ファイナンス理論 · 第2回 · 動画8 · インタラクティブ教材

足す前に換算する：正味現在価値の計算例と三つの仮定

I重要な公式

公式	名称	はたらき
$\left(\frac{\text{\textdollar}_t}{\text{\textdollar}_0}\right) \times \text{CF}_t$	1つのキャッシュフローの換算	時点 $t$ の金額を、時点 $t$ に対する市場の為替レートで今日のドルに換える
$\text{NPV}_0 = \text{CF}_0 + \left(\frac{\text{\textdollar}_1}{\text{\textdollar}_0}\right) \times \text{CF}_1 + \left(\frac{\text{\textdollar}_2}{\text{\textdollar}_0}\right) \times \text{CF}_2$	正味現在価値	すべてのキャッシュフローを換算してから足す。 $\text{CF}_0$ はすでに今日のドルなので、レートは掛けない
$-10 + 5 \times 0.90 + 7 \times 0.80 = 0.10$	計算例	単位は100万ドル。このプロジェクトの今日の価値は $100,000 で、単純な合計 $-10 + 5 + 7 = 2$ には何の意味もない
$\text{NPV}_0 > 0 \Rightarrow \text{採択}, \quad \text{NPV}_0 < 0 \Rightarrow \text{棄却}$	意思決定のルール	同じ資金を取り合うプロジェクトは $\text{NPV}_0$ の大きい順に並べ、上から順に資金を充てる

ポイント：日付の違うドルは違う通貨なので、何かを足す前に、すべてのキャッシュフローを今日のドルに換算します。 $\text{NPV}_0$ が出れば、経営上の意思決定はその符号から読み取れます。難しいのは評価のほうで、意思決定は簡単です。この種の計算はすべて、3つの仮定の上に成り立っています。キャッシュフローがわかっていること（金額、符号、タイミング）、為替レートがわかっていること（市場から読み取る）、そして換算に摩擦がないことです。

II足す前に換算する

3つの日付の3つの金額は、3種類の通貨です。それぞれを換算して初めて、和に意味が生まれます。

プロジェクトステップ 1

III数字が決める

決めるのは、そのままの合計の符号ではなく $\text{NPV}_0$ の符号です。正なら採択、負なら棄却します。

初期値

💡 チャレンジ：単純な合計は正なのに $\text{NPV}_0$ は負になる、つまり2つの為替レートだけで判定がひっくり返るキャッシュフローを見つけましょう。

IV同じ資金を取り合うプロジェクトの順位づけ

4つのプロジェクトは、どれも今日1,000万ドルかかります。 $\text{NPV}_0$ で順位をつけると、単純な合計が等しいプロジェクトどうしも大きく離れます。

V確認クイズ

問1 · 換算してから足す

条件：為替レートは $\left(\frac{\text{\textdollar}_1}{\text{\textdollar}_0}\right) = 0.90$ と $\left(\frac{\text{\textdollar}_2}{\text{\textdollar}_0}\right) = 0.80$ です。あるプロジェクトは今日600万ドルかかり、1年目に300万ドル、2年目に400万ドルを生みます。 $\text{NPV}_0$ （単位は100万ドル）と、意思決定を答えてください。

$\text{NPV}_0$ はいくつですか。

このプロジェクトは採択しますか、棄却しますか。

✅ 正解です！ 今日のドルに換算すると、2つの受け取りの価値は

2.7 + 3.2 = 5.9

、つまり590万ドルで、費用の600万ドルに $100,000 足りません。したがって

\text{NPV}_0 = -0.10

で、このプロジェクトは棄却します。

❌ それは単純な合計です。

-6 + 3 + 4 = 1

は、時点0・時点1・時点2のドルをそのまま足しています。3種類の通貨です。まず各支払いを、その日付のレートで換算してください。

❌ レートは掛けるものです。

\left(\frac{\text{\textdollar}_1}{\text{\textdollar}_0}\right) = 0.90

は1年目の1ドルの今日の価格なので、1年目の3ドルの今日の価値は

3 / 0.90

ではなく

3 \times 0.90 = 2.7

です。

❌ レートはそれぞれの日付のものです。 1年目の支払いは

0.90

で、2年目の支払いは

0.80

で換算します。この答えは、それを逆に当てはめています。

❌ 換算後の和の符号を確かめてください。

\text{NPV}_0

が負なら棄却です。このプロジェクトが採択に値するように見えるのは、単純な合計

+1

のせいです。

解答を見る

各キャッシュフローを、その日付のレートで今日のドルに換算します。時点0の費用はすでに今日のドルなので、レートは掛けません。

\text{NPV}_0 = -6 + 3 \times 0.90 + 4 \times 0.80 = -6 + 2.7 + 3.2 = -0.1

金額の単位は100万ドルなので、このプロジェクトの今日の価値は −$100,000 です。 $\text{NPV}_0 < 0$ なので、棄却します。単純な合計 $-6 + 3 + 4 = 1$ なら採択と言ったでしょうが、それは3種類の異なる通貨を足しています。

問2 · 最後にやってくる費用

条件：レートは同じく、1年目が $0.90$ 、2年目が $0.80$ です。あるプロジェクトは、今日300万ドル、1年目に400万ドルをあなたに支払い、その後2年目に800万ドルの投資を必要とします。 $\text{NPV}_0$ （単位は100万ドル）を求めてください。

✅ 正解です！ 2年目の費用は、ほかの2年目の金額と同じく2年目のドルで表されています。今日のドルでは

8 \times 0.80 = 6.4

で、マイナスの符号をつけて入れます。このプロジェクトの今日の価値は $200,000 なので、そのままの合計が負でも採択します。

❌ 費用を換算しないままにしています。 2年目の金額は、入ってくるものでも出ていくものでも、2年目のレートで換算します。

-8

ではなく

-8 \times 0.80 = -6.4

として入ります。

❌ それは単純な合計です。

3 + 4 - 8 = -1

は3種類の通貨を足しています。足す前に換算してください。

❌ 投資は出ていくお金です。 費用は、いつ発生しても負のキャッシュフローなので、

+6.4

ではなく

-6.4

として入ります。

解答を見る

出ていくお金は、どの日付に発生しても負のキャッシュフローで、ほかの支払いと同じく、その日付のレートで換算します。

\text{NPV}_0 = 3 + 4 \times 0.90 - 8 \times 0.80 = 3 + 3.6 - 6.4 = 0.2

単位は100万ドルなので、今日の $200,000 です。 $\text{NPV}_0 > 0$ なので、このプロジェクトは採択します。そのままの合計 $3 + 4 - 8 = -1$ では損をするように見えますが、換算によって1年目の受け取りは $0.4$ しか減らないのに対し、2年目の費用は $1.6$ 減ります。費用が最後に来るので、最も深く割り引かれるのです。

問3 · 後払いでプロジェクトを売る

条件：レートは同じです。あなたは、今日400万ドルかかり、1年目に200万ドル、2年目に300万ドルを生むプロジェクトを持っています。ある買い手が、費用を負担して受け取りも引き取る形でこのプロジェクトを引き継ぎ、その代わりに今日から2年後の時点2に、あなたへ1回支払うと申し出ています。このプロジェクトのあなたにとっての今日の価値とちょうど等しい価値をもつ、時点2の支払額を求めてください。

✅ 正解です！ このプロジェクトの今日の価値は

0.2

（100万ドル単位）で、時点2の1ドルは今日

0.80

の価値しかないので、それに見合うには時点2のドルで

0.2 / 0.80 = 0.25

、つまり25万ドルが必要です。

❌ 換算の向きが逆です。

0.80

を掛けると、時点2のドルが今日のドルに変わります。ここでは今日の価値から出発して時点2のドルを求めるので、割ります：

0.2 / 0.80

。

❌ $200,000 は、今日のドルで表したプロジェクトの価値です。 時点2の支払いは時点2のドルという別の通貨で行われ、その1ドルは今日

0.80

の価値しかありません。

❌ 1年目のレートを使っています。 支払いは時点2に来るので、

0.90

ではなく

0.80

で換算します。レートを選ぶ前に、支払いをタイムラインに書き込みましょう。

解答を見る

ステップ1：今日のプロジェクトの価値を求める。

\text{NPV}_0 = -4 + 2 \times 0.90 + 3 \times 0.80 = -4 + 1.8 + 2.4 = 0.2

これは今日のドルで $200,000 です。

ステップ2：換算を逆向きに行う。時点2のドルで $X$ の支払いは今日 $0.80\,X$ の価値をもち、それがプロジェクトの価値に等しくなければなりません。

0.80\,X = 0.2 \quad\Longrightarrow\quad X = \frac{0.2}{0.80} = 0.25

したがって、買い手は時点2に $250,000 を支払わなければなりません。もし支払いが時点1に来るなら、 $0.2 / 0.90 \approx 0.222$ （100万ドル単位）になります。どの為替レートを使うかは、支払いが来る日付で決まるのです。

問4 · どの仮定が崩れるか

条件：次の3つの状況は、それぞれ、この種の計算すべての土台にある3つの仮定のうち1つを崩します。(1) 2年目のドルを今日のドルに換えてくれるディーラーが、換算のたびに手数料を取る。(2) 700万ドルが届くことは確実だが、それが2年目なのか3年目なのかは誰にもわからない。(3) 2年目に支払われる1ドルに対して、今日の価格を提示する市場がない。それぞれが崩す仮定を答えてください。

状況1 · ディーラーの手数料

状況2 · 不確かな日付

状況3 · 提示価格がない

✅ 正解です！ 手数料は摩擦です。日付がわからないことは、タイミングの面で「キャッシュフローがわかっている」を崩し、提示価格がないことは「為替レートがわかっている」を崩します。

❌ ディーラーの手数料には当てはまりません。 キャッシュフローについては何も不確かではありません。金額も符号もタイミングもすべてわかっています。手数料は換算そのものにかかっています。

❌ ディーラーの手数料には当てはまりません。 レートはわかっています。ディーラーの掲示板に出ているからです。問題は、手数料を引かれた後に実際に受け取るレートが、掲示されたレートとは違うことです。

❌ 不確かな日付には当てはまりません。 ここには、レートが欠けているとは書かれていません。欠けているのは支払いの日付であり、タイミングは、キャッシュフローについてわかっていなければならない3つの点の1つです。

❌ 不確かな日付には当てはまりません。 ここでは誰も換算に手数料を取っていません。わからないのは支払いのタイミングであり、タイミングは、キャッシュフローについてわかっていなければならない3つの点の1つです。

❌ 提示価格がないことには当てはまりません。 キャッシュフローは完全に特定できます。欠けているのは2年目の1ドルの今日の価格、つまりそれを換算するための為替レートです。

❌ 提示価格がないことには当てはまりません。 摩擦とは、わかっているレートで換算するときにかかるコストです。ここでは、レートを決める市場がないので、換算に使うレートそのものがありません。

解答を見る

この動画の正味現在価値はすべて、3つの仮定の上に成り立っています。

キャッシュフローがわかっていること。金額、符号、タイミングの3つの点でです。状況2ではタイミングが決まっておらず、3年目の1ドルは2年目の1ドルとは違うレートで換算されるので、 $\text{NPV}_0$ を計算できません。
為替レートがわかっていること。レートは市場から読み取ります。状況3では、 $\left(\frac{\text{\textdollar}_2}{\text{\textdollar}_0}\right)$ を与えてくれるはずの市場がありません。
換算に摩擦がないこと。2年目の1ドルを今日のドルに換えるのに、コストがまったくかかりません。状況1の手数料は、まさに空港の両替カウンターです。掲示されたレートと実際に受け取るレートは、別の数字なのです。

正解数：0 / 4