$

✅ 正解です！ 3回の返済は時点0のドルで

34.20 + 32.40 + 30.60 = 97.20

の価値があるので、借り手の

V_0 = 100 - 97.20 = 2.80

、貸し手は

-2.80

です。すべてのキャッシュフローの符号を反転させると、すべての項の符号も一緒に反転します。

❌ キャッシュフローをそのまま足しています。 借り手は

100 - 3\times 36 = -8

、貸し手は

+8

になります。返済は3つの異なる日付にあるので、足す前にそれぞれ換算します。

❌ それは相手側の価値です。 貸し手のキャッシュフローは借り手のものの符号をすべて反転させたものなので、二つの価値は互いに符号が逆になります。時点0に100を受け取るのがどちらの側かを確かめましょう。

❌ 返済額をレートで割っています。 各レートはそのキャッシュフローに掛けるものです。時点1の返済は、時点0のドルで

0.95\times 36 = 34.20

の価値があります。

❌ $97.20$ は返済だけの価値です。 貸し手の時点0のキャッシュフロー

-100

も、もともと時点0のドルで表されているので、そのまま和に加わります。

解答を見る

返済は3つの日付で同じ金額ですが、日付ごとに別の通貨なので、それぞれのレートで換算します。

0.95\times 36 + 0.90\times 36 + 0.85\times 36 = 34.20 + 32.40 + 30.60 = 97.20

借り手の時点0のキャッシュフロー $+100$ は換算が要りません。貸し手のものは $-100$ です。

V_0^{\text{借り手}} = 100 - 97.20 = 2.80, \qquad V_0^{\text{貸し手}} = -100 + 97.20 = -2.80

この演算子は、どのキャッシュフローがプラスか、マイナスのキャッシュフローがどこにあるかについて、何の制約も設けていません。ここではお金が先に入って後で出ていきますが、演算子は、先に投資するプロジェクトのときとまったく同じように、その二つを一つの和の中で差し引きします。

正解数：0 / 4

円とポンドと来年のドル：正味現在価値はどこから来るのか

I重要な公式

IIまず換算する — 円、ポンド、ニューメレール

III日付ごとに別の通貨 — V0V_0V0​ を組み立てる

IV確認クイズ

III日付ごとに別の通貨 — $V_0$ を組み立てる